经济增长的回归分析.doc

经济增长建模
小组成员：
诸勉充 0817010118
李至玮 0817010042
刘韵仪 0817020050
刘志达 0817010058

摘要：发展经济，提高生产力的手段主要有：增加投资，增加劳动力，技术革新。因为经济发展初期或在短期技术相对稳定，技术革新化，将建立产值与资金，劳动力之间的关系，然后研究资金与劳动力之间的最佳分配，使投资效益最大，最后讨论如何调节资金与劳动力的增长率，使劳动生产率得到不断的增长。

关键词：发展经济，关系；回归模型。

一，问题综述
发展经济、增加生产有两个重要因素，一是增加投资（扩大厂房、购买设备、技术革新等），二是雇用更多的工人，恰当调节投资增长和劳动力增长的关系，使增加的产量不致被劳动力的增长抵消，劳动生产率才能不断提高。本节通过介绍一个描述生产量、劳动力和投资之间变化规律的模型，来讨论这些问题。增加生产、发展经济所依靠的主要因素有增加投资、增加劳动力以及技术革新等，在研究国民经济产值与这些因素的数量关系时，由于技术水平不像资金、劳动力那样容易定量化，作为初步的模型，可认为技术水平不变，只讨论产值和资金、劳动力之间的关系。社会财富的生产过程是多种多样的。几千年来，随着生产力水平的不断提高，人类生活形式已经提高，都可以看成是在一定社会，经济，技术和自然条件下，一组技术要素转化为产出的过程。
二，道格拉斯(Douglas)生产函数
Douglas生产函数
用Q(t)、L(t)和K (t)分别表示某一地区、部门或企业在时刻t的产量、劳动力和资金、时间以年为单位，因为人们关心的是它们的增长量，不是绝对量，所以定义
(1)
分别为产量指数、劳动力指数和投资指数。它们的初始值(t=0)o 1.
在正常的经济发展过程中这3个指数者是随时间增长的，而增长又取决于和的增长速度。
柯布和道格拉斯研究的是1899年至1922年美国制造业的生产函数。用Q(t), K(t), L(t)分别表示某一地区或部门在时刻t的产值、资金和劳动力，它们的关系可以一般地记作
（1）

其中F为待定函数. 对于固定的时刻t，上述关系可写作
（2）

为寻求F的函数形式，引入记号
(3)

z是每个劳动力的产值，y是每个劳动力的投资. 可作如下假设：z随y的增长而增长，但增长速度递减. 进而把此假设表示为
(4)

系数c可看成技术的作用. 由(3), (4)即得
(5)

根据此式知
(6)

这说明产值Q分别随资金和劳动力的增长而增长，但增长速度在减慢.
记
表示单位资金创造的产值;

表示单位劳动力创造的产值，则由(5)式有

(7)

(7)可解释为：a为资金在产值中占有的份额，1a-为劳动力在产值中占有的分额. 于是a的大小直接反映了资金、劳动力二者对于创造产值的轻重关系.
(5)式是经济学中著名的Cobb-Douglas生产函数，它经受了资本主义社会一些实际数据的检验.更一般的生产函数表为
(8)

三，模型的变量与模型的设定和数据的收集
1， 模型的变量
用Q(t)、L(t)和K (t)分别表示某一地区、部门或企业在时刻t的产量、劳动力和资金、时间以年为单位。
2，模型的设定
Q（K，L）=aKαLβ, 0<α,β<1 （*）
（这里的系数a等价于（8）式中的c）
3，数据收集
美国制造业1900—1926年上述三个经济指数的统计数据，如表1，试用数据拟合的方法，求出（*）式中的参数α,β，a。
T
Q
K
L
T
Q
K
L
1900
1.05
1.04
1.05
1913
1.95
2.82
1.68
1901
1.18
1.06
1.08
1914
2.01
3.24
1.65
1902
1.29
1.16
1.18
1915
2.00
3.24
1.62
1903
1.30
1.22
1.22
1916
2.09
3.61
1.86
1904
1.30
1.27
1.17
1917
1.96
4.10
1.93
1905
1.42
1.37
1.30
1918
2.20
4.36
1.96
1906
1.50
1.44
1.39
1919
2.12
4.77
1.95
1907
1.52
1.53
1.47
1920
2.16
4.75
1.90
1908
1.46
1.57
1.37
1921
2.08
4.54
1.58
1909
1.60
2.05
1.43
1922
2.24
4.54
1.67
1910
1.69
2.51
1.58
1923
2.56
4.58
1.82
1911
1.81
2.63
1.59
1924
2.34
4.58
1.60
1912
1.93
2.74
1.66
1925
2.45
4.58
1.61

1926
2.58
4.54
1.64

四，模型的估计
1， 模型建立
按照上述所选取的解释变量和被解释变量，回归模型为：
Q（K，L）=aKαLβ, 0<α,β<1
2， 回归方程的参数估计
根据上面的数据，利用MATHLAB软件中的curvefit（）进行数据拟合，求出数据中未知参数a,α,β使变量逼近表中所给出的数据统计
程序文件a1.m 如下
a=[1.05 1.18 1.29 1.30 1.30 1.42 1.50 1.52 1.46 1.60 1.69 1.81 1.93 1.95 2.01 2.00 2.09 1.96 2.20 2.12 2.16 2.08 2.24 2.56 2.34 2.45 2.58];
y=[1.04 1.06 1.16 1.22 1.27 1.37 1.44 1.53 1.57 2.05 2.51 2.63 2.74 2.82 3.24 3.24 3.61 4.10 4.36 4.77 4.75 4.54 4.54 4.58 4.58 4.58 4.54;1.05 1.08 1.18 1.22 1.17 1.30 1.39 1.47 1.31 1.43 1.58 1.59 1.66 1.68 1.65 1.62 1.86 1.93 1.96 1.95 1.90 1.58 1.67 1.82 1.60 1.61 1.64];
x0=[0.1,0.1,0.2];
x=curvefit('curvefun',x0, y,a)
其中的函数M——文件curvefun.m如下
function a=curvefun( x, y)
a=x(1)*(y(1,:).^x(2)).*(y(2,:).^x(3));
运行a1.m可得以下结果
x=
1.2246 0.4612 -0.1277
则可以得到
a=1.2246 b=0.4612 c=-0.1277
于是公式变为
Q(K,L)= 1.2246K0.4612L-0.1277
这就是产值Q随资金K、劳动力L的变化规律。
在a1.m中加如下命令
m=linspace(0,2.7,27);n=linspace(0,2.7,27);
[M,N]=meshgrid(m,n);
a=x(1)*(M.^x(2)).*(N.^x(3));
surf(M,N,a);
xlabel('K'),ylabel('L'),zlabel('Q')
则可以得到图形，其中Z轴表示产值Q；见上图。
五，检验
由于产值Q、资金K、劳动力L之间有关系
Q(K,L)=aKαLβ
注意到该等式两边取对数后，lnQ是lnK和lnL的线性函数，即
lnQ=lna+αlnK+βlnL;
于是，可用线性函数拟合的方法确定未知参数x=[lna α β]。
建立M文件：
Q=[1.05 1.18 1.29 1.30 1.30 1.42 1.50 1.52 1.46 1.60 1.69 1.81 1.93 1.95 2.01 2.00 2.09 1.96 2.20 2.12 2.16 2.08 2.24 2.56 2.34 2.45 2.58];
O=log([1.04 1.06 1.16 1.22 1.27 1.37 1.44 1.53 1.57 2.05 2.51 2.63 2.74 2.82 3.24 3.24 3.61 4.10 4.36 4.77 4.75 4.54 4.54 4.58 4.58 4.58 4.54;...
1.05 1.08 1.18 1.22 1.17 1.30 1.39 1.47 1.31 1.43 1.58 1.59 1.66 1.68 1.65 1.62 1.86 1.93 1.96 1.95 1.90 1.58 1.67 1.82 1.60 1.61 1.64]);
x0=[0.1,0.1,0.2];
x=leastsq('funleast',x0,[],[],O,log(Q));
a=exp(x(1)),
alfa=x(2),
beda=x(3),
得出：a=1.1766, α=0.4153, β=0.0619.
程序m=linspace(0,2.7,27);n=linspace(0,2.7,27);
[M,N]=meshgrid(m,n);
a=x(1)*(M.^x(2)).*(N.^x(3));
surf(M,N,a);
xlabel('K'),ylabel('L'),zlabel('Q')
f1=curvefun(x,y);
e1=sum((a-f1).*(a-f1))
x2=[1.1766,0.4153,0.0619];
f2=curvefun(x2,y)
e2=sum((a-f2).*(a-f2))
输出e1=0.4230,e2=0.4456

六，分析与结论
一，分析
可解释为：a为资金在产值中占有的份额，1-a为劳动力在产值中占有的分额。 于是a的大小直接反映了资金、劳动力二者对于创造产值的轻重关系。Douglas生产函数是计量经济学中重要的数学模型，它的一个简洁的建模过程。 在此基础上讨论的资金与劳动力的最佳分配，是一个静态模型。而利用微分方程研究的劳动生产率增长的条件，是一个动态模型，虽然它的推导过程稍繁，但其结果却相当简明，并且可以给出合理的解释。生产函数就是在某些前提假设下，描述这一过程的经济数学模型。它表示的是在一定的技术水平下各种生产要素投入量的某一组合同它所能产出的最大可能产出量之间的关系。生产函数是一种技术关系，被用来表明每一种具体数量的投入物（即生产要素）的配合所可能生产的最大产量。事实上，只要在生产过程中，有一组实际的要素投入，便会有一个产出，它们之间必然存在某种数量关系，研究这些实际投入量和产出量的关系是必要的，也是可能的。对生产函数的研究尤其是研究生产函数在信息经济时代与工业经济时代所展现的不同更有助于帮助我们理解信息资源对经济增长的影响及贡献。
二，结论
所以我们从数据表格中可以得到最后的模型结果为：
Q(K,L)=1.2246K0.4612L-0.1277
作为产值Q随资金K、劳动力L的变化规律。