初中数学尺规作图.doc

初中数学尺规作图专题讲解

尺规作图是起源于古希腊的数学课题.只使用圆规和直尺，并且只准许使用有限次，来解决不同的平面几何作图题.

平面几何作图，限制只能用直尺、圆规.在历史上最先明确提出尺规限制的是伊诺皮迪斯.他发现以下作图法：在已知直线的已知点上作一角与已知角相等.这件事的重要性并不在于这个角的实际作出，而是在尺规的限制下从理论上去解决这个问题.在这以前，许多作图题是不限工具的.伊诺皮迪斯以后，尺规的限制逐渐成为一种公约，最后总结在《几何原本》之中.
初等平面几何研究的对象，仅限于直线、圆以及由它们（或一部分）所组成的图形，因此作图的工具，习惯上使用没有刻度的直尺和圆规两种.限用直尺和圆规来完成的作图方法，叫做尺规作图法.最简单的尺规作图有如下三条：
⑴ 经过两已知点可以画一条直线；
⑵ 已知圆心和半径可以作一圆；
⑶ 两已知直线；一已知直线和一已知圆；或两已知圆，如果相交，可以求出交点；
以上三条，叫做作图公法.用直尺可以画出第一条公法所说的直线；用圆规可以作出第二条公法所说的圆；用直尺和圆规可以求得第三条公法所说的交点.一个作图题，不管多么复杂，如果能反复应用上述三条作图公法，经过有限的次数，作出适合条件的图形，这样的作图题就叫做尺规作图可能问题；否则，就称为尺规作图不能问题.
历史上，最著名的尺规作图不能问题是：
⑴ 三等分角问题：三等分一个任意角；
⑵ 倍立方问题：作一个立方体，使它的体积是已知立方体的体积的两倍；
⑶ 化圆为方问题：作一个正方形，使它的面积等于已知圆的面积.
这三个问题后被称为“几何作图三大问题”.直至1837年，万芝尔（Pierre Laurent Wantzel）首先证明三等分角问题和立方倍积问题属尺规作图不能问题；1882年，德国数学家林德曼（Ferdinand Lindemann）证明π是一个超越数（即π是一个不满足任何整系数代数方程的实数），由此即可推得根号π(即当圆半径时所求正方形的边长）不可能用尺规作出，从而也就证明了化圆为方问题是一个尺规作图不能问题.
若干著名的尺规作图已知是不可能的，而当中很多不可能证明是利用了由19世纪出现的伽罗华理论.尽管如此，仍有很多业余爱好者尝试这些不可能的题目，当中以化圆为方及三等分任意角最受注意.数学家Underwood Dudley曾把一些宣告解决了这些不可能问题的错误作法结集成书.

还有另外两个著名问题：
⑴ 正多边形作法
·只使用直尺和圆规，作正五边形.
·只使用直尺和圆规，作正六边形.
·只使用直尺和圆规，作正七边形——这个看上去非常简单的题目，曾经使许多著名数学家都束手无策，因为正七边形是不能由尺规作出的.
·只使用直尺和圆规，作正九边形，此图也不能作出来，因为单用直尺和圆规，是不足以把一个角分成三等份的.
·问题的解决：高斯，大学二年级时得出正十七边形的尺规作图法，并给出了可用尺规作图的正多边形的条件：尺规作图正多边形的边数目必须是2的非负整数次方和不同的费马素数的积，解决了两千年来悬而未决的难题.
⑵ 四等分圆周
只准许使用圆规，将一个已知圆心的圆周4等分．这个问题传言是拿破仑·波拿巴出的，向全法国数学家的挑战.

尺规作图的相关延伸：
　用生锈圆规(即半径固定的圆规)作图
1.只用直尺及生锈圆规作正五边形
2.生锈圆规作图，已知两点、，找出一点使得.
3.已知两点、，只用半径固定的圆规，求作使是线段的中点.
4.尺规作图，是古希腊人按“尽可能简单”这个思想出发的，能更简洁的表达吗？顺着这思路就有了更简洁的表达.10世纪时，有数学家提出用直尺和半径固定的圆规作图. 1672年，有人证明：如果把“作直线”解释为“作出直线上的2点”，那么凡是尺规能作的，单用圆规也能作出！从已知点作出新点的几种情况：两弧交点、直线与弧交点、两直线交点 ，在已有一个圆的情况下，那么凡是尺规能作的，单用直尺也能作出！.

五种基本作图：
初中数学的五种基本尺规作图为：
1.做一线段等于已知线段
2.做一角等于已知角
3.做一角的角平分线
4.过一点做一已知线段的垂线
5.做一线段的中垂线

下面介绍几种常见的尺规作图方法：
⑴ 轨迹交点法：解作图题的一种常见方法.解作图题常归结到确定某一个点的位置.如果这两个点的位置是由两个条件确定的，先放弃其中一个条件，那么这个点的位置就不确定而形成一个轨迹；若改变放弃另一个条件，这个点就在另一条轨迹上，故此点便是两个轨迹的交点.这个利用轨迹的交点来解作图题的方法称为轨迹交点法，或称交轨法、轨迹交截法、轨迹法.
【例1】 电信部门要修建一座电视信号发射塔，如下图，按照设计要求，发射塔到两个城镇、的距离必须相等，到两条高速公路、的距离也必须相等，发射塔应修建在什么位置？

【分析】 这是一道实际应用题，关键是转化成数学问题，根据题意知道，点应满足两个条件，一是在线段的垂直平分线上；二是在两条公路夹角的平分线上，所以点应是它们的交点.
【解析】 ⑴ 作两条公路夹角的平分线或；
⑵ 作线段的垂直平分线；则射线，与直线的交点，就是发射塔的位置.

【例2】 在平面直角坐标系中，点的坐标是，，是坐标原点，在直线上求一点，使是等腰三角形，这样的点有几个？

【解析】 首先要清楚点需满足两个条件，一是点在上；二是必须是等腰三角形.其次，寻找点要分情况讨论，也就是当时，以点为圆心，为半径画圆，与直线有两个点、；当时，以点为圆心，为半径画圆，与直线无交点；当时，作的垂直平分线，与直线有一交点，所以总计这样的点有3个.

【例3】 设与相离，半径分别为与，求作半径为的圆，使其与及外切.

【分析】 设是符合条件的圆，即其半径为，并与及外切，显然，点是由两个轨迹确定的，即点既在以为圆心以为半径的圆上，又在以为圆心以为半径的圆上，因此所求圆的圆心的位置可确定.若与相距为，当时，该题无解，当有唯一解；当时，有两解.
【解析】 以当与相距为，时为例：
⑴ 作线段，.
⑵ 分别以，为圆心，以，为半径作圆，两圆交于两点.
⑶ 连接，，分别交以为半径的于、两点.
⑷ 分别以为圆心，以为半径作圆.
∴即为所求.
【思考】若将例3改为：“设与相离，半径分别为与，求作半径为的圆，使其与 内切，与外切.”又该怎么作图？

⑵ 代数作图法：解作图题时，往往首先归纳为求出某一线段长，而这线段长的表达式能用代数方法求出，然后根据线段长的表达式设计作图步骤.用这种方法作图称为代数作图法.

【例4】 只用圆规，不许用直尺，四等分圆周（已知圆心）.
【分析】 设半径为.可算出其内接正方形边长为，也就是说用这个长度去等分圆周.我们的任务就是做出这个长度.六等分圆周时会出现一个的长度.设法构造斜边为，一直角边为的直角三角形，的长度自然就出来了.
【解析】 具体做法：
⑴ 随便画一个圆.设半径为1.
⑵ 先六等分圆周.这时隔了一个等分点的两个等分点距离为.
⑶ 以这个距离为半径，分别以两个相对的等分点为圆心，同向作弧，交于一点.（“两个相对的等分点”其实就是直径的两端点啦！两弧交点与“两个相对的等分点”形成的是一个底为2，腰为的等腰三角形.可算出顶点距圆心距离就是.）
⑷ 以的长度等分圆周就可以啦！

【例5】 求作一正方形，使其面积等于已知的面积.
【分析】 设的底边长为，高为，关键是在于求出正方形的边长，使得，所以是与的比例中项.
【解析】 已知：在中，底边长为，这个底边上的高为，
求作：正方形，使得：

作法：
⑴ 作线段；
⑵ 在的延长线上取一点，使得；
⑶ 取中点，以为圆心，为半径作；
⑷ 过作，交于，
⑸ 以为一边作正方形.
正方形即为所求.

【例6】 在已知直线上求作一点，使得过作已知半径为的的切线，其切线长为.

【分析】 先利用代数方法求出点与圆心的距离，再以为圆心，为半径作圆，此圆与直线的交点即为所求.
【解析】 ⑴ 作，使得：，，.
⑵ 以为圆心，为半径作圆.
若此圆与直线相交，此时有两个交点，.
，即为所求.
若此圆与直线相切，此时只有一个交点.即为所求.
若此圆与直线相离，此时无交点.即不存在这样的点使得过作已知半径为的的切线，其切线长为.

⑶ 旋转法作图：有些作图题，需要将某些几何元素或图形绕某一定点旋转适当角度，以使已知图形与所求图形发生联系，从而发现作图途径.

【例7】 已知：直线、、，且.
求作：正，使得、、三点分别在直线、、上.

【分析】 假设是正三角形，且顶点、、三点分别在直线、、上.作于，将绕点逆时针旋转后，置于的位置，此时点的位置可以确定.从而点也可以确定.再作，点又可以确定，故符合条件的正三角形可以作出.
【解析】 作法：
⑴ 在直线上取一点，过作于点；
⑵ 以为一边作正三角形；
⑶ 过作，交直线于；
⑷ 以为圆心，为半径作弧，交于(使与在异侧).
⑸ 连接、、得.
即为所求.

【例8】 已知：如图，为角平分线上一点.
求作：，使得，，且在上，在上.

【解析】 ⑴ 过作于.
⑵ 过作直线;
⑶ 在直线上取一点，使得(或)；
⑷ 过(或)作（或），交于(或)点；
⑸ 连接(或)，过作(或)交于（或）点.
连接(或).
则(或)即为所求.

⑷ 位似法作图：利用位似变换作图，要作出满足某些条件的图形，可以先放弃一两个条件，作出与其位似的图形，然后利用位似变换，将这个与其位似得图形放大或缩小，以满足全部条件，从而作出满足全部的条件.
【例9】 已知：一锐角.
求作:一正方形，使得、在边上，在边上，在边上.

【分析】 先放弃一个顶点在边上的条件，作出与正方形位似的正方形，然后利用位似变换将正方形放大（或缩小）得到满足全部条件的正方形.
【解析】 作法：
⑴ 在边上任取一点，过作于
⑵ 以为一边作正方形，且使在的延长线上.
⑶ 作直线交于.
⑷ 过分别作交于；作交于.
⑸ 过作交于.
则四边形即为所求.

⑸ 面积割补法作图：对于等积变形的作图题，通常在给定图形或某一确定图形上割下一个三角形，再借助平行线补上一个等底等高的另一个三角形，使面积不变，从而完成所作图形.
【例10】 如图，过的底边上一定点，，求作一直线，使其平分的面积.

【分析】 因为中线平分的面积，所以首先作中线，假设平分的面积，在中先割去，再补上.只要，则和就同底等高，此时它们的面积就相等了.所以就平分了的面积.
【解析】 作法：
⑴ 取中点，连接;
⑵ 过作交于；
⑶ 过、作直线.
直线即为所求.

【例11】 如图：五边形可以看成是由一个直角梯形和一个矩形构成.
⑴ 请你作一条直线，使直线平分五边形的面积；
⑵ 这样的直线有多少条？请你用语言描述出这样的直线.

【解析】 ⑴ 取梯形的中位线的中点，再取矩形对角线的交点，则经过点，的
直线即为所求；
⑵ 这样的直线有无数条.设⑴中的直线交于，交于，过线段中点，且与线段、均有交点的直线均可平分五边形的面积.

【例12】 (江苏连云港)如图，点将线段分成两部分，如果，那么称点为线段的黄金分割点．
某研究小组在进行课题学习时，由黄金分割点联想到“黄金分割线”，类似地给出“黄金分割线”的定义：直线将一个面积为的图形分成两部分，这两部分的面积分别为，，如果，那么称直线为该图形的黄金分割线．
⑴ 研究小组猜想：在中，若点为边上的黄金分割点(如图)，则直线是的黄金分割线．你认为对吗？为什么？
⑵ 请你说明：三角形的中线是否也是该三角形的黄金分割线？
⑶ 研究小组在进一步探究中发现：过点任作一条直线交于点，再过点作直线，交于点，连接(如图)，则直线也是的黄金分割线．请你说明理由．
⑷ 如图，点是的边的黄金分割点，过点作，交于点，显然直线是的黄金分割线．请你画一条的黄金分割线，使它不经过各边黄金分割点．
A
C
B
图1
A
D
B
图2
C
A
D
B
图3
C
F
E
F
C
B
D
E
A
图4

【解析】 ⑴ 直线是的黄金分割线．理由如下：
设的边上的高为．
，，，
∴，．
又∵点为边的黄金分割点，
∴．∴．
∴直线是的黄金分割线．
⑵ ∵三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分，
此时，即，
∴三角形的中线不可能是该三角形的黄金分割线．
⑶ ∵，
∴和的公共边上的高也相等，
∴．
设直线与交于点，∴．
∴
，
．F
C
B
D
E
A
N
M
G
（答案图1）
F
C
B
D
E
A
N
M
（答案图2）

又∵，∴．
∴直线也是的黄金分割线．
⑷ 画法不惟一，现提供两种画法；
画法一：如答图，取中点，再过点作一直线分别交，于，点，
则直线就是的黄金分割线．
画法二：如答图，在上取一点，连接，再过点作交于点，
连接，则直线就是的黄金分割线．