微积分人大3版76市公开课金奖市赛课一等奖课件.pptx

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,上页,下页,铃,结束,返回,首页,7.6,泰勒公式与泰勒级数,一、泰勒公式,泰勒中值定理,泰勒公式与麦克劳林公式,二、泰勒级数,上页,下页,铃,结束,返回,首页,第1页,第1页,一、泰勒公式,依据函数微分，有,f,(,x,),=,f,(,x,0,),+,f,(,x,0,)(,x,-,x,0,),+,o,(,x,-,x,0,)(当|,x,-,x,0,|很小时)，,略掉,o,(,x,-,x,0,)，得到求,f,(,x,)近似公式,f,(,x,),f,(,x,0,),+,f,(,x,0,)(,x,-,x,0,)(当|,x,-,x,0,|很小时)，,其误差为,R,(,x,),=,f,(,x,),-,f,(,x,0,),-,f,(,x,0,)(,x,-,x,0,)。,近似公式不足：准确度不高，误差难于预计。,为了达到一定准确度要求，可考虑用,n,次多项式,P,n,(,x,)近似,f,(,x,)。,下页,第2页,第2页,设函数,f,(,x,)在含有,x,0,开区间内含有直到(,n,1)阶导数，我们希望找出一个关于(,x,x,0,),n,次多项式,P,n,(,x,),a,0,a,1,(,x,x,0,),a,2,(,x,x,0,),2,a,n,(,x,x,0,),n,来近似表示,f,(,x,)，我们自然希望,P,n,(,x,)与,f,(,x,)在,x,0,各阶导数(直到(,n,1)阶导数)相等：,f,(,x,0,),P,n,(,x,0,)，,f,(,x,0,),=,P,n,(,x,0,)，,f,(,x,0,),P,n,(,x,0,)，,f,(,x,0,),P,n,(,x,0,)，,f,(,n,),(,x,0,),P,n,(,n,),(,x,0,)。,下页,一、泰勒公式,第3页,第3页,P,n,(,x,),a,0,a,1,(,x,x,0,),a,2,(,x,x,0,),2,a,n,(,x,x,0,),n,多项式系数拟定：,a,0,，,a,0,f,(,x,0,)，,=,a,1,，,a,1,=,f,(,x,0,)，,2!,a,2,，,3!,a,3,，,f,(,x,0,),P,n,(,x,0,),f,(,x,0,),=,P,n,(,x,0,),f,(,x,0,),P,n,(,x,0,),f,(,x,0,),P,n,(,x,0,),f,(,n,),(,x,0,),P,n,(,n,),(,x,0,),n,!,a,n,。,P,n,(,x,),a,1,2,a,2,(,x,x,0,),na,n,(,x,x,0,),n,1,，,P,n,(,x,),2,a,2,3,2,a,3,(,x,x,0,),n,(,n,1),a,n,(,x,x,0,),n,2,，,P,n,(,x,),3!,a,3,4,3,2,a,4,(,x,x,0,),n,(,n,1)(,n,2),a,n,(,x,x,0,),n,3,，,P,n,(,n,),(,x,),n,!,a,n,。,下页,第4页,第4页,P,n,(,x,),a,0,a,1,(,x,x,0,),a,2,(,x,x,0,),2,a,n,(,x,x,0,),n,于是所求多项式为,多项式系数拟定：,下页,第5页,第5页,泰勒中值定理：,定理7.13,假如函数,f,(,x,)在含有,x,0,某个开区间(,a,b,)内含有直到(,n,1)阶导数，则当,x,(,a,b,)时，,f,(,x,)能够表示为,展开式,而,R,n,(,x,)表示式,称为,f,(,x,)按(,x,x,0,)幂展开,n,阶,泰勒公式,，,称为,拉格朗日型余项,。,下页,第6页,第6页,泰勒公式：,。,当,x,0,0时泰勒公式称为麦克劳林公式，就是,麦克劳林公式：,首页,第7页,第7页,假如,f,(,x,)在区间(,a,b,)内含有各阶导数都存在，则对于任意正整数,n,，泰勒公式都成立。当,n,时，假如,R,n,(,x,),0，则得幂级数,这一幂级数称为函数,f,(,x,),泰勒级数,。,在泰勒级数中取,x,0,0，得,此级数称为,f,(,x,),麦克劳林级数,。,结束,二、泰勒级数,第8页,第8页,