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初中数学知识宝典
知识归纳

第1章　数与式
第1节　实　数

知识点
内容
实数分类
按定义分
按正负分
数轴
(1)三要素：原点、正方向和单位长度；
(2)特征：数轴上表示实数，右边数总比左边数大(右大左小)
相反数
(1)只有符号不一样两个数互为相反数(a相反数是－a，0相反数是0)；
(2)a，b互为相反数 a＋b＝0；
(3)在数轴上，表示互为相反数(0除外)两个点，位于原点两侧，且到原点距离相等
绝对值
(1)几何意义：一个数在数轴上对应点到原点距离；
(2)|a|＝　(3)|a|≥0
倒数
(1)a与(a≠0)互为倒数；0没有倒数；
(2)a，b互为倒数 ab＝1
实数
大小比较
(1)数轴上表示实数，右边数总比左边数大；
(2)正数都大于0，负数都小于0，正数大于负数；
(3)两个正数比较大小，绝对值大数大；两个负数比较大小，绝对值大数反而小；
(4)比较无理数方法：①估算法；②平方法；③作差法等
实数运算法则

实数
加法
(1)同号两数相加，取相同符号，并把绝对值相加；
(2)异号两数相加，取绝对值较大加数符号，并用较大绝对值减去较小绝对值；
(3)互为相反数两个数相加得0；一个数同0相加，仍得这个数
(4)加法交换律：a＋b＝b＋a；
加法结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)
实数
减法
减去一个数，等于加上这个数相反数
实数乘
除法
(1)两数相乘除，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘除；
(2)除以一个数(不等于0)，等于乘这个数倒数
(3)任何数与0相乘，积为0；0除以任何一个不等于0数都得0
(4)乘法交换律：a×b＝b×a；乘法结合律：(a ×b)×c＝a×(b×c)；分配律：a×(b＋c)＝a×b＋a×c
实数
乘方
(1)a×a×…×a n个a＝an；
(2)正数任何次幂都是正数；负数奇次幂是负数，负数偶次幂是正数；
(3)任何数a偶次幂均为非负数
实数
混合运
算次序
(1)先算乘方和开方，再算乘除，最终算加减．假如碰到括号，则先进行括号里运算；
(2)同级运算，应从左到右进行运算
第2节　代数式、整式与因式分解
知识点
内容
代数式
由数、表示数字母和运算符号(加、减、乘、除、乘方和开方)组成数学表示式称为代数式
整式概念

单项式
由数与字母或字母与字母相乘组成代数式叫做单项式；单独一个数或一个字母也叫单项式
多项式
由几个单项式相加组成代数式叫做多项式
同类项
多项式中，所含字母相同，而且相同字母指数也相同项
整式运算法则

合并同类
项法则
把同类项系数相加，所得结果作为系数，字母和字母指数不变
去括号
法则
(1)括号前是“＋”号，把括号和它前面“＋”号去掉，括号里各项都不变号；
(2)括号前是“－”号，把括号和它前面“－”号去掉，括号里各项都改变符号
幂运算

同底数
幂乘
法法则
am·an＝am＋n (m，n都是正整数)
幂乘
方法则
(am)n＝amn(m，n都是正整数)
积乘
方法则
(ab)n＝anbn(n是正整数)
同底数幂
除法
am÷an＝am－n (a≠0，m，n为整数)
零指数幂
a0＝1(a≠0)
负整数
指数幂
a－p＝(a≠0，p是正整数)
整式加减
先去括号，再合并同类项
整式乘法

单项式×
单项式
(1)系数相乘；(2)同底数幂相乘；(3)其余字母连同它指数不变，作为积因式
单项式×
多项式
m(a＋b)＝ma＋mb
多项式×
多项式
(a＋b)(m＋n)＝am＋an＋bm＋bn
乘法公式

平方差
公式
(a＋b)(a－b)＝a2－b2
完全平
方公式
(a±b)2＝a2±2ab＋b2
整式除法

单项式÷
单项式
(1)系数相除；(2)同底数幂相除；(3)只在被除式里含有字母，连同它指数作为商一个因式
多项式÷
单项式
(a＋b＋c)÷m＝a÷m＋b÷m＋c÷m(m≠0)
因式分解

定义
把一个多项式化成几个整式积形式
惯用方法
(1)提公因式法：ma＋mb＋mc＝m(a＋b＋c)；
(2)公式法：a2－b2＝(a＋b)(a－b)；a2±2ab＋b2＝(a±b)2
注意
(1)因式分解要分解到最终结果不能再分解为止；
(2)因式分解与整式乘法互为逆变形
第3节　分　式
知识点
内容
分式

概念
形如(A，B都是整式，且B中含有字母，B≠0)式子叫做分式；分子和分母没有公因式分式叫做最简分式
注意
(1)当B＝0时，分式无意义；　(2)当B≠0时，分式有意义；
(3)当A＝0，且B≠0时，分式＝0
分式基本性质

基本性质
(1)＝(M≠0)；(2)＝(M≠0)
变号法则
(1)＝＝；(2)－＝＝
分式约
分和通分
(1)约分(可化简分式)：＝；
(2)通分(可化为同分母)：，，
注意：通分关键是确定各个分式最简公分母，约分关键是确定分式分子、分母最大公因式
分式运算

加减法
(1)同分母时，±＝；(2)异分母时，±＝
乘除法
和乘方
(1)乘法：·＝；(2)除法：÷＝；(3)乘方：＝(n为正整数)
分式混
合运算
(1)首先观察分子、分母能否分解因式，若能，就要先分解因式后约分；
(2)注意运算次序和运算律合理应用．通常先算乘方和开方，再算乘除，最终算加减；若有括号，先算括号里面；同级运算要从左往右运算
第4节　二次根式
知识点
内容
平方根
假如x平方等于a，那么x就是a平方根
算术平方根
正数正平方根叫做它算术平方根，0算术平方根是0
立方根
假如x立方等于a，那么x就是a立方根
二次根式

概念
形如(a≥0)式子叫做二次根式
非负性
(1)被开方数是非负数，即a≥0；
(2)二次根式值是非负数，即≥0
最简二
次根式
(1)被开方数因数是整数，因式是整式；
(2)被开方数中不含开得尽方因数或因式
性质
(1)()2＝a(a≥0)；(2)＝|a|＝
(3)＝×(a≥0，b≥0)；(4)＝(a≥0，b＞0)
二次根式运算

加减法
先化为最简二次根式，再合并同类二次根式
乘除法
(1)×＝(a≥0，b≥0)；(2)＝(a≥0，b＞0)
混合运算
运算次序与有理数运算次序相同

第2讲　方程与不等式
第1节　一元一次方程和二元一次方程组
知识点
内容
等式基
本性质
性质1：若a＝b，则a±c＝b±c；
性质2：若a＝b，则ac＝bc或＝(c≠0)
一元一
次方程
解一元一次方程通常步骤：
(1) 去分母；
(2)去括号；
(3)移项；
(4)合并同类项；
(5)系数化为1
二元一次
方程(组)
惯用解法：(1)代入消元法；
(2)加减消元法
方程(组)
实际应用
列方程(组)解应用题通常步骤：
(1) 审题；
(2) 设未知数；
(3) 列方程(组)；
(4) 解方程(组)；
(5) 检验；
(6) (6)作答
第2节　分式方程
知识点
内容
分式方程
解法
通常步骤：
(1) 去分母，将分式方程化为整式方程；
(2) 解所得整式方程；
(3) 验根；
(4)结论
分式方程
实际应用
列分式方程解实际问题通常步骤：
(1) 审题；
(2) 设未知数；
(3) 列分式方程；
(4) 解分式方程；
(5) 检验：
①检验所求未知数值是不是所列分式方程解；
②检验所求未知数值是否符合题目标实际意义；
(6)作答
第3节　一元二次方程
知识点
内容
一元二次方程

解法
(1) 开平方法； (2)配方法；
(3)公式法； (4)因式分解法
求根公式
x＝
根
判别式
Δ＝b2－4ac
根判别

式与方程根之间关系
(1)Δ＝b2－4ac>0 ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有两个不相等实数根；
(2)Δ＝b2－4ac＝0 ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有两个相等实数根；
(3)Δ＝b2－4ac<0 ax2＋bx＋c＝0(a≠0)没有实数根
根与系数
关系
若x1，x2是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)两个根，则有x1＋x2＝－，x1·x2＝
实际应用
列一元二次方程解应用题通常步骤：
(1) 审题；
(2)设未知数；
(3)列一元二次方程；
(4)解方程(组)；
(5)检验；
(6)作答

第4节　不等式与不等式组
知识点
内容
不等式
基本性质
性质1：a＜b，b＜c则a＜c；
性质2：a＞b则a±c＞b±c；a＜b则a±c＜b±c；
性质3：a＞b，且c＞0则ac>bc，>；

一元一次不等式
内容
定义
不等号两边都是整式，而且只含有一个未知数，未知数最高次数是二次不等式
解集
能使不等式成立未知数值全体
解法
通常步骤：(1)去分母；(2)去括号；(3)移项；(4)合并同类项；(5)系数化为1
一元一次不等式组

定义
通常地，由几个含同一未知数一元二次不等式所组成一组不等式
解集
组成不等式组各个不等式解公共部分就是这个一元一次不等式组解集
常见不等式组解集

不等式组
(a＜b)
解集
数轴表示
口诀
x≥a

x≥b
x≥b

大大取大
x≤a

x≤b
x≤a

小小取小
x≥a

x≤b
a≤x≤b

大小小大
中间找
x≤a

x≥b

无解

大大小小
取不了
不等式(组)
实际应用
列不等式(组)解实际问题通常步骤：审、设、找、列、解、验
第3讲　函数及其图象

第1节　函数与平面直角坐标系
知识点
内容
平面直角坐标系

定义
在平面内有公共原点且相互垂直两条数轴组成平面直角坐标系
几何意义
坐标平面内任意一点M与有序实数对(x，y)是一一对应
各象限内
点坐标
特征

坐标轴
上点
特征
(1)P(x，y)在横轴上 y＝0；
(2)P(x，y)在纵轴上 x＝0；
(3)P(x，y)既在横轴上，又在纵轴上 x＝0，y＝0
点到坐标
轴距离
点M(a，b)到x轴距离为|b|，到y轴距离为|a|
点与点之
间距离
(1) 点M1(x1，y)，M2(x2，y)之间距离
为|x1－x2|；
(2) 点M1(x，y1)，M2(x，y2)之间距离
为|y1－y2|
坐标平面
内点平
移规律
(1)点M(a，b)沿x轴正方向平移n个单位得到点M1(a＋n，b)，沿x轴负方向平移n个单位得到点M2(a－n，b)；
(2)点M(a，b)沿y轴正方向平移n个单位得到点M1(a，b＋n)，沿y轴负方向平移n个单位得到点M2(a，b－n)
平面直角坐标系

点对称
点坐标
(1)点P(x，y)关于x轴对称点P1坐标为(x，－y)；
(2)点P(x，y)关于y轴对称点P2坐标为(－x，y)；
(3)点P(x，y)关于原点对称点P3坐标为(－x，－y)
函数

常量、
变量
在一个过程中，固定不变量称为常量；能够取不一样数值量称为变量
概念
在某个改变过程中，设有两个变量x，y，假如对于x每一个确定值，y都有唯一确定值，那么就说y是x函数，x叫做自变量
函数

自变量
取值范围
(1)使函数关系式有意义自变量取值全体；
(2)通常标准：整式为全体实数；分式分母不为零；开偶次方被开方数为非负数；使实际问题有意义
表示法
解析法、列表法、图象法
第2节　一次函数
知识点
内容
一次函数
概念
通常地，函数y＝kx＋b(k，b都是常数，且k≠0)叫做一次函数．尤其地，当b＝0时，一次函数y＝kx＋b就成为y＝kx(k为常数， k≠0)，叫正百分比函数
一次函数图象及性质
k，b
符号
图象
经过象限
图象走势
y随x变
化情况
k＞0

b>0

经过第一、二、三象限
图象从左
到右上升
y随x增
大而增大
b＝0

经过第一、三象限
b＜0

经过第一、三、四象限
k＜0

b＞0

经过第一、二、四象限
图象从左
到右下降
y随x增
大而减小
b＝0

经过第二、四象限
b＜0

经过第二、三 、四象限
一次函数
图象与
坐标轴
交点坐标
(1)交点坐标：一次函数y＝kx＋b(k≠0)图象与x轴交点是，与y轴交点是(0，b)；
(2)正百分比函数y＝kx(k≠0)图象恒过点(0，0)
确定一次
函数表示
式条件
一次函数需要两个点坐标；正百分比函数需要一个点坐标(除原点外)
待定系数法
确定一次函
数表示式
(1)设：设函数表示式为y＝kx＋b(k≠0)；
(2)代：将已知点坐标代入函数表示式；
(3)解：解方程或方程组，求出k与b值，得到函数表示式
一次函数与
二元一次方
程组关系
二元一次方程组解为两个一次函数图象交点横、纵坐标
一次函数与
一元一次不
等式关系
(1)y＝kx＋b(k>0)，x＞－，y＞0；x＜－，y＜0；
(2)y＝kx＋b(k<0)，x＜－，y>0；x＞－，y＜0
第3节　反百分比函数
知识点
内容
反百分比函
数概念
(1)形如y＝(k为常数，且k≠0)函数称为反百分比函数，其中x是自变量，y是关于x函数，自变量x取值不能为0；
(2)另外两种形式为y＝k－1x(k≠0)和k＝xy(k≠0)
反百分比函数图象和性质
k符号
图象
经过象限
y随x改变情况
k>0

图象经过第
一、三象限
在每个象限内，函数值y随x增大而减小
k<0

图象经过第
二、四象限
在每个象限内，函数值y随x增大而增大
反百分比函数
图象特征
(1)图象是由两个分支组成曲线，叫做双曲线；
(2)图象两个分支都无限靠近x轴和y轴，但都不会与x轴和y轴相交；
(3)图象关于直角坐标系原点成中心对称
待定系数法
确定反百分比
函数表示式
只需要知道双曲线上任意一点坐标，设出函数表示式，代入点坐标求出反百分比函数系数k即可
反百分比函数
系数k几
何意义
从反百分比函数y＝(k≠0)图象上任意一点向x轴和y轴作垂线，垂线与坐标轴所围成矩形面积为|k|

第4节　二次函数
知识点
内容
二次函数
定义
形如y＝ax2＋bx＋c(a，b，c是常数，a≠0)函数叫做二次函数
二次函数
图象和性质

图象

开口
向上(a>0)
向下(a<0)
对称轴
直线x＝－
直线x＝－
顶点坐标

增减性
当x>－时，y随x增大而增大；
当x＜－时，y随x增大而减小
当x>－时，y随x增大而减小；
当x＜－时，y随x增大而增大
最值
有最小值，y最小＝
有最大值，y最大＝
系数a，b，c和
图象关系

a
a符号决定抛物线开口方向
当a＞0时，抛物线开口向上；
当a＜0时，抛物线开口向下
b
a，b符号共同决定对称轴位置
当a，b同号时，对称轴在y轴左边；
当a，b异号时，对称轴在y轴右边；
当b＝0时，对称轴为y轴
c
c符号决定抛物线与y轴交点在正半轴或负半轴或原点
当c＞0时，抛物线与y轴交点在y轴正半轴上；
当c＝0时，抛物线经过原点；
当c＜0时，抛物线与y轴交点y轴负半轴上
抛物线与
x轴交
点个数
Δ＝b2－4ac＞0，有两个交点；Δ＝b2－4ac＝0，有一个交点；
Δ＝b2－4ac＜0，没有交点
用待定系数
法求二次函
数表示式
(1)已知抛物线上三点，选通常式y＝ax2＋bx＋c(a≠0);
(2)已知顶点或对称轴、最大(小)值，选顶点式y＝a(x－h)2＋k(a≠0)；
(3)已知抛物线与x轴两个交点，选交点式y＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)
二次函数
平移与表示
式关系
y＝ax2图象y＝a(x－h)2图象y＝a(x－h)2＋k图象
二次函数
综合利用
(1)从实际问题中抽象出二次函数，并能利用二次函数最值公式处理实际问题中最值问题；
(2)二次函数综合几何图形，要充分抓住几何图形特点并结合二次函数图 象特点才能有效处理问题．二次函数综合动点问题，要搞清楚在动过程中，什么变了，什么没变，动中求静才能有效处理问题
第4讲　图形认识
知识点
内容
线

直线基本事实
两点确定一条直线
线段基本事实
两点之间线段最短
角

余角概念
∠1＋∠2＝90° 则∠1与∠2互为余角
补角概念
∠1＋∠2＝180°则∠1与∠2互为补角
余角和补角性质
同角或等角余角相等；同角或等角补角相等
对顶角概念
两条直线相交后所得只有一个公共顶点而没有公共边两个角叫做对顶角
对顶角性质
对顶角相等
相交线

垂线概念
两条直线相互垂直，其中一条直线叫做另一条直线垂线
垂线性质
性质1：在同一平面内，过一点有一条而且仅有一条直线垂直于已知直线；
性质2：连结直线外一点与直线上各点全部线段中，垂线段最短
点到直线距离
从直线外一点到这条直线垂线段长度，叫做点到直线距离
平行线性质与判定

平行线性质与
判定之间关系
(1)同位角相等，两直线平行两直线平行，同位角相等；
(2)内错角相等，两直线平行两直线平行，内错角相等；
(3)同旁内角互补，两直线平行两直线平行，同旁内角互补
注意
(1)在同一平面内，不重合两条直线位置关系只有两种：相交或平行；
(2)平行于同一条直线两直线平行；
(3)在同一平面内，垂直于同一条直线两条直线平行
平行线性质与判定

平行线基本事实
经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行
平行线性质
定理及推论
(1)夹在两条平行线间平行线段相等；
(2)夹在两条平行线间垂线段相等
平行线之间距离
两条平行线中，一条直线上任意一点到另一条直线距离
命题、定理、证实

命题结构
(1)条件；(2)结论
真假命题
正确命题称为真命题，不正确命题称为假命题
逆命题
在两个命题中，假如第一个命题条件是第二个命题结论，而第一个命题结论是第二个命题条件，那么这两个命题叫做互逆命题；假如把其中一个命题叫做原命题，那么另一个命题叫做它逆命题；每个命题都有它逆命题，但每个真(假)命题逆命题不一定是真(假)命题
定理
用推理方法判断为正确命题叫做定理
逆定理
假如一个定理逆命题被证实是真命题，那么就叫它是原定理逆定理，这两个定理叫做互逆定理
平行线性质与判定

证实
要判定一个命题是真命题，往往需要从命题条件出发，依照已知条件定义、基本事实、定理(包含推论)，一步一步推得结论成立，这么推理过程叫做证实
反证法
在证实一个命题时，先假设命题不成立，再从这么假设出发，经过推理得出和已知条件矛盾，或者与定义、基本事实、定理等矛盾，从而得出假设命题不成立是错误，即所求证命题正确证实方法
第5讲　三角形
第1节　三角形
知识点
内容
三角形
稳定性
三角形三提哦啊变长度确定时，三角形形状、大小完全被确定
三角形三
边关系
三角形任何两边和大于第三边，任何两边差小于第三边
三角形
内角
三角形三个内角和等于180°
三角形内
角和推论
三角形外角等于与它不相邻两个内角和
三角形中
主要线段
(1)三角形角平分线(角平分线性质)；
(2)三角形中线(将三角形面积等分)；
(3)三角形高(钝角三角形高尺规作图)
三角形外心
三角形三个顶点确定圆叫做外接圆，其圆心是三角形三边垂直平分线交点，这个交点叫做三角形外心
三角形内心
和三角形三边都相切圆叫做内切圆，其圆心是三角形三条角平分线交点，这个交点叫做三角形内心
三角形
重心
三角形重心是三角形三条中线交点；三角形重心分每一条中线成1∶2两条线段
三角形全等

概念
能够重合两个三角形叫做全等三角形
性质
(1)全等三角形对应边、对应角相等；
(2)全等三角形对应角平分线、对应中线、对应高相等；
(3)全等三角形周长和面积都相等
判定
(1)SSS：三边对应相等两个三角形全等；
(2)SAS：两边及其夹角对应相等两个三角形全等；
(3)ASA：两角及其夹边对应相等两个三角形全等；
(4)AAS：两角及其中一个角对边对应相等两个三角形全等；
(5)HL：斜边和一条直角边对应相等两个直角三角形全等
注意
AAA和SSA不能判定两个三角形全等
三角形
中位线
三角形中位线平行于第三边，而且等于第三边二分之一

第2节　等腰三角形与直角三角形
知识点
内容
等腰三角形

性质
(1)等腰三角形两个底角相等，即“在同一个三角形中，等边对等角”；
(2)三线合一：等腰三角形顶角平分线、底边上中线和高线相互重合；
(3)对称性：等腰三角形是轴对称图形，它对称轴是底边上高(底边上中线或顶角平分线)所在直线
判定
(1)假如一个三角形两条边相等，那么这个三角形是等腰三角形；
(2)假如一个三角形有两个角相等，那么这个三角形是等腰三角形，即“在同一个三角形中，等角对等边”
等边三角形

性质
(1)等边三角形三条边相等；
(2)等边三角形各个内角都等于60°；
(3)对称性：等边三角形是轴对称图形，有3条对称轴
判定
(1)三条边都相等三角形是等边三角形；
(2)三个角都相等三角形是等边三角形；
(3)有一个角是60°等腰三角形是等边三角形
线段垂直平分线

性质
线段垂直平分线上点到线段两端距离相等
性质定理
逆定理
到线段两端距离相等点在线段垂直平分线上
角平分线

性质
角平分线上点到角两边距离相等
性质定理
逆定理
角内部到角两边距离相等点，在这个角平分线上
直角三角形

性质
(1)直角三角形两个锐角互余；
(2)直角三角形斜边上中线长等于斜边长二分之一；
(3)在直角三角形中，30°角所正确直角边等于斜边二分之一
判定
(1)有一个角是直角三角形是直角三角形；
(2)有两个角互余三角形是直角三角形；
(3)勾股定理逆定理；
(4)假如三角形一条边中线等于这条边二分之一，那么这个三角形是直角三角形
勾股定理及其逆定理

勾股
定理
直角三角形两条直角边平方和等于斜边平方
勾股定
理逆
定理
假如三角形中两边平方和等于第三边平方，那么这个三角形是直角三角形

第6讲 边形与多边形
第1节　多边形与平行四边形
知识点
内容
多边形

概念
在同一平面内，由任意两条都不在同一条直线上若干条线段(线段条数大于3)首尾顺次相接形成图形叫做多边形
对角线
(1)从n边形一个顶点能够引(n－3)条对角线，而且这些对角线把多边形分成了(n－2)个三角形；
(2)n边形对角线条数为
内角和
定理
n边形内角和为(n－2)×180°(n≥3)
外角和
任何多边形外角和都为360°
正多
边形
(1)各边相等，各角相等多边形叫做正多边形
(2)中心：即一个正多边形外接圆圆心
(3)半径：即正多边形外接圆半径
(4)中心角：正多边形每一边所正确圆心角
(5)边心距：中心到正多边形一边距离
(6)正n边形每个内角为
平行四边形

性质
(1)对边相等，对边平行(边)；(2)对角相等，邻角互补(角)；
(3)对角线相互平分(对角线)；(4)中心对称(对称性)
判定
(1)两组对边分别平行四边形；
(2)一组对边平行而且相等四边形；
(3)两组对边分别相等四边形；
(4)两组对角分别相等四边形；
(5)对角线相互平分四边形
主要
结论
(1)平行四边形相邻两边之和等于周长二分之一；
(2)平行四边形是中心对称图形，对角线交点为对称中心；
(3)平行四边形面积＝底×高
第2节　特殊平行四边形
知识点
内容

特殊平行四边形性质

四边形
边
角
对角线
对称性
矩形
对边平行且相等
四个角都是直角
对角线相等且相互平分
轴对称，中心对称
菱形
对边平行，四条边相等
对角相等，邻角互补
对角线相互垂直平分，而且每条对角线平分一组对角
轴对称，中心对称
正方形
对边平行，四条边相等
四个角都是直角
对角线相等且相互垂直平分，每条对角线平分一组对角
轴对称，中心对称
特殊平行四边形判定

矩形
(1) 有一个角是直角平行四边形；
(2)有三个角是直角四边形；
(3)两条对角线相等平行四边形
菱形
(1) 有一组邻边相等平行四边形；
(2)四条边相等四边形；
(3)对角线相互垂直平行四边形
正方形
(1) 有一组邻边相等，而且有一个角是直角平行四边形；
(2)有一组邻边相等矩形；
(3)有一个角是直角菱形；
(4)对角线相等且相互垂直平分四边形
特殊平
行四边
形之间
关系
及相互
转化

特殊
平行
四边
形
面积

矩形
矩形面积＝长×宽
菱形
菱形面积＝底×高＝×两条对角线积
正方形
正方形面积＝边长×边长＝×两条对角线积
第7讲　圆
第1节　圆基本性质
知识点
内容
圆基本概念

等圆
半径相等两个圆叫做等圆
半圆
圆任意一条直径两个端点分圆成两条弧，每一条弧都叫做半圆
弧
圆上任意两点间部分叫做圆弧，简称弧；大于半圆弧叫做优弧，小于半圆弧叫做劣弧；能够重合圆弧称为相等弧
弦
连结圆上任意两点线段叫做弦
直径
经过圆心弦叫做直径
弦心距
圆心到弦距离叫做弦心距
圆心角
顶点在圆心角叫做圆心角
圆周角
顶点在圆上，而且两边都与圆相交角叫做圆周角
确定圆
条件
不在同一条直线上三点确定一个圆
垂径定理及其推论

定理
垂直于弦直径平分这条弦，而且平分弦所正确弧
推论
(1)平分弦(不是直径)直径垂直于弦，而且平分弦所正确弧；
(2)平分弧直径垂直平分弧所正确弦
弧、弦、圆心角之间关系

圆心角
定理
在同圆或等圆中，相等圆心角所正确弧相等，所正确弦也相等
圆心角
定理
推论
在同圆或等圆中，假如两个圆心角、两条弧、两条弦、两个弦心距中有一对量相等，那么它们所对应其余各对量都相等
注意
弧度数等于它所对圆心角度数
圆周角定理及其推论

定理
圆周角度数等于它所对弧上圆心角度数二分之一
推论
(1)在同圆或等圆中，同弧或等弧所正确圆周角相等；相等圆周角所正确弧也相等；
(2)半圆(或直径)所正确圆周角是直角，90°圆周角所正确弦是直径
圆内接四边
形性质
圆内接四边形对角互补，任意一个外角等于它内对角(和它相邻内角对角)
第2节　与圆关于位置关系
知识点
内容
点与圆
位置关系
(1)d＜r 点P在⊙O内；
(2)d＝r 点P在⊙O上；
(3)d＞r 点P在⊙O外
直线和圆
位置关系

关系
相离
相切
相交
图形

公共点个数
0
1
2
数量关系
d＞r
d＝r
d＜r
切线性质与判定

切线性
质定理
圆切线垂直于过切点半径
切线判
定定理
经过半径外端而且垂直于这条半径直线是圆切线
注意
经过切点并垂直于切线直线必过圆心
切线长
定理
从圆外一点能够引圆两条切线，它们切线长相等，这一点和圆心连线平分两条切线夹角
第3节　与圆关于计算
知识点
内容
扇形
l＝，
S＝＝lr
圆柱
S侧＝Ch＝2πrh，
S全＝2πrh＋2πr2
圆锥
S侧＝Cl＝πrl，
S全＝πr2＋πrl
第8讲　尺规作图
知识点
内容
尺规作图及基本作图

定义
在几何中，把限定用没有刻度直尺和圆规来画图称为尺规作图
五种基
本作图
(1) 作一条线段等于已知线段；
(2)作一个角等于已知角；
(3)作一个角平分线；
(4)过定点作已知直线垂线；
(5)作线段垂直平分线
通常步骤
(1)已知；(2)求作；(3)作法
注意
当不要求写作法时，通常要保留作图痕迹．对于较复杂作图，可先画出草图，使它同所要作图大致相同，然后借助草图寻找作法

第9讲　图形与变换
第1节　图形轴对称、平移与旋转
知识点
内容
图形轴对称

轴对称图
形定义
假如把一个图形沿着一条直线折叠后，直线两侧部分能够相互重合，那么这个图形叫做轴对称图形
轴对称图
形性质
对应线段相等，对应角相等；对称轴垂直平分连结两个对称点线段
图形轴对称

图形轴
对称图形
概念
由一个图形变为另一个图形，并使这两个图形沿某一条直线折叠后能够相互重合，这么图形改变叫做图形轴对称，这条直线叫做对称轴
图形
轴对称
性质
(1)成轴对称两个图形是全等图形；
(2)对应线段或延长线相交，交点在对称轴上
图形中心对称

中心对
称图形
定义
把一个图形绕着一个点旋转180°后，能够和原来图形相互重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心
中心对
称图形
性质
对称中心平分连结两个对称点线段
成中心
对称
假如一个图形绕着一个点旋转180°后，能够和另一个图形相互重合，那么就称这两个图形关于该点成中心对称
图形平移

定义
一个图形沿某个方向移动，在移动过程中，原图形上全部点都沿同一个方向移动相等距离，这么图形运动叫做图形平移
性质
(1)平移不改变图形形状和大小， 只改变图形位置，平移后新旧两个图形全等；
(2)平移后，对应线段相等且平行，对应点连线平行(或在同一条直线上)且相等；
(3)平移后，对应角相等且对应角两边分别平行、方向相同
图形旋转

定义
通常地，一个图形变为另一个图形，在运动过程中，原图形上全部点都有一个固定点，按同一个方向，转动同一个角度，这么图形运动叫做图形旋转，这个固定点叫做旋转中心
性质
(1)图形经过旋转所得图形和原图形全等；
(2)在图形旋转过程中，图形上每一个点都绕旋转中心沿相同方向转动了相同角度；
(3)任何一对对应点与旋转中心连线所成角度都等于旋转角度；
(4)对应点到旋转中心距离相等
坐标与图形位置及运动

图形平
移变换
在平面直角坐标系内，假如把一个图形各个点横坐标都加上(或减去)一个正数a，对应新图形就是把原图形向右(或向左)平移a个单位；假如把它各个点纵坐标都加上(或减去)一个正数a，对应新图形就是把原图形向上(或向下)平移a个单位
图形关于
坐标轴成
对称变换
在平面直角坐标系内，假如两个图形关于x轴对称，那么这两个图形上对应点横坐标相等，纵坐标互为相反数；
在平面直角坐标系内，假如两个图形关于y轴对称，那么这两个图形上对应点横坐标互为相反数，纵坐标相等
图形关于
原点成中
心对称
在平面直角坐标系内，假如两个图形关于原点成中心对称，那么这两个图形上对应点横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数
图形关于
原点成位
似变换
在平面直角坐标系内，假如两个图形位似中心为原点，相同比为k，那么这两个位似图形对应点坐标比等于k或－k
第2节　图形相同
知识点
内容
百分比线段
在四条线段a，b，c，d中，假如a与b比等于c与d比，即＝，那么这四条线段a，b，c，d叫做成百分比线段，简称百分比线段
百分比基
本性质
(1)基本性质：＝ 则 ad＝bc (a，b，c，d都不为0)；
(2)合比性质：＝ 则 ＝；
(3)等比性质：＝＝…＝＝k(b＋d＋…＋n≠0)
则＝k
平行线分线段
成百分比定理
两条直线被一组平行线(不少于3条)所截，所得对应线段成百分比
黄金分割
定义：假如点P把线段AB分成两条线段AP和BP，使AP＞BP，且＝，那么线段AB被点P黄金分割，点P叫做线段AB黄金分割点，AP与AB比叫做黄金比(黄金比比值为，约为0.618)
相同三角形

定义
对应角相等，对应边成百分比两个三角形，叫做相同三角形
性质
(1)对应角相等，对应边成百分比；
(2)周长之比等于相同比，面积之比等于相同比平方；
(3)对应高之比、对应角平分线之比和对应中线之比都等于相同比
判定
(1)有两个角对应相等两个三角形相同；
(2)两边对应成百分比，且夹角相等两个三角形相同；
(3)三边对应成百分比两个三角形相同
注意
平行于三角形一边直线和其余两边相交，所组成三角形和原三角形相同
位似图形

概念
假如两个图形满足以下两个条件：(1)全部经过对应点直线都相交于一点；(2)这个交点到两个对应点距离之比都相等，那么这两个图形叫做位似图形，
性质
位似图形上任意一对对应点到位似中心距离之比等于相同比
第3节　解直角三角形
知识点
内容

锐角三角函数概念(注：在Rt△ABC中，∠C＝90°)

正弦
sinA＝＝

余弦
cosA＝＝

正切
tanA＝＝

特殊角三角函数值

角
30°
45°
60°
sin

cos

tan

1

解直角三角
形概念
在直角三角形中，除直角外，一共有五个元素，即三条边和两个锐角，由直角三角形中除直角外已知元素求出全部未知元素过程叫做解直角三角形

解直角三角形
理论依据
(1)三边之间关系：a2＋b2＝c2；
(2)锐角之间关系：∠A＋∠B＝90°；
(3)边角之间关系：sinA＝，cosA＝，tanA＝

解直角三角形及其应用

仰角、
俯角、
坡度、
坡角和
方向角
(1)仰角：视线在水平线上方角叫做仰角；俯角：视线在水平线下方角叫做俯角；
(2)坡度：坡面铅直高度和水平宽度比叫做坡度(或者叫做坡比)，用字母i表示；坡角：坡面与水平面夹角叫做坡角，用α表示，则有i＝tanα；
(3)方向角：平面上，经过观察点Ο作一条水平线(向右为东向)和一条铅垂线(向上为北向)，则从点O出发视线与水平线或铅垂线所夹角，叫做观察方向角
解直角三角
形实际应用
通常步骤
(1)搞清题中名词、术语，依照题意画出图形，建立数学模型；
(2)将条件转化为几何图形中边、角或它们之间关系，把实际问题转化为解直角三角形问题；
(3)选择适宜边角关系式，使运算简便、准确；
(4)得出数学问题答案并检验答案是否符合实际意义，从而得到问题解

第4节　视图与投影
知识点
内容
三视图
主视图：从正面看到图形；
俯视图：从上面看到图形；
左视图：从左面看到图形
三视图
对应关系
(1)长对正：主视图与俯视图长相等，且相互对正；
(2)高平齐：主视图与左视图高相等，且相互平齐；
(3)宽相等：俯视图与左视图宽相等，且相互平行
常见几何体
三视图
(1)正方体三视图都是正方形；
(2)圆柱三视图有两个是矩形，另一个是圆；
(3)圆锥三视图中有两个是三角形，另一个是圆；
(4)球三视图都是