圆锥曲线(复习).doc

第八章圆锥曲线
1截面与所有母线都相交，截线为椭圆；截面与一条母线平行，截线为抛物线；截面与轴线平行就可以使得截线为双曲线的一支。他分别将这三种圆锥曲线命名为："齐曲线"(抛物线)、"亏曲线"(椭圆)、"超曲线"(双曲线)。阿波罗尼奥斯首先注意到了双曲线有两支，并且是有心曲线。
2实质上是代数知识（函数，三角，不等式）在解析几何中的综合运用，加上圆锥曲线本身所固有的性质；怎样简化计算①点在直线上，点的坐标的设法②点差法③充分利用几何性质
8.1椭圆
1椭圆的定义及有关概念
（1）第一定义：在平面内，动点p与两个定点的距离之和为 常数2a的点的轨迹
①当2a>2c时，p点的轨迹是椭圆
②当2a=2c时，p点的轨迹是线段
③当2a<2c时，p点的轨迹不存在
例1方程表示的曲线是＿＿＿.
例2方程=6表示的曲线是＿＿＿
例3三角形ABC中，A,B,C所对的边分别为a，b，c，B(-1,0),C(1,0)且b>a>c，b，a，c成等差数列，则顶点A的轨迹方程为＿＿＿
（2）第二定义平面内，动点p到定点F的距离和它到定直线的距离的比是常数e，且0<e<1的轨迹是椭圆
定点F是椭圆的焦点，定直线l是椭圆的准线，常数e是离心率
（3）a，b，c相互关系

标准方程
长轴（长半轴）：2a，短轴(短半轴)：2b，焦距（半焦距）：2c

焦点到椭圆的最短距离a-c=||
不变量：焦准距：,中准距：,通径：
非标准方程

不变量：（1）焦准距（2）中准距（3）通径
例1方程表示的曲线是＿＿＿.
例2以（0，1），（1，0）为焦点的椭圆过原点，求椭圆的长轴，短轴，焦距，离心率（非标准方程）
例3求经过M（1，2），以y轴为准线，离心率为的椭圆的左顶点的轨迹方程

例4已知动圆p过定点（-3，0），并且与定圆相内切，求动圆圆心p的轨迹方程

例5椭圆上有点p到左准线的距离为，则点p到右焦点的距离是多少
例6已知椭圆，过椭圆的右焦点作x轴的垂线交椭圆于A,B两点，若以|AB|为直径的圆过坐标原点，则椭圆的离心率e为＿＿＿.

例7p是椭圆上的点，是焦点，e是离心率。若，求证：
例8已知p是椭圆上任意一点，是它两个焦点，求证：以|PF|为直径的圆必和以椭圆的长轴为直径的圆内切

例9在平面直角坐标系中，已知三角形ABC的顶点A(-4,0)和c（4，0），顶点B在椭圆，则=＿＿＿.

Ⅱ椭圆的方程
1（1）①焦点在x轴上②焦点在y轴上
判断焦点的位置：①先判断a②再对a相对于x，y的字母，确定相应的焦点在x轴或y轴
（2）参数方程：：{
（3）一般式方程m
例1椭圆过点M(-2,),和N（1，2），求椭圆的方程（标准方程）
例2经过点（2，-3）且与椭圆有共同的焦点，求椭圆的方程
例3在椭圆上到直线：3x-2y-16=0的距离最短，则点的坐标是＿＿＿；最短距离是＿＿＿.
（函数不等式）
例4设椭圆的中心在坐标原点，长轴在x轴上，离心率e=，已知点p（0，）到这个椭圆的最远的距离为，求此椭圆的方程
例5椭圆的右焦点为F（3，0），右准线为x=，e=，求其方程（不是标准方程）
例6已知椭圆p过定点A(-3,0)，并且与定圆B：相内切，求动圆圆心p的轨迹方程
例7三角形ABC，BC=12,D,E分别是AB,AC的中点，|BE|+|CD|=30，求重心G的轨迹方程
例8曲线关于M(3,5)对称的曲线方程为＿＿＿.
例9求椭圆c关于：x-y+3=0对称的椭圆方程？
例10已知椭圆短轴长为，离心率e=，该椭圆的一个焦点在函数y=的图像上，并且与这个焦点相对应的准线为x轴，求椭圆的方程。
Ⅲ椭圆的焦点三角形

S，
. 若是双曲线，则面积为.
例1已知点P是椭圆上一点，为左、右焦点
(1)求|P的最大值与最小值
（2）证明|P=
（3）证明=

Ⅳ焦半径

|PF|=，|PF|=（左加右减）
设为椭圆上的一点，为上、下焦点，则
由椭圆方程的第二定义可以推出.
由椭圆第二定义可知：归结起来为
“左加右减”.
例1椭圆上有一点p，是它两个焦点，,求的面积
例2在椭圆上求一点p，使它到左焦点的距离是它到右焦点的距离的两倍
例3设椭圆的两个焦点是（c>0）,且椭圆上存在点p，使得垂直，求实数m的取值范围
Ⅴ点与椭圆的位置关系
，p（在椭圆内
，p（在椭圆上
，p（在椭圆外
例1直线y=kx+1与椭圆恒有公共点，求参数m的取值范围
例2设A,B分别为椭圆的左右顶点，椭圆的长半轴的长等于焦距，且x=4为它的右准线，
（1）求椭圆的方程
（2）设P为右准线上不同于（4，0）的任意一点，若直线AP,BP分别与椭圆相交于异于A,B的点M,N，证明点B在以MN为直径的圆内。
Ⅵ直线和椭圆的关系（有心圆锥曲线可以直接用判别法）
例1当m为何值时，直线y=x+m与相交，相切，相离
Ⅶ性质

M为AB的中点，（用点差法证明），特别地，当a=b时为圆，
例1直线与椭圆交于A，B两点，并且线段AB的中点为（1，1），求直线的方程
解法1（根与系数的关系）
解法2（点差法）
解法3（利用性质）
例2设椭圆存在两点，关于y=2x+m对称，试确定m的范围
解法1：设而不求
解法2：点差法（出现中点）

例3椭圆的中心在坐标原点O，焦点在x轴上，离心率e=，过点C（-1，0）的直线交椭圆于A,B两点，且满足：((1)若为常数，①试用直线的斜率k（k0）表示的面积；②当的面积最大时，求椭圆E的方程；（2）若变化，且，试问：实数和直线的斜率k（kR）分别为何值时，椭圆E的短半轴取得最大值？
例4设A,B分别为椭圆的左右顶点，椭圆的长半轴的长等于焦距，且x=4为它的右准线
（1）求椭圆的方程
（2）设p为右准线上不同于（4，0）的任意一点，若直线AP,BP分别与椭圆相交于异于A,B的点M,N证明：点B在以MN为直径的园内（一般情况下，直线和椭圆不求交点坐标，但特殊直线可以求交点坐标，标准方程下，如直线过椭圆的中心或直线过椭圆的顶点）
例5设椭圆中心在（0，0）,A(2,0),B(0,1)是它两个顶点，直线y=kx（k>0）与AB交于点D，与椭圆交于E,F两点
（1）若,求k
（2）求S的最大值
例6已知椭圆，是它两个焦点，左右顶点为A,B，动点M为椭圆上一点
（1）若,求e的范围
（2）若,求e的范围
例7设椭圆，是它两个焦点，A是椭圆上的一点，,原点O到直线的距离为
(1)证明a=
（2）设为椭圆上的两个动点，,过原点O作直线的垂线OD，垂足为D，求点D的轨迹方程。
Ⅷ有关最值
例1已知椭圆内有一点A（4，2），F为其右焦点，M为椭圆上一动点，求|MA|+|MF|的最小值
例3已知F是椭圆的左焦点，点P是椭圆上的动点，点A(1,1)是一定点，（1）求2|PA|+3|PF|的最小值，并求P的坐标
（2）求|PA|+|PF|的最大值与最小值
例4已知抛物线，直线与抛物线交于A,B两点，OB,求AB的中点M的轨迹方程
解法1（利用根与系数的关系，设而不求）
解法2求出点A,B的坐标
例5已知椭圆内有一点A（4，2），F为其右焦点，M为椭圆上一动点，求|MA|+|MF|的最小值

Ⅸ弦长公式
在圆锥曲线与直线联立求解时，消元后得到的方程，要注意其二次项系数是否为零？△≥0的限制。（求交点，弦长，中点，斜率，对称存在性问题都在△≥0下进行。）

10有关中点弦问题可考虑用“代点法”。

答案：
8.2双曲线
1. 双曲线的第一定义：

⑴①双曲线标准方程：. 一般方程：.
⑵①i. 焦点在x轴上：
顶点： 焦点： 准线方程 渐近线方程：或
ii. 焦点在轴上：顶点：. 焦点：. 准线方程：. 渐近线方程：或，参数方程：或 .
②轴为对称轴，实轴长为2a, 虚轴长为2b，焦距2c. ③离心率. ④准线距（两准线的距离）；通径. ⑤参数关系. ⑥焦点半径公式：对于双曲线方程（分别为双曲线的左、右焦点或分别为双曲线的上下焦点）
“长加短减”原则：
构成满足 （与椭圆焦半径不同，椭圆焦半径要带符号计算，而双曲线不带符号）

例1若双曲线的渐近线方程为2x3y=0，且过点（，求双曲线的方程
⑶等轴双曲线：双曲线称为等轴双曲线，其渐近线方程为，离心率.
⑷共轭双曲线：以已知双曲线的虚轴为实轴，实轴为虚轴的双曲线，叫做已知双曲线的共轭双曲线.与互为共轭双曲线，它们具有共同的渐近线：.
①x轴：，y轴：
（两双曲线的形状没变，只是焦点的位置变了，2a实轴也相等）
⑸共渐近线的双曲线系方程：的渐近线方程为如果双曲线的渐近线为时，它的双曲线方程可设为.
（共轭双曲线：焦点由x轴变为y轴，形状也变了）
例如：若双曲线一条渐近线为且过，求双曲线的方程？
解：令双曲线的方程为：，代入得.
⑹直线与双曲线的位置关系：
区域①：无切线，2条与渐近线平行的直线，合计2条；
区域②：即定点在双曲线上，1条切线，2条与渐近线平行的直线，合计3条；
区域③：2条切线，2条与渐近线平行的直线，合计4条；
区域④：即定点在渐近线上且非原点，1条切线，1条与渐近线平行的直线，合计2条；
区域⑤：即过原点，无切线，无与渐近线平行的直线.
小结：过定点作直线与双曲线有且仅有一个交点，可以作出的直线数目可能有0、2、3、4条.
例1已知双曲线C:与点p（1，2），求过点p（1，2）的直线l的斜率的取值范围，使l与C分别有一个交点，两个交点，没有交点。
（2）若直线与双曲线一支有交点，交点为二个时，求确定直线的斜率可用代入法与渐近线求交和两根之和与两根之积同号.
⑺若P在双曲线，则常用结论1：P到焦点的距离为m = n，则P到两准线的距离比为m︰n.
简证： = .
常用结论2：从双曲线一个焦点到另一条渐近线的距离等于b.
例2过点A（2，1）的直线与双曲线交于两点，求弦的中点p的轨迹方程
8.3抛物线方程.
1抛物线的定义：平面内动点p到定点F（焦点）的距离等于到l（准线）的距离（一个焦点，一条准线）
2方程. 设，抛物线的标准方程、类型及其几何性质：

图形

焦点

准线

范围

对称轴
轴
轴
顶点
（0，0）
离心率

焦点

注：①顶点.
②则焦点半径;则焦点半径为.
③通径为2p，这是过焦点的所有弦中最短的.
④（或）的参数方程为（或）（为参数）.
3焦半径
|PF|=
4结论
例1已知抛物线，直线l与抛物线相交于AB，而且满足,证明l过定点并求出定点（2p，0）
例2已知AB是抛物线（p>0）的焦点弦，且A(，B(，直线AB的倾斜角为，点F为抛物线的焦点，求证
（1），
（2）为定值
（3）|AB|=
例3已知抛物线，l与抛物线相交于AB两点，且,M为AB的中点，求M的轨迹方程
解法一：
解法二：
例4设抛物线的焦点为F，经过F的直线与抛物线相交于AB两点，C在抛物线的准线上，BC//x轴，求证AC经过点O

例5已知抛物线，其焦点和准线分别是某椭圆的一个焦点和一条准线，求该椭圆的短轴端点的轨迹。
例6讨论方程表示的曲线（kR）
例7讨论圆与抛物线的交点的个数
例8如图，过抛物线的对称轴上任一点P（0，m）（m>0）作直线与抛物线交于A,B两点，点Q是点P关于原点的对称点.
(1)设点P分有向线段所成的比为，证明
(2)设直线AB的方程是x-2y+12=0，过A,B两点的圆C与抛物线在点A处有共同的切线，求圆C的方程。

例9已知椭圆的中心为坐标原点O,焦点在x轴上，斜率为1且过椭圆的右焦点F的直线交椭圆于A,B两点，与共线，
（1）求椭圆的离心率
（2）设M为椭圆上任意一点，且
例10求证椭圆和双曲线正交（即二曲线在交点处互相垂直）
例11过抛物线内一点P（2，1）作弦AB,使其恰好被P点平分，求AB所在的直线的方程。
8.4圆锥曲线的统一定义..
4. 圆锥曲线的统一定义：平面内到定点F和定直线的距离之比为常数的点的轨迹.
当时，轨迹为椭圆；
当时，轨迹为抛物线；
当时，轨迹为双曲线；
当时，轨迹为圆（，当时）.
5. 圆锥曲线方程具有对称性. 例如：椭圆的标准方程对原点的一条直线与双曲线的交点是关于原点对称的.
因为具有对称性，所以欲证AB=CD, 即证AD与BC的中点重合即可.
注：椭圆、双曲线、抛物线的标准方程与几何性质

椭圆
双曲线
抛物线
定义
1．到两定点F1,F2的距离之和为定值2a(2a>|F1F2|)的点的轨迹
1．到两定点F1,F2的距离之差的绝对值为定值2a(0<2a<|F1F2|)的点的轨迹

2．与定点和直线的距离之比为定值e的点的轨迹.（0<e<1）
2．与定点和直线的距离之比为定值e的点的轨迹.（e>1）
与定点和直线的距离相等的点的轨迹.
图形

方

程
标准方程
(>0)
(a>0,b>0)
y2=2px
参数方程

(t为参数)
范围
─a£x£a，─b£y£b
|x| ³ a，yÎR
x³0
中心
原点O（0，0）
原点O（0，0）

顶点
(a,0), (─a,0), (0,b) , (0,─b)
(a,0), (─a,0)
(0,0)
对称轴
x轴，y轴；
长轴长2a,短轴长2b
x轴，y轴;
实轴长2a, 虚轴长2b.
x轴
焦点
F1(c,0), F2(─c,0)
F1(c,0), F2(─c,0)

焦距
2c （c=）
2c （c=）

离心率

e=1
准线
x=
x=

渐近线

y=±x

焦半径

通径

2p
焦参数

P
1. 椭圆、双曲线、抛物线的标准方程的其他形式及相应性质.
2. 等轴双曲线
3. 共轭双曲线
5. 方程y2=ax与x2=ay的焦点坐标及准线方程.
6.共渐近线的双曲线系方程.
例1已知抛物线的焦点为F，AB是抛物线上的点，且()过AB两点分别作抛物线的切线交于M
（1） 求证：为定值
（2）设ABM的面积为S，写出s=f（）的解析式，并求出S

例2一列椭圆C（0），椭圆C上有一点P到右准线的距离的距离为是与的等差中项，其中是椭圆的左右焦点
(1)求证 :
（2）取，并用S表示的面积，试证且
3已知曲线与其关于点（1，1）对称的曲线有两个不同的交点A和B，如果过这两个交点的直线的倾斜角，则实数a的值是？
4已知动直线l过定点p（3，0），交抛物线于A,B两点，是否存在垂直于x轴的直线被以AP为直径的圆截得的弦长为定值，若存在，求出的方程，若不存在说明理由。

5已知点Q（及抛物线上一动点P（x，y），则y+|PQ|的最小值为？

6抛物线与过焦点的直线交于AB两点，O是坐标原点，则等于多少？

7椭圆:的左右顶点分别为A，B，点P是双曲线C：在第一象限内的图像上一点，直线AP,BP与椭圆分别交于C,D两点，若与的面积相等
（1）求P的坐标
（2）能否使直线CP过椭圆的右焦点，若能，求出此时双曲线C的离心率；若不能，说明理由

8如图，点A（0，-1）向抛物线C：作切线AB，切点为B，且点B在第一象限，再过线段AB的中点M作直线l与抛物线C交于不同的两点E,F，直线AE,AF分别交抛物线于P,Q两点，求（1）点B的坐标（2）证明

分析：1封闭曲线与直线：
（1）有一个交点联合方程有一个解相切
（2）有两个交点联合方程有两个解
2不封闭曲线与直线：
（1）两个交点联合方程有两个解
（2）一个交点（必要非充分条件）
即证（1）PQ//AB(2)三点一线求坐标
9若点P为共焦点的椭圆和双曲线的一个交点，分别是它们的左右焦点，设椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，若,则

10如图，以AB为直径的圆有一内接梯形ABCD，且AB//CD,若双曲线以A,B为焦点，且过C,D两点，则当梯形的周长最大时，双曲线的离心率为?