考查傅立叶变换以及逆变换的性质.doc

1．解答题：考查傅立叶变换以及逆变换的性质，以及FT的线性性、搬移特性。
已知,且有 =[，试求-1[]。
解：根据FT变换的`线性性、频域卷积定理，卷积的分配律，函数频移特性,的FT（由直流信号的FT，FT的搬移特性和线性性、欧拉公式等求出）

]
]

2 证明题：考查FT反褶共轭特性
证明：复信号的虚实分量满足：
（1）
（2）
证明：
（ 1）[]
[]+[]]

2）
[[]

3．解答题：
考查奇周期信号的傅立叶级数
奇周期信号（周期为）的傅立叶级数中是否含有余弦项？为什么。
解：不会含有余弦项，因为：
根据傅立叶级数的定义，余弦分量的系数为：

由于f(t)是奇函数，所以还是奇函数，于是0-
即，周期奇函数的傅立叶级数中不含余弦项。
4．证明题：考查对于Z变换的定义的记忆和理解。
设x(n)是一个具有有理Z变换X(z)的偶序列试利用Z变换的定义来证明：若是X（z）的零点，那么也是它的一个零点。
证明：因为x(n)=x (-n)，由z变换的定义有：

令,得

所以有：，即也是X(z)的一个零点。
5．简答题，考查采样定理，信号的时域、频域的特性，卷积在频率域的性质。
设一个有限频率信号f (t)的最高频率为，若对下列信号进行时域取样。求最小取样频率
1)
2)
3)
4)
解1）：信号时域压缩则频域扩展，所以的最高频率是原来的3倍，即3，于是
2）信号时域相乘则频域卷积，因此有：

[]=
由图解法可知 的最高频率成分为，所以
3）信号时域卷积则频域相乘
[][ ]

由信号（函数）的乘法运算性质知，这相当于在频域进行一种加窗作用，所以
[]的最高频率成分为即的最高频率，所以
4）由信号（函数）的加法运算性质与FT变换的线形性知，的最高频率为，所以
6.解答题:考查离散系统的数学描述以及Z变换的平移特性.
设一离散系统的差分方程为：，求
1）该系统的传递函数H(z)
2）令a= -0.7，b=0.02，求输入为u(n)时的系统的零状态响应y(n)的Z变换Y(z)
3）画出Y(z)的极点分布图。
解：
1）将差分方程两边取Z变换，并利用位移特性，得到

所以，

2） 差分方程可化为, 于是对方程两边分别取Z变换，可得

即

3）由上可知，Y(z)有两个一阶极点：，
7．解答题，考查序列的Z 变换的定义。
设x(n)的双边Z 变换为X（z），用ZT的定义（不要用性质）求下列变换：
1）Z[ x (n+m)]
2）
x (n/2) n是偶数
3）,其中，
0 n是奇数

解：1）根据双边Z变换的定义，可得
Z [x(n+m)]

2）根据双边Z变换的定义可得

所以，
3）根据双边Z变换的定义 ，可得：

8．简答题，考查特殊信号以及信号特性和运算。
设f(t)为一连续 的时间信号，试说明下列各种信号运算有什么不同？
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
（6）
解：(1) 截取在0 ~ T之间的波形，得到一个片段（表示为新信号。
（2）将信号搬移到nT处，即得。
（3）将信号以T为周期进行重复（或者延拓）
（4）对信号以T为周期进行理想采样，得到一系列冲击值。
（5）筛选出信号在nT的值
（6）把 信号在所有时间值为T的整数倍处的取值加起来，即
9．选择题，考查傅立叶变换的特性
下列关于傅立叶变换的公式或说法不正确的是：[ 8 ]
（1）
(2) 信号时移只会改变相位频谱而不会影响幅度谱
（3）
（4）
（5）信号在频域中压缩等效于在时域中扩展，所以不可能压缩信号的等效脉宽和等效带宽。
（6）工程上通过将信号与三角函数相乘，可以使信号的频谱发生搬移。
（7）时域周期离散，则频域也周期离散，时域连续非周期，则频域也连续非周期。
（8），a为非0的实常数。
8．计算题，考查Z逆变换的求取（部分分式法）
用部分分式展开法求解的逆变换,其中收敛域为
解：上式可化为：

得：
可求出：

于是，可以将展开为：

由于序列是因果的（），所以

9．用长除法求的逆变换x(n)，，其中收敛域为
解：
由于X (z)的收敛域是，所以必然是因果序列，此时X (z)按z的降幂列成下列形式，,然后进行长除
得：

所以