数学 难题 中考.doc

一 有理数
1（2008•泰州）让我们轻松一下，做一个数字游戏：
第一步：取一个自然数n1=5，计算nl2+1，将所得结果记为a1；
第二步：算出a1的各位数字之和得n2，计算n22+1，结果为a2；
第三步：算出a2的各位数字之和得n3，再计算n32+1，结果为a3；
…
依此类推，则a2008=26
．考点：规律型：数字的变化类．专题：规律型．分析：根据题意，进行计算a1=26；因为2+6=8，所以a2=65；因为6+5=11，所以a3=122；因为1+2+2=5，所以a4=a1．发现：每3个一循环，则2008÷3=669…1，则a2008=a1=26．解答：解：∵26，65，122每3个数一循环，2008÷3=669…1，
∴a2008=a1=26．点评：此类题主要应根据要求进行正确计算，发现几个一循环，找到规律，再进行计算．
二 勾股定理与平方根
2试题直角三角形两直角边长为3和4，三角形内一点到各边距离相等，那么这个距离为1
考点：勾股定理；三角形的内切圆与内心．
分析：连接OA，OB，OC利用小三角形的面积和等于大三角形的面积即可解答．解答：解：连接OA，OB，OC，则点O到三边的距离就是△AOC，△BOC，△AOB的高线，设到三边的距离是x，则三个三角形的面积的和是：
1 2 AC•x+1 2 BC•x+1 2 AB•x=1 2 AC•BC，就可以得到x=1．

3清朝康熙皇帝是我国历史上对数学很有兴趣的帝王．近日，西安发现了他的数学专著，其中有一文《积求勾股法》，它对“三边长为3、4、5的整数倍的直角三角形，已知面积求边长”这一问题提出了解法：“若所设者为积数（面积），以积率六除之，平方开之得数，再以勾股弦各率乘之，即得勾股弦之数”．用现在的数学语言表述是：“若直角三角形的三边长分别为3、4、5的整数倍，设其面积为S，则第一步：S6
=m；第二步： m
=k；第三步：分别用3、4、5乘以k，得三边长”．
（1）当面积S等于150时，请用康熙的“积求勾股法”求出这个直角三角形的三边长；
（2）你能证明“积求勾股法”的正确性吗请写出证明过程．考点：勾股定理；勾股定理的证明．专题：阅读型．分析：先由题中所给的条件找出字母所代表的关系，然后套用公式解题．解答：解：（1）当S=150时，k= m = S 6 = 150 6 = 25 =5，
所以三边长分别为：3×5=15，4×5=20，5×5=25；

（2）证明：三边为3、4、5的整数倍，
设为k倍，则三边为3k，4k，5k，
而三角形为直角三角形且3k、4k为直角边．
其面积S=1 2 （3k）•（4k）=6k2，
∴k2=S 6 ，k= S 6 （取正值），
即：将面积除以6，然后开方，即可得到倍数．点评：此题信息量较大，解答此类题目的关键是要找出所给条件，然后解答．
三 整式
4(2011大庆）已知；a、b、c是△ABC的三边的长，且满足a3+ab2+bc2=ac2+a2b+b3，试判断△ABC的形状．考点：因式分解的应用．分析：利用分组分解法提公因式法对等式进行变形，再进一步判定三角形的形状．解答：解：∵a3+ab2+bc2=ac2+a2b+b3，
∴（a3-a2b）+（ab2-b3）+（bc2-ac2）=0，
a2（a-b）+b2（a-b）-c2（a-b）=0，
（a-b）（a2+b2-c2）=0，
∴a=b或a2+b2=c2，
则三角形是等腰三角形或直角三角形．点评：此题考查了因式分解在图形中的应用，要能够熟练运用分组分解法和提公因式法进行因式分解．
5（2009台州）若将代数式中的任意两个字母交换，代数式不变，则称这个代数式为完全对称式，如a+b+c就是完全对称式．下列三个代数式：①（a-b）2；②ab+bc+ca；③a2b+b2c+c2a．其中是完全对称式的是（　　）
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
考点：完全平方公式．分析：在正确理解完全对称式的基础上，逐一进行判断，即可得出结论．解答：解：根据信息中的内容知，只要任意两个字母交换，代数式不变，就是完全对称式，
则：①（a-b）2=（b-a）2；是完全对对称式．
②将代数式ab+bc+ca中的任意两个字母交换，代数式不变，故ab+bc+ca是完全对称式．
③将a与b交换，a2b+b2c+c2a变为ab2+a2c+bc2．故a2b+b2c+c2a不是完全对称式．
故选A．点评：本题是信息题，考查了学生读题做题的能力．正确理解所给信息是解题的关键．
6已知1+x+x2+x3+x4=0，求1+x+x2+x3+…+x2009的值．0
0考点：因式分解的应用．分析：1+x+x2+x3+…+x2009可以整理为（1+x+x2+x3+x4）+（x5+x6+…+x9）+…+（x2005+x2006+…+x2009），经过两次提公因式可得（1+x+x2+x3+x4）（1+x5+x10+…+x2005）．解答：解：1+x+x2+x3+…+x2009=（1+x+x2+x3+x4）+（x5+x6+…+x9）+…+（x2005+x2006+…+x2009）
=（1+x+x2+x3+x4）+x5（1+x+x2+x3+x4）+…+x2005（1+x+x2+x3+x4）
=（1+x+x2+x3+x4）（1+x5+x10+…+x2005）
由于1+x+x2+x3+x4=0，所以原式=0．点评：寻找公因式1+x+x2+x3+x4是此题的关键．
7（2006•安徽）老师在黑板上写出三个算式：52-32=8×2，92-72=8×4，152-32=8×27，王华接着又写了两个具有同样规律的算式：112-52=8×12，152-72=8×22，…
（1）请你再写出两个（不同于上面算式）具有上述规律的算式；
（2）用文字写出反映上述算式的规律；
（3）证明这个规律的正确性．考点：平方差公式．专题：规律型．分析：通过观察可知，等式左边一直是两个奇数的平方差，右边总是8乘以一个数．根据平方差公式，把等式左边进行计算，即可得出结论任意两个奇数的平方差等于8的倍数．解答：解：（1）112-92=8×5，132-112=8×6．
（2）规律：任意两个奇数的平方差等于8的倍数．
（3）证明：设m，n为整数，两个奇数可表示2m+1和2n+1，
则（2m+1）2-（2n+1）2=4（m-n）（m+n+1）．
当m，n同是奇数或偶数时，m-n一定为偶数，所以4（m-n）一定是8的倍数．
当m，n-奇-偶时，则m+n+1一定为偶数，所以4（m+n+1）一定是8的倍数
所以，任意两奇数的平方差是8的倍数．点评：本题为规律探究题，考查学生探求规律解决问题的思维能力．
四 分式
8（2011•宁德）已知：a1=x+1（x≠0且x≠-1），a2=1÷（1-a1），a3=1÷（1-a2），…，an=1÷（1-an-1），则a2011等于（　　）
A．x B．x+1 C．-1x
D．x
x+1

考点：分式的混合运算．专题：规律型．分析：先计算出a2=-1
x
，a3=x
x+1
，a4=x+1，…，依次循环，每三个数为一轮，则a3n=x
x+1
，a3n+1=x+1，a3n+1=-1
x
，从而得出a2011即可．解答：解：∵a1=x+1（x≠0且x≠-1），a2=1÷（1-a1），a3=1÷（1-a2），…，an=1÷（1-an-1），
∴a2=-1 x ，a3=x x+1 ，a4=x+1，…，
∴a3n=x x+1 ，a3n+1=x+1，a3n+2=-1 x ，
∵2011=670×3+1，
∴a2011=x+1．
故选B．点评：本题是一道找规律的题目，考查了分式的混合运算，解题的关键是得出规律：a3n=xx+1 ，a3n+1=x+1，a3n+2=-1 x
9（2011•襄阳）关于x的分式方程mx-1
+3
1-x
=1的解为正数，则m的取值范围是m＞2且m≠3
m＞2且m≠3
．考点：分式方程的解．专题：计算题．分析：方程两边同乘以x-1，化为整数方程，求得x，再列不等式得出m的取值范围．解答：解：方程两边同乘以x-1，得，m-3=x-1，
解得x=m-2，
∵分式方程m x-1 +3 1-x =1的解为正数，
∴x=m-2＞0且x-1≠0，
即m＞2且m≠3，
故答案为m＞2且m≠3．点评：本题考查了分式方程的解，要注意分式的分母不为0的条件，此题是一道易错题，有点难度．

（2011•安顺）已知：如图，O为坐标原点，四边形OABC为矩形，A（10，0），C（0，4），点D是OA的中点，点P在BC上运动，当△ODP是腰长为5的等腰三角形时，则P点的坐标为（2，4）或（3，4）或（8，4）
（2，4）或（3，4）或（8，4）
．
考点：矩形的性质；坐标与图形性质；等腰三角形的性质．专题：数形结合．分析：分PD=OD（P在右边），PD=OD（P在左边），OP=OD三种情况，根据题意画出图形，作PQ垂直于x轴，找出直角三角形，根据勾股定理求出OQ，然后根据图形写出P的坐标即可．解答：解：当OD=PD（P在右边）时，根据题意画出图形，如图所示：
过P作PQ⊥x轴交x轴于Q，在直角三角形DPQ中，PQ=4，PD=OD=1 2 OA=5，
根据勾股定理得：DQ=3，故OQ=OD+DQ=5+3=8，则P1（8，4）；
当PD=OD（P在左边）时，根据题意画出图形，如图所示：

过P作PQ⊥x轴交x轴于Q，在直角三角形DPQ中，PQ=4，PD=OD=5，
根据勾股定理得：QD=3，故OQ=OD-QD=5-3=2，则P2（2，4）；
当PO=OD时，根据题意画出图形，如图所示：

过P作PQ⊥x轴交x轴于Q，在直角三角形OPQ中，OP=OD=5，PQ=4，
根据勾股定理得：OQ=3，则P3（3，4），
综上，满足题意的P坐标为（2，4）或（3，4）或（8，4）．
故答案为：（2，4）或（3，4）或（8，4）点评：这是一道代数与几何知识综合的开放型题，综合考查了等腰三角形和勾股定理的应用，属于策略和结果的开放，这类问题的解决方法是：数形结合，依理构图解决问题．

如图，在直角坐标系中，四边形OABC为直角梯形，A点坐标为（10，0），B点坐标为（6，3）．动点P、Q分别从C、A两点同时出发，点P以每秒1个单位的速度由C向B运动，点Q以每秒2个单位的速度由A向O运动，当点Q停止运动时，点P也停止运动，设运动时间为t（0≤t≤5），
（1）当t为多少时，四边形PQAB是平行四边形？
（2）当t为多少时，四边形PQAB是等腰梯形？考点：等腰梯形的性质；平行四边形的性质；直角梯形．专题：计算题；动点型．分析：（1）当PQAB为平行四边形时，利用平行四边形的性质和Q（10-2t，0）P（t，3）推出 6-t=10-2t，从而可求出t．
（2）当PQAB为等腰梯形时，根据勾股定理求出AB=5，再利用等腰梯形的性质可得9t2-60t+109=25，解得t即可．解答：解：（1）Q（10-2t，0）P（t，3）
∵BP‖AQ
∴PQAB为平行四边形时，
BP=AQ
则BP=6-t，AQ=2t
BP=AQ推出 6-t=2t
解得t=2
（2）∵BP‖AQ
∴PQAB为等腰梯形时QP=AB
AB= 42+32 =5
PQ= (10-2t)2+32
∵AP=PQ，
∴9t2-60t+109=25
9t2-60t+84=0
3t2-20t+28=0
（3t-14）（t-2）=0
解得t1=14 3 ，t2=2
又∵t=2时PQAB为平行四边形 （ （1）中已证 ）
所以t=14 3 ，点评：此题主要考查等腰梯形的性质，平行四边形的性质，直角梯形的性质等知识点，涉及到的知识点较多，综合性较

2012•吉林）如图，在△ABC中，∠A=90°，AB=2cm，AC=4cm．动点P从点A出发，沿AB方向以1cm/s的速度向点B运动，动点Q从点B同时出发，沿BA方向以1cm/s的速度向点A运动．当点P到达点B时，P，Q两点同时停止运动，以AP为一边向上作正方形APDE，过点Q作QF∥BC，交AC于点F．设点P的运动时间为ts，正方形和梯形重合部分的面积为Scm2．
（1）当t=1
1
s时，点P与点Q重合；
（2）当t=45

4
5

s时，点D在QF上；
（3）当点P在Q，B两点之间（不包括Q，B两点）时，求S与t之间的函数关系式．考点：相似形综合题；勾股定理；正方形的性质；相似三角形的判定与性质．专题：动点型．分析：（1）当点P与点Q重合时，此时AP=BQ=t，且AP+BQ=AB=2，由此列一元一次方程求出t的值；
（2）当点D在QF上时，如答图1所示，此时AP=BQ=t．由相似三角形比例线段关系可得PQ=1
2
t，从而由关系式AP+PQ+BQ=AC=2，列一元一次方程求出t的值；
（3）当点P在Q，B两点之间（不包括Q，B两点）时，运动过程可以划分为两个阶段：
①当1＜t≤4
3
时，如答图3所示，此时重合部分为梯形PDGQ．先计算梯形各边长，然后利用梯形面积公式求出S；
②当4
3
＜t＜2时，如答图4所示，此时重合部分为一个多边形．面积S由关系式“S=S正方形APDE-S△AQF-S△DMN”求出．解答：解：（1）当点P与点Q重合时，AP=BQ=t，且AP+BQ=AB=2，
∴t+t=2，解得t=1s，
故填空答案：1．

（2）当点D在QF上时，如答图1所示，此时AP=BQ=t．
∵QF∥BC，APDE为正方形，∴△PQD∽△ABC，
∴DP：PQ=AC：AB=2，则PQ=1 2 DP=1 2 AP=1 2 t．
由AP+PQ+BQ=AC=2，得t+1 2 t+t=2，解得：t=4 5 ，
故填空答案：4 5 ．

（3）当P、Q重合时，由（1）知，此时t=1；
当D点在BC上时，如答图2所示，此时AP=BQ=t，BP=1 2 t，求得t=4 3 s，进一步分析可知此时点E与点F重合；
当点P到达B点时，此时t=2．
因此当P点在Q，B两点之间（不包括Q，B两点）时，其运动过程可分析如下：
①当1＜t≤4 3 时，如答图3所示，此时重合部分为梯形PDGQ．
此时AP=BQ=t，∴AQ=2-t，PQ=AP-AQ=2t-2；
易知△ABC∽△AQF∽△PBM∽△DNM，可得AF=2AQ，EF=2EG．
∴EF=AF-AE=2（2-t）-t=4-3t，EG=1 2 EF=2-3 2 t，
∴DG=DE-EG=t-（2-3 2 t）=5 2 t-2．
S=S梯形PDGQ=1 2 （PQ+DG）•PD=1 2 [（2t-2）+（5 2 t-2）]•t=9 4 t2-2t；
②当4 3 ＜t＜2时，如答图4所示，此时重合部分为一个多边形．
此时AP=BQ=t，∴AQ=PB=2-t，
易知△ABC∽△AQF∽△PBM∽△DNM，可得AF=2AQ，PM=2PB，DM=2DN，
∴AF=4-2t，PM=4-2t．
又DM=DP-PM=t-（4-2t）=3t-4，∴DN=1 2 （3t-4）．
S=S正方形APDE-S△AQF-S△DMN=AP2-1 2 AQ•AF-1 2 DN•DM
=t2-1 2 （2-t）（4-2t）-1 2 ×1 2 （3t-4）×（3t-4）
=-9 4 t2+10t-8．
综上所述，当点P在Q，B两点之间（不包括Q，B两点）时，S与t之间的函数关系式为：
S= 9 4 t2-2t(1＜t≤4 3 -9 4 t2+10t-8(4 3 ＜t＜2) ．点评：本题是运动型综合题，涉及到动点与动线问题．第（1）（2）问均涉及动点问题，列方程即可求出t的值；第（3）问涉及动线问题，是本题难点所在，首先要正确分析动线运动过程，然后再正确计算其对应的面积S．本题难度较大，需要同学们具备良好的空间想象能力和较强的逻辑推理能力．