概率统计期末试卷 答案.doc

2013年下学期概率统计模拟卷参考答案
一、 填空题：每空3分，共18分.请将各题号对应的正确答案填写在下列表格内.
题号
1
2
3
4
5
6
答案

6

1. 设A, B, C是三个随机事件. 事件：A不发生, B, C中至少有一个发生表示为(空1) .
2. 口袋中有3个黑球、2个红球, 从中任取一个, 放回后再放入同颜色的球1个. 设Bi={第i次取到黑球},i=1,2,3,4. 则=(空2) .
解 用乘法公式得到

=3/70
3. 在三次独立的重复试验中, 每次试验成功的概率相同, 已知至少成功一次的概率为. 则每次试验成功的概率为(空3) ..
解 设每次试验成功的概率为p, 由题意知至少成功一次的概率是，那么一次都没有成功的概率是. 即, 故 =.
4. 设随机变量X, Y的相关系数为, , 则=(空4) .
解

5. 设随机变量X的方差为2, 用切比雪夫不等式估计=(空5) .
解 由切比雪夫不等式, 对于任意的正数, 有
,
所以 .
6. 设总体的均值为0, 方差存在但未知, 又为来自总体的样本, 为的无偏估计. 则常数=(空6) .
解 由于
,
所以k=为的无偏估计.
二、单项选择题：每小题2分，共18分. 请将各题号对应的正确选项代号填写在下列表格内.
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
选项
D
B
A
A
C
D
D
B
C

1. 若两个事件A和B同时出现的概率P(AB)=0, 则下列结论正确的是( ).
(A) A和B互不相容. (B) AB是不可能事件.
(C) P(A)=0或P(B)=0.. (D) 以上答案都不对.
解 本题答案应选(D).
2. 在5件产品中, 只有3件一等品和2件二等品. 若从中任取2件, 那么以0.7为概率的事件是( )．
(A) 都不是一等品. (B) 至多有1件一等品.
(C) 恰有1件一等品. (D) 至少有1件一等品.
解 至多有一件一等品包括恰有一件一等品和没有一等品, 其中只含有一件一等品的概率为, 没有一等品的概率为, 将两者加起来即为0.7. 答案为（B）.
3. 设事件A与 B相互独立, 且0<P(B)<1, 则下列结论中错误的是( ).
(A) A与B一定互斥. (B) .
(C) . (D) .
解 因事件A与B独立, 故也相互独立, 于是(B)是正确的. 再由条件概率及一般加法概率公式可知(A)和(D)也是正确的. 从而本题应选(C).
4. 设随机变量服从正态分布,服从正态分布,且 则下列各式中正确的是( ).
(A) σ1 < σ2. (B) σ1 > σ2. (C) μ1 <μ2. (D) μ1 >μ2.
解 对μ1＝μ2时, 答案是(A).
5. 设令, 则( ).
(A). (B). (C). (D).
解 由正态分布函数的性质可知本题应选(C).
6. 设X与Y相互独立，且都服从, 则下列各式中正确的是( ).
(A) . (B) .
(C) . (D) .
解 注意到.由于X与Y相互独立,所以
. 选(D).
7. 设(X, Y)服从二元正态分布, 则下列结论中错误的是( ).
(A) (X, Y)的边缘分布仍然是正态分布.
(B) X与Y相互独立等价于X与Y不相关.
(C) (X, Y)的分布函数唯一确定边缘分布函数.
(D) 由(X, Y)的边缘概率密度可完全确定(X, Y)的概率密度.
解 仅仅由(X, Y)的边缘概率密度不能完全确定(X, Y)的概率密度. 选(D)
8. 设,(n),,分别是标准正态分布N(0,1)、(n)分布、分布和分布的上分位点, 在下列结论中错误的是( ).
(A) .   (B) (n)=1-(n).
(C) . (D) .
解 应选(B).
9. 设随机变量, 则下列关系中正确的是( ).
(A) . (B) .
(C) . (D)
解 由题设知,, 其中. 于是
=,
这里, 根据F分布的定义知故应选(C).
三、(10分)某厂甲、乙、丙三个车间生产同一种产品, 其产量分别占全厂总产量的40%, 38%, 22%, 经检验知各车间的次品率分别为0.04, 0.03, 0.05. 现从该种产品中任意抽取一件进行检查.
　 (1) 求这件产品是次品的概率;
(2) 已知抽得的产品是次品, 问此产品来自乙车间的概率是多少？
解 设A表示“取到的产品是一件次品”, (i=1, 2, 3)分别表示“所取到的产品来自甲、乙、丙车间”. 易知, 是样本空间S的一个划分, 且
，,. 4分
(1) 由全概率公式可得

4分
(2) 由贝叶斯公式可得
. 2分
四、(10分)设随机变量X的概率密度为

对X独立观察3次, 求至少有2次的结果大于1的概率.
解 根据概率密度与分布函数的关系式
≤,
可得
. 5分
所以, 3次观察中至少有2次的结果大于1的概率为
. 5分

五、(12分) 随机变量(X,Y)的概率密度为

求: (1) ；(2) 关于X的边缘分布和关于Y的边缘分布；(3) X与Y是否独立？并说明理由.
解 (1) ≤4}
. 4分
(2) 当时, ;
当x≤0时或x≥2时, .
故 3分
当2<y<4时,;
当≤2时或≥4时, .
故 3分
(3) 因为,所以X与Y不相互独立. 2分
六、(10分)设某种商品每周的需求量X是服从区间[10,30]上均匀分布的随机变量,而经销商店进货量为区间[10,30]中的某一整数. 该经销商店每销售一单位该种商品可获利500元; 若供大于求则削价处理, 每处理一单位该种商品亏损100元; 若供不应求, 则可从外部调剂供应, 此时每一单位商品仅获利300元. 为实现该商店所获利润期望值不小于9280元的目标, 试确定该经销商店对该种商品的进货量范围.
解 设进货量为a单位, 则经销商店所获利润为
4分
需求量X的概率密度为
2分
由此可得利润的期望值为
2分

依题意, 有≥9280,即≤0, 解得≤a≤26. 故期望利润不少于9280元的进货量范围为21单位~26单位. 2分
七、(10分)设总体的概率密度为

其中θ>-1是未知参数, X1,X2,…,Xn 是来自总体的容量为n的简单随机样本.
求: (1) 的矩估计量；
(2) θ的极大似然估计量.
解 总体 X 的数学期望为
.
令, 即, 得参数θ的矩估计量为. 4分
设x1, x2,…, x n是相应于样本X1, X 2,… , X n的一组观测值, 则似然函数为
2分
当0<xi<1(i=1,2,3,…,n)时, L>0且 ,令 =0, 得θ的极大似然估计值为,而θ的极大似然估计量为. 4分
八、(12分)从某种试验物中取出24个样品，测量其发热量, 算得该样本平均值11958, 样本标准差．设该试验物的发热量服从正态分布，其中参数σ2未知. (1) 求的置信水平为0.95的置信区间; (2) 取显著性水平α=0.05, 问是否可以认为该试验物发热量的期望值为12100? (3) 问题(1)和(2)的前提与结论之间有什么关系?
解 (1) 已知数据n=24, =11958, s=316, α = 0.05, 可得=t0.025(23)=2.0687. 所求置信区间为=(11824.59,12091.41) 4分
(2) 提出假设 H0: μ=μ0=12100; H1:μ≠μ0 . 2分
对于α=1-0.95= 0.05, 选取检验统计量, 拒绝域为|t|>=t0.025(23)=2.0687 2分
代入数据n=24, =11958, s=316, 得到>2.0687. 所以拒绝原假设, 不能认为该试验物发热量的期望值为12100. 2分
(3) 假设检验中的显著性水平α=0.05与置信区间估计的置信水平0.95满足关系0.95=1-α； 1分
的双侧假设检验的接受域与的置信水平为0.95的置信区间相同. 1分

注意：题目参考数据: t0.025(24)=2.0639, t0.025(23)=2.0687, t0.05(24)=1.7109, t0.05(23)=1.7139
z0.025=1.96, z0.05=1.65