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第一章 随机变量 习题一

7、设一个工人生产了四个零件，表示事件“他生产的第i个零件是正品”，用,,,的运算关系表达下列事件.
(1)没有一个产品是次品； (1)
(2)至少有一个产品是次品；(2)
(3)只有一个产品是次品；(3)
(4)至少有三个产品不是次品
4)
8. 设 E、F、G是三个随机事件，试利用事件的运算性质化简下列各式 ：
(1)(2) （3）
解 :(1) 原式
(2) 原式
(3) 原式
12. (1)设事件A , B的概率分别为 与 ，且 A 与 B 互 斥，则 = .
(2).一个盒中有8只红球，3只白球，9只蓝球 ，如果随机地无放回地摸3只球 ，则取到的3 只 都 是 红 球 的 事 件 的 概 率 等 于 _______。
(3) 一 袋中有4只白球，2只黑球，另一只袋中有3只白球和5只黑球，如果
从每只袋中各摸一只球 ，则摸到的一只是白球，一只是黑球的事件的概 率
等于 ______。
(4) .设 A1 , A2 , A3 是随机试验E的三个相互独立的事件，
已知P(A1) = a , P(A2) = b，P(A3) = g ，则A1 , A2 , A3 至少有一个
发生的概率是 1(1a)(1 b)(1g) .

(5) ．一个盒中有8只红球，3只白球，9只蓝球，如果随机地无放回地摸3只球，
则摸到的没有一只是白球的事件的概率等于 ______。

19、(1)已知，求
(2)已知，求
解: (1) (2)

28、设每100个男人中有5个色盲者，而每10000个女人中有25个色盲者，今在3000
个男人和 2000个女人中任意抽查一人， 求 这 个 人 是 色 盲 者 的 概 率。
解:
A ：“ 抽到的一人为男人”；B ： “ 抽到的一人为色盲者”
则

29、设有甲、乙两袋，甲袋装有n只白球，m只红球；乙袋中装有N只白球，M只红
球，今从甲袋中任取一只球放入乙袋中，再从乙袋中任意取一只球，问取到白
球的概率是多少？

解：设表示从甲袋中任取一只白球放入乙袋中的事件，
表示从甲袋中任取一只红球放入乙袋中的事件，
表示从甲袋中任取一只球放入乙袋后再从乙袋中取一只白球的事件，
所求事件
由全概率公式：
易知：

于是
32、在18盒同类电子元件中有5盒是甲厂生产的，7 盒是乙厂生产的，4盒是丙厂生产的，其余是丁厂生产的，该四厂的产品合格品率依次为0.8，0.7，0.6， 0.5 ， 现任意从某一盒中任取一个元件，经测试发现是不合格品， 试问该盒产品属于 哪一个厂生产的可能性最大 ？
解: Ai ( i = 1,2,3,4):“ 所取一盒产品属于甲，乙 ，丙 ，丁厂生产 ”
B ： “ 所 取 一 个 元 件 为 不 合 格 品 ”
则 ， ， ，
， ， ，
由 全 概 率 公 式 : =
由 贝 叶 斯 公 式 :

故 该 盒 产 品 由 乙 厂 生 产 的 可 能 性 最 大

第2章一维随机变量 习题2

一. 填空题：
2.设 随 机 变 量 x 的 分 布 函 数 为 则
P{ 0<x<1} = _________。 解： P{ 0<x<1} =
3.设 x 服 从 参 数 为 l 的 泊 松 分 布 ， 且 已 知 P{ x = 2 } = P{ x = 3 }，
则 P{ x = 3 }= ___ 或 3.375e-3____。
4.设 某 离 散 型 随 机 变 量 x 的 分 布 律 是 ，
常 数 l>0， 则 C 的 值 应 是 ___ e-l_____。
解：
5 设 随 机 变 量 x 的 分 布 律 是
则 = 0.8 。
解：
令 得

20、设连续型随机变量X的分布函数为

求(1)常数A,B (2) (3)概率密度
解: (1) (2) (3)

21、某种型号的电子管寿命X(以小时计)，具有如下概率密度：
现有一大批此种电子管(设各电子管损坏与否相互独立)，任取5只，问其中至少有2只寿命大于1500小时的概率是多少？并求.
解：设使用寿命为x小时

，所求事件的概率：

再求

23、设顾客在银行的窗口等待服务的时间X(以小时计)服从指数分布，其概率密度为
某顾客在窗口等待服务，若超过10分钟，他就离开，他一个月要到银行5次，以Y表示一个月内他未等到服务而离开窗口的次数，写出Y的分布律，并求.
解：
29、设电流是一个随机变量，它均匀分布在9安~11安之间，若此电流通过2欧姆的电阻，在其上消耗的功率为，求的概率密度.
解：由题意I的概率密度为

对于
由于，所以当时，其分布函数，
故的概率密度；

30、设 正 方 体 的 棱 长 为 随 机 变 量 x ，且 在 区 间 ( 0 ， a ) 上 均 匀 分 布 ，
求 正 方 体 体 积 的 概 率 密 度 。 ( 其 中 a > 0 )
解:
正 方 体 体 积 h = x 3
函 数 y = x 3 在 ( 0 ， a ) 上 的 反 函 数

h 的 概 率 密 度 为
31. 设 随 机 变 量 x 的 概 率 密 度 为
求 随 机 变 量 h = l n x 的 概 率 密 度 。
解：函 数 y = l n x 的 反 函 数 x = h ( y ) = e y ，
当 x 在 ( 0 ， +¥ )上 变 化 时 ， y 在 (¥ ， + ¥ ) 上 变 化 ，

于 是 h 的 概 率 密 度 为

第三章 多维随机变量及其分布

6、随机变量的分布如下，写出其边缘分布.

0
1
2
3

1
0

0

3

0
0

9、如果随机变量的联合概率分布为

1
2
3
1

2

则应满足的条件是 ；若与相互独立，则 ， .
10、设相互独立，，则的联合概率密度
，的概率密度 .
12、 设 ( x 、 h ) 的 联 合 分 布 函 数 为
则 A =__1___。
二、证明和计算题
6、设随机变量的密度函数为
(1)确定常数 (2)求的分布函数 (3)求
解：(1)

(2)

(3)

9、随机变量的分布函数为求：
（1）边缘密度；（2）验证X,Y是否独立。
解：（1），
.

,

(2) 因为，故与是相互独立的.
10、一电子器件包含两部分，分别以记这两部分的寿命(以小时记)，设的分布函
数为
(1)问和是否相互独立？ (2)并求
解：(1)

易证，故相互独立.
(2)由(1)相互独立

11、设 随 机 变 量 (x , h)的 分 布 函 数 为 求：( 1 )
系 数 A , B及 C的 值 ， ( 2 ) (x , h)的 联 合 概 率 密 度 j(x , y)。
解：( 1 )

由 此 解 得
( 2 )

1
3

第4章 随机变量的数字特征
一、填空题
3、已知随机变量服从二项分布，且，则二项分布的参数
n= 6 , p= 0.4 .
4、已知服从，则. = 1 ,= 1/2 .
5、设的分布律为

0
1
2

则9/4 .
6、设相互独立，则协方差 0 .
这时，之间的相关系数 0 .
8、是随机变量的相关系数，当时，与 不相关 ，当时， 与 几乎线性相关 .
9、若，且相互独立，则 36 .
10、若为常数，则.
13、若，则 12 ， 85 ，
37 .
二、计算题
5、设连续型随机变量的分布函数
求 、、、.
解: 为连续型随机变量，
为连续函数.

可解得; , .
的概率密度

=0

令 ，则

8、设随机变量、，求、.
解: 显然
所以 .

1
2
3
-1
0.2
0.1
0
0
0.1
0
0.3
1
0.1
0.1
0.1
11、设随机变量的密度函数为
求.
解: ：
=.
15、设区域为，二维随机变量服从上的均匀分布，判断、
的相关性、独立性.
解: 显然，二维随机变量的概率密度函数为

所以

因此
同样可得
又
所以
故、不相关，但由于

所以与不相互独立.

19、设相互独立
求的相关系数. (其中是不为0的常数)
解：

因为相互独立，所以

所以

第 5 章 大数定律与中心极限定理
一、 填空题：
3. 设随机变量相互独立且同分布, 而且有, , 令, 则对任意给定的, 由切比雪夫不等式直接可得 .
解：切比雪夫不等式指出：如果随机变量满足：与都存在, 则对任意给定的, 有
, 或者
由于随机变量相互独立且同分布, 而且有
所以

4. 设随机变量X满足：, 则由切比雪夫不等式,
有　　　　.
解：切比雪夫不等式为：设随机变量X满足, 则对任意
的, 有由此得　
5、设随机变量，则 .

二．计算题：
8．(1)一个复杂系统由100个相互独立的元件组成，在系统运行期间每个元件损坏的概率为0.1，又知为使系统正常运行，至少必需要有85个元件工作，求系统的可靠程度(即正常运行的概率)；(2)上述系统假设有n个相互独立的元件组成，而且又要求至少有80%的元件工作才能使系统正常运行，问n至少为多大时才能保证系统的可靠程度为0.95?
解：(1)设表示正常工作的元件数，则，

由中心极限定理可知

(2)设表示正常工作的元件数，则

9．一部件包括10部分，每部分的长度是一随机变量，相互独立且具有同一分布，其数学期望为2 mm ，均方差为0.05 mm，规定总长度为20 ± 0.1 mm 时产品合格，试求产品合格的概率。已 知 ：( 0.6 ) = 0.7257；( 0.63 ) = 0.7357。

解：设 每 个 部 分 的 长 度 为 Xi ( i = 1, 2, …, 10 )
E ( Xi ) = 2 = m, D( Xi ) = s2 = ( 0.05 ) 2 ,依题意 ，得合格品的概率为

10．计算机在进行加法计算时，把每个加数取为最接近它的整数来计算，设所有取整误差是相 互独立的随机变量，并且都在区间[0.5，0.5 ]上服从均匀分布，求1200个数相加时误 差总和的绝对值小于10的概率。已知：(1)=0.8413；(2)=0.9772。

解：设 x1 ， x2 ，， xn 表示取整误差, 因它们在 [0.5 ，0.5 ] 上服从均匀分布 ，
故 有
根 据 同 分 布 的 中 心 要 极 限 定 理 ， 得

=( 1 ) (1 ) = 2 ( 1 )1
= 2 ´ 0.84131 = 0.6826

13. 保险公司新增一个保险品种：每被保险人年交纳保费为100元, 每被保险人出事赔付金
额为2万元. 根据统计, 这类被保险人年出事概率为0.000 5. 这个新保险品种预计需
投入100万元的广告宣传费用. 在忽略其他费用的情况下, 一年内至少需要多少人参
保, 才能使保险公司在该年度获利超过100万元的概率大于95%？

解：设参保人数为N人, 则

由　　

第六章 数理统计的基本概念

一.填空题

1.若是取自正态总体的样本，
则服从分布 .
2.样本来自总体则 ；
___。其中为样本均值，。

3.设是来自正态总体的简单随机样本，
，则当 时，
时，统计量服从分布，其自由度为 2 .

6. 设随机变量, 随机变量, 且随机变量X与Y相互独立,
令, 则　F(1,n)　　分布.
解：由, 得. 因为随机变量, 所以 再由随机变量X与Y相互独立, 根据F分布的构造, 得
9.判断下列命题的正确性：( 在圆括号内填上“ 错” 或“ 对”)

(1) 若 总 体 的 平 均 值 m与 总 体 方 差 s2 都 存 在 ， 则 样 本
平 均 值 是 m 的 一 致 估 计。 ( 对 )

(2) 若 则 称 为 q 的 渐 近 无 偏 估 计 量 .( 错 )

(3) 设总体X 的期望E(X)，方差D(X)均存在， 是X 的一个样本 ，
则统计量是 E(X) 的无偏估计量。 ( 对 )

(4) 若 且 则 以 估 计 q 较 以 估
计 q 有 效 。 ( 错 )

(5) 设为q 的估计量，对任意e > 0，如果 则称
是q 的一致估计量 。 ( 对 )

（6）样本方差是总体中s2 的无偏
估计量。是总体X中s2的有偏估计。 （ 对 ）

10.设是取自总体的一个样本，则下面三个均值估计量
都
是总体均值的无偏估计，其中方差越小越有效，则 最有效.

二、选择题
2、设是来自正态总体的简单随机样本，，，，则服从自由度为的t分布的随机变量是( B ).
A、 B、 C、 D、
3、设，为的样本，则( C ).
A、 B、
C、 D、
4、设是总体的样本，分别是样本的均值和样本标准差，则有( C )
A、 B、 C、 D、
8. 3、设是来自母体的容量为3的样本，，，，则下列说法正确的是( B ).
A、都是的无偏估计且有效性顺序为
B、都是的无偏估计，且有效性从大到小的顺序为
C、都是的无偏估计，且有效性从大到小的顺序为
D、不全是的无偏估计，无法比

三. 计算题

1、在总体中随机地抽取一个容量为16的样本，求样本均值在
29到31之间取值的概率.
解：因，故，即

2、设某厂生产的灯泡的使用寿命(单位：小时)，抽取一容量
为9的样本，其均方差，问是多少？
解：因未知，不能用来解题，
而
，而

由表查得
3、设为总体的一个样本，求.
解：

4、设总体，从此总体中取一个容量为6的样本，
设，试决定常数，使随机变量服 从分布.

解：，

，

即
时，

5、设随机变量服从分布，求的分布.
解：因为，其中，，

6. 利 用 t 分 布 性 质 计 算 分 位 数 t0.975( 50 ) 的 近 似 值 。
( 已 知 x ~ N ( 0， 1 ) ， p ( x < 1.96 ) = 0.975 )

解: 当 n 足 够 大 时，t 分 布 近 似 N (0，1),
当 u ~ N (0，1 ) 时 ，分 位 数 u1-a 近 似 t1-a( n ) 。
而 p { u ³ u0.975 } =0.025 时 ， u0.975 = 1.926 » 2 ， t0.975 ( 50 ) » 2

7. 设 Xn为 来 自 有 均 值 m 和 r 阶 中 心 矩 mr 的 总
体 X 的 样 本，试证明。又此式说明总体的r阶
矩与样本r 阶矩有什么关系 ？

证 ：
上 述 结 果 表 明 总 体 的 r 阶 矩 与 样 本 的 r 阶 矩 相 等 , 说 明 样 本 的
r 阶 中 心 矩 是 总 体 X 的 r 阶 中 心 矩 mr的 无 偏 估 计 。

8. 设总体, 为来自总体X的样本. 令
.
试确定常数C, 使CY服从分布, 并指出其自由度.

解：由, 得
又互相独立,
故

且二者独立.
从而有
得分布的自由度为2.

9. 设分别是来自正态的总体X与Y的样本,,求.

解:方法1:由
可得 .
方法2:
.

10.设 是 取 自 母 体 N ( m，s2 ) ，容 量 为 n的 两 个 相 互 独
立 的 样 本 X1 、X2、 、 Xn 及 Y1、 Y2、 、Yn 的 均 值 ，
试 确 定 n ， 使 这 两 个 样 本 均 值 之 差 超 过 s 的 概 率
大 约 为 0.01 。 ( 已 知 F ( 2.58 ) = 0.995 )
解 ： 由 于 及 均 服 从 则
要
即
即 即

\ 取 n = 14

第7章 参数估计 ----点估计

2、设总体服从指数分布 ，是来自的样本，（1）求未知参数的矩估计；（2）求的极大似然估计.
解：（1）由于 ，令，故的矩估计为
（2）似然函数

故的极大似然估计仍为。
3、设总体，为取自X的一组简单随机样本，求的极大似然估计；
[解] (1)似然函数
于是
，
令，得的极大似然估计：.
4、设总体服从泊松分布, 为取自X的一组简单随机样本, （1）求未知参数的矩估计；（2）求的极大似然估计.
解：（1）令，此为的矩估计。
（2）似然函数
故的极大似然估计仍为。

第七章 参数估计 ----区间估计
一、选择题
1、设总体，未知，设总体均值的置信度的置信区间长度，那么与的关系为( A ).
A、增大，减小 B、增大，增大
C、增大，不变 D、与关系不确定
2、设总体，且已知，现在以置信度估计总体均值，下列做法中一定能使估计更精确的是( C ).
A、提高置信度，增加样本容量 B、提高置信度，减少样本容量
C、降低置信度，增加样本容量 D、降低置信度，减少样本容量

二、计算题
1、设总体，当样本容量时，测得，求未知参数的置信度为0.95的置信区间.
解：的置信区间为

的置信区间为。
2、设总体已知要使总体均值的置信水平为的置信区间的长度不大于，问需要抽取多大容量的样本。
解：的置信区间为，

3、某车间生产自行车中所用小钢球，从长期生产实践中得知钢球直径，现从某批产品里随机抽取6件，测得它们的直径(单位：mm)为：
14.6，15.1，14.9，14.8，15.2，15.1，置信度(即)
(1)若，求的置信区间 (2)若未知，求的置信区间
(3)求方差，均方差的置信区间.
解：(1)已知，则的置信区间为，
代入则得的置信区间
(2)未知，则的置信区间为，
查表得，代入得的置信区间为
(3)
的置信区间
代入得的置信区间为：。
均方差的置信区间为
4、 设从正态总体X中采用了n = 31个相互独立的观察值 , 算得样本均值 及样本方差 , 求总体X的均值和方差的90%的置信区间
解：
\m的 90%的置信区间为 :
，S2 = 33.64
的 （1-a）%的置信区间为 :

即
\s2的 90%的 置 信 区 间 为 : (23.1 , 54.6)
5、 设 某 种 灯 泡 的 寿 命 X服 从 正 态 分 布 N( , s2 ) , , s2未 知 , 现 从 中 任 取 5个灯 泡 进 行 寿 命 测 试 (单 位 : 1000小 时 ), 得 :
10.5 , 11.0 , 11.2 , 12.5 , 12.8 ,
求 方 差 及 均 方 差 的 90%的 置 信 区 间 .
解：

\ s2及 s 的 90%的 置 信 区 间 为 (0.419 , 5.598)
及
6、 二正态总体N(m1 , s12) , N(m2 , s22)的参数均未知 ,依次取容量为 n1=10 , n2=11的二独立样本 ,测得样本均值分别为，样本方差分别为 ,
(1) 求二总体均值差的90%的置信区间。（2）求二总体方差比90%的置信区间。
解：
（1），，
的90%的置信区间为

（2）

的 90%的 置 信 区 间 为 :

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