图形的相似经典测试题附答案.doc

图形的相似经典测试题附答案

一、选择题
1．如图，在矩形中，，在上取一点，沿将向上折叠，使点落在上的点，若四边形与矩形相似，则的长为(　　)

A．2 B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
可设AD=x，由四边形与矩形相似，根据相似多边形对应边的比相等列出比例式，求解即可．
【详解】
解：∵，
设AD=x，则FD=x-1，FE=1，
∵四边形EFDC与矩形ABCD相似，
∴，即，
解得：，（不合题意，舍去）
经检查，是原方程的解．
∴．
故选：D．
【点睛】
本题考察了翻折变换（折叠问题），相似多边形的性质，本题的关键是根据四边形与矩形相似得到比例式．

2．如图，在x轴的上方，直角∠BOA绕原点O按顺时针方向旋转.若∠BOA的两边分别与函数、的图象交于B、A两点，则∠OAB大小的变化趋势为（ ）

A．逐渐变小 B．逐渐变大 C．时大时小 D．保持不变
【答案】D
【解析】
【分析】
如图，作辅助线；首先证明△BEO∽△OFA，，得到；设B为（a，），A为（b，），得到OE=-a，EB=，OF=b，AF=，进而得到，此为处理问题的关键性结论；运用三角函数的定义证明知tan∠OAB=为定值，即可处理问题．
【详解】
解：分别过B和A作BE⊥x轴于点E，AF⊥x轴于点F，
则△BEO∽△OFA，
∴，
设点B为（a，），A为（b，），
则OE=-a，EB=，OF=b，AF=，
可代入比例式求得，即，
根据勾股定理可得：OB=，OA=，
∴tan∠OAB===
∴∠OAB大小是一种定值，因此∠OAB的大小保持不变.
故选D

【点睛】
该题重要考察了反比例函数图象上点的坐标特性、相似三角形的鉴定等知识点及其应用问题；解题的措施是作辅助线，将分散的条件集中；解题的关键是灵活运用相似三角形的鉴定等知识点来分析、判断、推理或解答．

3．如图，已知，，，的长为（ ）

A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
根据平行线分线段成比例定理列出比例式，计算即可．
【详解】
∵AD：AF=3：5，
∴AD：DF=3：2，
∵AB∥CD∥EF，
∴，即，
解得，CE=4，
故选B．
【点睛】
本题考察的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键．

4．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝60°，AC＝2，D是AB边上一种动点（不与点A、B重叠），E是BC边上一点，且∠CDE＝30°．设AD＝x，BE＝y，则下图象中，能表达y与x的函数关系的图象大体是（　　）

A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
根据题意可得出然后判断△CDE∽△CBD，继而运用相似三角形的性质可得出y与x的关系式，结合选项即可得出答案．
【详解】
解：∵∠A＝60°，AC＝2，
∴
在△ACD中，运用余弦定理可得CD2＝AC2+AD2﹣2AC•ADcos∠A＝4+x2﹣2x，
故可得,
又∵∠CDE＝∠CBD＝30°，∠ECD＝∠DCB（同一种角），
∴△CDE∽△CBD，即可得
即
故可得： 即呈二次函数关系，且开口朝下．
故选C．
【点睛】
考察解直角三角形，相似三角形的鉴定与性质，掌握相似三角形的鉴定定理与性质定理是解题的关键.

5．如图，点E是的边上一点，，连接，交边于点，下列结论中错误的是（ ）

A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
由平行四边形的性质和相似三角形的性质分别判断即可．
【详解】
解：∵在中，，，
∴,
∴,
∵
∴，选项A对的，选项D错误，
∴，即：，
∴，
∴选项B对的，
∴，即：，
∴选项C对的，
故选：D．
【点睛】
此题重要考察了平行四边形的性质以及相似三角形的鉴定与性质，能纯熟运用相似三角形对应边成比例是解题关键．

6．如图，□ABCD的对角线AC，BD交于点O，CE平分∠BCD交AB于点E，交BD于点F，且∠ABC＝60°，AB＝2BC，连接OE．下列结论：①EO⊥AC；②S△AOD＝4S△OCF；③AC：BD＝：7；④FB2＝OF•DF．其中对的的是（ ）

A．①②④ B．①③④ C．②③④ D．①③
【答案】B
【解析】
【分析】
①对的．只要证明EC=EA=BC，推出∠ACB=90°，再运用三角形中位线定理即可判断．
②错误．想措施证明BF=2OF，推出S△BOC=3S△OCF即可判断．
③对的．设BC=BE=EC=a，求出AC，BD即可判断．
④对的．求出BF，OF，DF（用a表达），通过计算证明即可．
【详解】
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD∥AB，OD=OB，OA=OC，
∴∠DCB+∠ABC=180°，
∵∠ABC=60°，
∴∠DCB=120°，
∵EC平分∠DCB，
∴∠ECB=∠DCB=60°，
∴∠EBC=∠BCE=∠CEB=60°，
∴△ECB是等边三角形，
∴EB=BC，
∵AB=2BC，
∴EA=EB=EC，
∴∠ACB=90°，
∵OA=OC，EA=EB，

∴OE∥BC，
∴∠AOE=∠ACB=90°，
∴EO⊥AC，故①对的，
∵OE∥BC，
∴△OEF∽△BCF，
∴ ，
∴OF=OB，
∴S△AOD=S△BOC=3S△OCF，故②错误，
设BC=BE=EC=a，则AB=2a，AC=a，OD=OB=a，
∴BD=a，
∴AC：BD=a：a=：7，故③对的，
∵OF=OB=a，
∴BF=a，
∴BF2=a2，OF•DF=a• a2，
∴BF2=OF•DF，故④对的，
故选：B．
【点睛】
此题考察相似三角形的鉴定和性质，平行四边形的性质，角平分线的定义，解直角三角形，解题的关键是灵活运用所学知识处理问题，学会运用参数处理问题．

7．如图，点A在双曲线y═（x＞0）上，过点A作AB⊥x轴，垂足为点B，分别以点O和点A为圆心，不小于OA的长为半径作弧，两弧相交于D，E两点，作直线DE交x轴于点C，交y轴于点F（0，2），连接AC．若AC=1，则k的值为（　　）

A．2 B． C． D．
【答案】B
【解析】
分析：如图，设OA交CF于K．运用面积法求出OA的长，再运用相似三角形的性质求出AB、OB即可处理问题；
详解：如图，设OA交CF于K．

由作图可知，CF垂直平分线段OA，
∴OC=CA=1，OK=AK，
在Rt△OFC中，CF=，
∴AK=OK=，
∴OA=，
由△FOC∽△OBA，可得
，
∴，
∴OB=，AB=，
∴A（，），
∴k=．
故选B．
点睛：本题考察作图-复杂作图，反比例函数图象上的点的坐标特性，线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识处理问题，属于中考常考题型．

8．如图，点E是平行四边形ABCD中BC的延长线上的一点，连接AE交CD于F，交BD于M，则图中共有相似三角形(不含全等的三角形)( )对．

A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】B
【解析】
【分析】
由平行四边形的性质可得AD//BC，AB//CD，根据相似三角形的鉴定措施进行分析，即可得到图中的相似三角形的对数．
【详解】
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC，AB//CD，
∴△ADM∽△EBM，△ADF∽△ECF，△DFM∽△BAM，△EFC∽△EAB，
∵∠AFD=∠BAE，∠DAE=∠E，
∴△ADF∽△EBA，
∴图中共有相似三角形5对，
故选：B．
【点睛】
本题考察平行四边形的性质及相似三角形的鉴定，平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似；假如两个三角形的两个角分别对应相等（或三个角分别对应相等），那么这两个三角形相似；纯熟掌握相似三角形的鉴定定理是解题关键．

9．假如两个相似正五边形的边长比为1：10，则它们的面积比为（ ）
A．1：2 B．1：5 C．1：100 D．1：10
【答案】C
【解析】
根据相似多边形的面积比等于相似比的平方，由两个相似正五边形的相似比是1：10，可知它们的面积为1：100．
故选：C．
点睛：此题重要考察了相似三角形的性质：相似三角形的面积比等于相似比的平方．

10．在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD是△ABC的中线，∠ADC＝45°，把△ADC沿AD对折，使点C落在C′的位置，C′D交AB于点Q，则的值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
根据折叠得到对应线段相等，对应角相等，根据直角三角形的斜边中线等于斜边二分之一，可得出AD＝DC＝BD，AC＝AC′，∠ADC＝∠ADC′＝45°，CD＝C′D，进而求出∠C、∠B的度数，求出其他角的度数，可得AQ＝AC，将转化为，再由相似三角形和等腰直角三角形的边角关系得出答案．
【详解】
解：如图，过点A作AE⊥BC，垂足为E，
∵∠ADC＝45°，
∴△ADE是等腰直角三角形，即AE＝DE＝AD，
在Rt△ABC中，
∵∠BAC＝90°，AD是△ABC的中线，
∴AD＝CD＝BD，
由折叠得：AC＝AC′，∠ADC＝∠ADC′＝45°，CD＝C′D，
∴∠CDC′＝45°+45°＝90°，
∴∠DAC＝∠DCA＝（180°﹣45°）÷2＝67.5°＝∠C′AD，
∴∠B＝90°﹣∠C＝∠CAE＝22.5°，∠BQD＝90°﹣∠B＝∠C′QA＝67.5°，
∴AC′＝AQ＝AC，
由△AEC∽△BDQ得：＝，
∴＝＝＝＝．
故选：A．

【点睛】
考察直角三角形的性质，折叠轴对称的性质，以及等腰三角形与相似三角形的性质和鉴定等知识，合理的转化是处理问题的关键．

11．若△ABC的每条边长增长各自的50%得△A'B'C'，若△ABC的面积为4，则△A'B'C'的面积是（　　）
A．9 B．6 C．5 D．2
【答案】A
【解析】
【分析】
根据两个三角形三边对应成比例，这两个三角形相似判断出两个三角形相似，根据相似三角形的性质即可得到结论．
【详解】
解：∵△ABC的每条边长增长各自的50%得△A′B′C′，
∴△ABC与△A′B′C′的三边对应成比例，
∴△ABC∽△A′B′C′，
∴，
∵△ABC的面积为4，则△A'B'C'的面积是9．
故选：A．
【点睛】
本题考察了相似三角形的性质和鉴定，纯熟掌握相似三角形的鉴定是解题的关键．

12．如图，P为平行四边形ABCD边AD上一点，E、F分别为PB、PC的中点，△PEF、△PDC、△PAB的面积分别为S、、，若S=2，则+=（ ）.

A．4 B．6 C．8 D．不能确定
【答案】C
【解析】
试题分析：过P作PQ∥DC交BC于点Q，由DC∥AB，得到PQ∥AB，可得出四边形PQCD与ABQP都为平行四边形，因此△PDC≌△CQP，△ABP≌△QPB，进而确定出△PDC与△PCQ面积相等，△PQB与△ABP面积相等，再由EF为△BPC的中位线，运用中位线定理得到EF∥BC，EF=BC，得出△PEF与△PBC相似，相似比为1：2，面积之比为1：4，因此=+=8.
故选C．

考点：平行四边形的性质；三角形中位线定理．

13．如图，每个小正方形的边长均为1，则下图形中的三角形（阴影部分）与相似的是（　　）

A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
根据相似三角形的鉴定措施一一判断即可．
【详解】
解：由于中有一种角是135°，选项中，有135°角的三角形只有B，且满足两边成比例夹角相等，
故选：B．
【点睛】
本题考察相似三角形的性质，解题的关键是学会运用数形结合的思想处理问题，属于中考常考题型．

14．如图，点为的内心，过点作交于点，交于点，若，，，则的长为（ ）

A．3．5 B．4 C．5 D．5．5
【答案】B
【解析】
【分析】
连接EB、EC，如图，运用三角形内心的性质得到∠1=∠2，运用平行线的性质得∠2=∠3，因此∠1=∠3，则BM=ME，同理可得NC=NE，接着证明△AMN∽△ABC，因此，则BM=7-MN①，同理可得CN=5-MN②，把两式相加得到MN的方程，然后解方程即可．
【详解】
连接EB、EC，如图，
∵点E为△ABC的内心，
∴EB平分∠ABC，EC平分∠ACB，
∴∠1=∠2，

∵MN∥BC，
∴∠2=∠3，
∴∠1=∠3，
∴BM=ME，
同理可得NC=NE，
∵MN∥BC，
∴△AMN∽△ABC，
∴ ，即，则BM=7-MN①，
同理可得CN=5-MN②，
①+②得MN=12-2MN，
∴MN=4．
故选：B．
【点睛】
此题考察三角形的内切圆与内心，相似三角形的鉴定与性质，解题关键在于掌握与三角形各边都相切的圆叫三角形的内切圆，三角形的内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形．三角形的内心就是三角形三个内角角平分线的交点．

15．如图，在中，，则的长为（）

A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
先运用相似三角形的相似比证明点D是AB的中点，再解直角三角形求得AB，最终运用直角三角形斜边中线性质求出DF．
【详解】
解：∵，
∴，
∵，
∴点D是AB的中点，
∵，，
∴∠B＝30°，
∴，
∴DF=3，
故选：D．
【点睛】
此题重要考察相似三角形的鉴定与性质、解直角三角形和直角三角形斜边中线性质，纯熟掌握性质的运用是解题关键．

16．如图，△AOB是直角三角形，∠AOB＝90°，△AOB的两边分别与函数的图象交于B、A两点，则等于（　　）

A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
过点A,B作AC⊥x轴,BD⊥x轴,垂足分别为C,D.根据条件得到△ACO∽△ODB.根据反比例函数比例系数k的几何意义得出＝＝运用相似三角形面积比等于相似比的平方得出
【详解】
∵∠AOB＝90°，
∴∠AOC+∠BOD＝∠AOC+∠CAO＝90°，
∠CAO＝∠BOD，
∴△ACO∽△BDO，
∴ ,
∵S△AOC＝ ×2＝1，S△BOD＝×1＝，
∴＝＝ ，
∴，
故选A．

【点睛】
此题考察了反比例函数图象上点的坐标特性和相似三角形的鉴定与性质，解题关键在于做辅助线，然后得到相似三角形再进行求解

17．如图，中，，，点在反比例函数的图象上，交反比例函数的图象于点，且，则的值为（ ）

A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
过点A作AD⊥x轴，过点C作CE⊥x轴，过点B作BF⊥x轴，运用AA定理和平行证得△COE∽△OBF∽△AOD，然后根据相似三角形的性质求得，，根据反比例函数比例系数的几何意义求得，从而求得，从而求得k的值．
【详解】
解：过点A作AD⊥x轴，过点C作CE⊥x轴，过点B作BF⊥x轴
∴CE∥AD，∠CEO=∠BFO=90°
∵
∴∠COE+∠FOB=90°，∠ECO+∠COE=90°
∴∠ECO=∠FOB
∴△COE∽△OBF∽△AOD
又∵，
∴，
∴，
∴
∵点在反比例函数的图象上
∴
∴
∴，解得k=±8
又∵反比例函数位于第二象限，
∴k=-8
故选：D．

【点睛】
本题考察反比例函数的性质和相似三角形的鉴定和性质，对的添加辅助线证明三角形相似，运用数形结合思想解题是关键．

18．如图，已知△ABC，D、E分别在边AB、AC上，下列条件中，不能确定△ADE∽△ACB的是（　　）

A．∠AED＝∠B B．∠BDE+∠C＝180°
C．AD•BC＝AC•DE D．AD•AB＝AE•AC
【答案】C
【解析】
【分析】
A、根据有两组角对应相等的两个三角形相似，进行判断即可；
B：根据题意可得到∠ADE=∠C，根据有两组角对应相等的两个三角形相似，进行判断即可；
C、根据两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似，进行判断即可；
D、根据两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似，进行判断即可．
【详解】
解：A、由∠AED=∠B，∠A=∠A，则可判断△ADE∽△ACB；
B、由∠BDE+∠C=180°，∠ADE+∠BDE=180°，得∠ADE=∠C，∠A=∠A，则可判断△ADE∽△ACB；
C、由AD•BC=AC•DE，得不能判断△ADE∽△ACB,必须两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似.
D、由AD•AB=AE•AC得，∠A=∠A，故能确定△ADE∽△ACB，
故选：C．
【点睛】
本题考察了相似三角形的鉴定：
两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似（注意，一定是夹角）；
有两组角对应相等的两个三角形相似．

19．如图，已知一组平行线，被直线、所截，交点分别为、、和、、，且，，，则（ ）

A．4.4 B．4 C．3.4 D．2.4
【答案】D
【解析】
【分析】
根据平行线等分线段定理列出比例式，然后裔入求解即可．
【详解】
解：∵
∴ 即
解得：EF=2.4
故答案为D．
【点睛】
本题重要考察的是平行线分线段成比例定理，运用定理对的列出比例式是解答本题的关键．

20．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，点D是AB的中点，点P是直线BC上一点，将△BDP沿DP所在的直线翻折后，点B落在B1处，若B1D⊥BC，则点P与点B之间的距离为（　　）

A．1 B． C．1或 3 D．或5
【答案】D
【解析】
【分析】
分点B1在BC左侧，点B1在BC右侧两种状况讨论，由勾股定理可AB=5，由平行线分线段成比例可得，可求BE，DE的长，由勾股定理可求PB的长．
【详解】
解：如图，若点B1在BC左侧，

∵∠C=90°，AC=3，BC=4，
∴AB=
∵点D是AB的中点，
∴BD=BA=
∵B1D⊥BC，∠C=90°
∴B1D∥AC
∴
∴BE=EC=BC=2，DE=AC=
∵折叠
∴B1D=BD=，B1P=BP
∴B1E=B1D-DE=1
∴在Rt△B1PE中，B1P2=B1E2+PE2，
∴BP2=1+（2-BP）2，
∴BP=
如图，若点B1在BC右侧，

∵B1E=DE+B1D=+，
∴B1E=4
在Rt△EB1P中，B1P2=B1E2+EP2，
∴BP2=16+（BP-2）2，
∴BP=5
故选：D．
【点睛】
本题考察了折叠的性质、直角三角形的性质以及勾股定理．此题难度适中，注意数形结合思想的应用，注意折叠中的对应关系．