高考数学总复习时函数模型及其应用课时闯关含解析.doc

（福建专用）2013年高考数学总复习 第二章第10课时 函数模型及其应用课时闯关（含解析）

一、选择题
1．《优化方案》系列丛书第三年的销量比第一年的销量增长了44%，若每年的平均增长率相同(设为x)，则以下结论正确的是(　　)
A．x＞22%
B．x＜22%
C．x＝22%
D．x的大小由第一年的销量确定
解析：选B.(1＋x)2＝1＋44%，解得x＝0.2＜0.22.故选B.
2．(2012·海口市调研)若一根蜡烛长20 cm，点燃后每小时燃烧5 cm，则燃烧剩下的高度h(cm)与燃烧时间t(小时)的函数关系用图象表示为(　　)

解析：选B.根据题意得解析式为h＝20－5t(0≤t≤4)，其图象为B.
3．在某种新型材料的研制中，实验人员获得了下列一组实验数据．现准备用下列四个函数中的一个近似地表示这些数据的规律，其中最接近的一个是(　　)
x
1.95
3.00
3.94
5.10
6.12
y
0.97
1.59
1.98
2.35
2.61
A.y＝2x B．y＝log2x
C．y＝(x2－1) D．y＝2.61cosx
解析：选B.通过检验可知，y＝log2x较为接近．
4．某工厂6年来生产某种产品的情况是：前三年年产量的增长速度越来越快，后三年年产量保持不变，则该厂6年来这种产品的总产量C与时间t(年)的函数关系图象正确的是(　　)

解析：选A.依题意，前3年年产量增长速度越来越快，说明呈高速增长，只有A图象符合要求．
5．(2012·福州质检)某公司在甲、乙两地销售一种品牌车，利润(单位：万元)分别为L1＝5.06x－0.15x2和L2＝2x，其中x为销售量(单位：辆)．若该公司在这两地共销售15辆车，则能获得的最大利润为(　　)
A．45.606万元 B．45.6万元
C．45.56万元 D．45.51万元
解析：选B.设甲地销售x辆，则乙地销售(15－x)辆，设总利润为L(x)，则L(x)＝L1＋L2＝5.06x－0.15x2＋2(15－x)＝－0.15x2＋3.06x＋30(0≤x≤15)．L(x)在[0,10.2]上递增，在(10.2，＋∞)上递减，所以当x＝10时，L(x)最大，L(x)max＝45.6(万元)．
二、填空题
6．司机酒后驾驶危害他人的安全，一个人喝了少量酒后，血液中的酒精含量迅速上升到0.3 mg/mL，在停止喝酒后，血液中的酒精含量以每小时25%的速度减少，为了保障交通安全，某地根据《道路交通安全法》规定：驾驶员血液中的酒精含量不得超过0.09 mg/mL，那么，一个喝了少量酒后的驾驶员，至少经过________小时，才能开车．(精确到1小时)
解析：设x小时后，血液中的酒精含量不超过0.09 mg/mL，则有0.3·x≤0.09，即x≤0.3，估算或取对数计算得5小时后，可以开车．
答案：5
7. 一水池有两个进水口，一个出水口，每水口的进、出水速度如图甲、乙所示．某天0点到6点，该水池的蓄水量如图丙所示(至少打开一个水口)．
给出以下3个论断：①0点到3点只进水不出水；②3点到4点不进水只出水；③4点到6点不进水也不出水．则一定能确定正确的是________．

解析：由丙图知0点到3点蓄水量为6，故应两个进水口进水，不出水，故①正确．由丙图知3点到4点间1小时蓄水量少1个单位，故1个进水1个出水，故②错误．由丙图知4点到6点蓄水量不变，故可能不进水也不出水或两个进水一个出水，故③错误．
答案：①
8．某建材商场国庆期间搞促销活动，规定：顾客购物总金额不超过800元，不享受任何折扣，如果顾客购物总金额超过800元，则超过800元部分享受一定的折扣优惠，按下表折扣分别累计计算.
可以享受折扣优惠金额
折扣率
不超过500元的部分
5%
超过500元的部分
10%
某人在此商场购物总金额为x元，可以获得的折扣金额为y元，则y关于x的解析式为
y＝
若y＝30元，则他购物实际所付金额为________元．
解析：若x＝1300元，则y＝5%(1 300－800)＝25(元)＜30(元)，因此x＞1300.∴由10%(x－1300)＋25＝30，得x＝1350(元)．
答案：1350
三、解答题
9．某工厂生产某种产品，已知该产品的月生产量x(t)与1 t产品的价格p(元/t)之间的关系为p＝24200－x2，且生产x t的成本为R(元)，其中R＝50000＋200x.问该厂每月生产多少吨产品才能使利润达到最大？最大利润是多少？(利润＝收入－成本)
解：每月生产x t时的利润为，
f(x)＝x－(50000＋200x)
＝－x3＋24000x－50000(x≥0)，
由f′(x)＝－x2＋24000＝0，
解得x1＝200，x2＝－200(舍去)．
因f(x)在[0，＋∞)内只有一个极值点x＝200且为极大值，故它就是最大值点，且最大值为f(200)＝－×(200)3＋24000×200－50000＝3150000(元)．
故该厂每月生产200吨产品才能使利润达到最大且最大利润为3150000元．
10．金融风暴对全球经济产生了影响，温总理在广东省调研时强调：在当前的经济形势下，要大力扶持中小企业，使中小企业健康发展．为响应这一精神，某地方政府决定扶持一民营企业加大对A、B两种产品的生产．根据市场调查与预测，A产品的利润与投资成正比，其关系如图①，B产品的利润与投资的算术平方根成正比，其关系如图②(注：利润与投资单位：万元)．

(1)分别将A、B两种产品的利润表示为投资的函数关系式；
(2)该企业已筹集到10万元资金，并全部投入A、B两种产品的生产，问：怎样分配这10万元资金，才能使企业获得最大利润，其最大利润约为多少万元？(精确到1万元)
解：(1)设投资为x万元，A产品的利润为f(x)万元，B产品的利润为g(x)万元．
设f(x)＝k1x，g(x)＝k2.
由题图①知f(1)＝，所以k1＝.
又由题图②知，g(4)＝，所以k2＝.
从而f(x)＝x(x≥0)，g(x)＝(x≥0)．
(2)设A产品投入x万元，
则B产品投入(10－x)万元，设企业利润为y万元．
则y＝f(x)＋g(10－x)＝＋(0≤x≤10)．
令＝t，
则y＝＋t＝－2＋(0≤t≤10)．
当t＝时，ymax＝≈4.此时x＝10－＝3.75.
故当A产品投入3.75万元，B产品投入6.25万元时，企业获得的最大利润约为4万元．

一、选择题
1．(2010·高考陕西卷)某学校要召开学生代表大会，规定各班每10人推选一名代表，当各班人数除以10的余数大于6时再增选一名代表．那么，各班可推选代表人数y与该班人数x之间的函数关系用取整函数的最大整数)可以表示为(　　)
A．y＝ B．y＝
C．y＝ D．y＝
解析：选B.由题意，当x＝17时，A选项错误，当x ＝16时，＝2，＝2，所以C、D选项错误，故选B.
2.(2012·龙岩质检)如图，有一直角墙角，两边的长度足够长，在P处有一棵树与两墙的距离分别是a m(0<a<12)、4 m，不考虑树的粗细．现在想用16 m长的篱笆，借助墙角围成一个矩形的花圃ABCD.设此矩形花圃的面积为S m2，S的最大值为f(a)，若将这棵树围在花圃内，则函数u＝f(a)的图象大致是(　　)

解析：选C.设矩形花圃的长为x m(a≤x<12)，则此矩形花圃的面积S(x)＝x(16－x)＝64－(x－8)2，①当0<a≤8时，S(x)max＝S(8)＝64；②当8<a<12时，S(x)max＝S(a)＝64－(a－8)2，故u＝f(a)＝.故函数u＝f(a)的图象大致是C.
二、填空题
3.某厂有许多形状为直角梯形的铁皮边角料(如图)，为降低消耗，开源节流，现要从这些边角料上截取矩形铁片(如图阴影部分)备用，当截取的矩形面积最大时，矩形两边的长x、y应为________．
解析：依题意知：＝，即x＝(24－y)，
∴阴影部分的面积S＝xy＝(24－y)y＝(－y2＋24y)，
∴当y＝12时，S有最大值．此时x＝15.
答案：15、12
4．2011年我国多省市发生了重大地质灾害，给当地群众带来了很大经济损失．中华慈善总会为帮助灾区重建家园，准备举办一场明星义演活动，预计卖出门票2.4万张，票价为3元、5元和8元三种，且票价3元和5元的张数的积为0.6万张．设x是门票的总收入，经预算，扣除其他各项开支后，慈善总会纯收入函数为y＝lg 2x，则这三种门票分别为________张时，为灾区重建募捐纯收入最多
解析：设3元、5元、8元门票的张数分别为a、b、c，则

有x＝19.2－(5a＋3b)≤19.2－2＝13.2(万元)，
当且仅当时等号成立，解得a＝0.6，b＝1，此时c＝0.8.
由于y＝lg2x为增函数，即此时y也恰有最大值．
故三种门票的张数分别为0.6、1、0.8万张时，募捐纯收入最多．
答案：0.6、1、0.8
三、解答题
5．某地区的一种特色水果上市时间能持续5个月，预测上市初期和后期会因供不应求使价格呈连续上涨态势，而中期又将出现供大于求使价格连续下跌，现有三种价格模拟函数：①f(x)＝p·qx；②f(x)＝logqx＋p；③f(x)＝(x－1)(x－q)2＋p(以上三式中p、q均为常数，且q＞2)．
(1)为准确研究其价格走势，应选哪种价格模拟函数？
(2)若f(1)＝4，f(3)＝6，求出所选函数f(x)的解析式(注：函数的定义域是[1,6]．其中x＝1表示4月1日，x＝2表示5月1日，…，以此类推)；
(3)为保证果农的收益，打算在价格下跌期间积极拓宽外销，请你预测该水果在哪几个月内价格下跌．
解：(1)因为①f(x)＝p·qx是单调函数，②f(x)＝logqx＋p是单调函数，对于③f(x)＝(x－1)(x－q)2＋p，f′(x)＝3x2－(4q＋2)x＋q2＋2q.
令f′(x)＝0，得x＝q或x＝，f(x)有两个零点，可以出现两个递增区间和一个递减区间，
所以应选f(x)＝(x－1)(x－q)2＋p为其模拟函数．
(2)由f(1)＝4，f(3)＝6，得，
解之得(其中q＝2舍去)，
∴f(x)＝(x－1)(x－4)2＋4
＝x3－9x2＋24x－12(1≤x≤6)．
(3)令f′(x)＝3x2－18x＋24＜0，解得2＜x＜4.
∴函数f(x)＝x3－9x2＋24x－12在区间(2,4)上单调递减，
∴这种水果在5、6月份价格下跌．
6．(2012·福州一中月考)某食品公司为了解某种新品种食品的市场需求，进行了20天的测试，人为地调控每天产品的单价P(元/件)：前10天每天单价呈直线下降趋势(第10天免费赠送品尝)，后10天呈直线上升，其中4天的单价记录如下表：
时间(将第x天记录x)
1
10
11
18
单价P(元/件)
9
0
1
8

而这20天相对的销售量Q(百件/天)与x对应的点(x，Q)在如图所示的半圆上．
(1)写出每天销售收入y(元)与时间x(天)的函数．
(2)在这20天中哪一天销售收入最高？每天销售价P定为多少元为好？(结果精确到1元)
解：(1)P＝x∈N*，
Q＝，x∈[1,20]，x∈N*，所以
y＝100QP＝100，x∈[1,20]，x∈N*.
(2)因为(x－10)2[100－(x－10)2]≤
2＝2500，
所以当且仅当(x－10)2＝100－(x－10)2，
即x＝10±5时，y有最大值．因为x∈N*，
所以取x＝3或17时，ymax＝700≈4999(元)，此时，P＝7(元)．
即第3天或第17天销售收入最高，此时应将单价P定为7元为好．