文科必选1-1(第2章曲线与方程).doc

第二章 圆锥曲线与方程
2.1.1 椭圆及其标准方程
（1）
主要内容与思想方法
掌握椭圆的定义及椭圆的标准方程的推导方法，会用椭圆的标准方程去解决简单的问题.
一、选择题
1．已知点M到两个定点A（-1，0）和B（1，0）的距离之和是定值2，则动点M的轨迹
是 （ ）
A．一个椭圆 B．线段AB C．线段AB的垂直平分线 D．直线AB
2．已知椭圆上的点到它的两个焦点的距离之和是6，则 （ ）
A．2 B．3 C．6 D．9
3．已知方程表示焦点在轴上的椭圆，则下列关系正确的是 （ ）
A． B． C． D．
4．p：动点M到两定点距离的和等于定长，q：动点M的轨迹是椭圆，p是条件q的 （ ）
A．充要条件 B．必要不充分条件 C．充分非必要条件 D．非充分非必要条件
二、填空题
5．已知椭圆的焦点在轴上，则实数的取值范围是_______________．
6．过椭圆的一个焦点F1的弦AB与另一个焦点F2所构成的三角形ABF2的周长是_____________．
7．已知椭圆过点A（1，2）和点B（），则椭圆的标准方程是______________．
三、解答题
8．求中心在原点，一个焦点为，且被直线截得的弦的中点横坐标为的
椭圆方程．

9．已知椭圆与椭圆有相同的焦距，求椭圆的标准方程．

（2）
主要内容与思想方法
掌握椭圆的定义及椭圆的标准方程的推导方法，会用椭圆的标准方程去解决简单的问题.
一、选择题
1．动点P到两定点(0,－2)，(0,2)距离的和为8，则动点P的轨迹方程为 （ ）
A． B． C． D．
2．已知椭圆上的一点P到椭圆的一个焦点的距离为3，则该点到椭圆的另一个焦点的距离是 （ ）
A．2 B．4 C．5 D．7
3．以坐标轴为对称轴，两焦点的距离是2，且过点（0，2）的椭圆的标准方程是 （ ）
A． B．
C．或 D．或
4．椭圆上的一点M到一个焦点F的距离为2，N是MF的中点，则N点到椭圆中心O的距离是 （ ）
A．8 B．4 C．2 D．
二、填空题
5．已知是圆F：为圆心）上一动点，线段AB的垂直平分线交BF于P，则动点P的轨迹方程为 ．
6．椭圆5x2－ky2＝5的一个焦点是（0，2），那么k＝ ．
7．椭圆x2＋4y2＝4长轴上一个顶点为A，以A为直角顶点作一个内接于椭圆的等腰直角三角形，该三角形的面积是 ．
三、解答题
8．已知椭圆的焦点在坐标轴上，两焦点的中点为原点，且椭圆经过两点求椭圆的方程．

9．方程表示焦点在轴上的椭圆，求的取值范围．

2.1.1 椭圆的简单几何性质
（1）
主要内容与思想方法
掌握椭圆的简单几何性质，会用椭圆的简单几何性质去解决一些简单的实际问题.
一、选择题
1．椭圆C1：与椭圆C2：且 （ ）
A．有相同的长轴 B．有相同的短轴 C．有相同的焦点 D．有相等的离心率
2．已知椭圆的半焦距是c，A、B分别是长轴、短轴的一个端点，O为原点，若ΔABO的面积是，则这一椭圆的离心率是 （ ）
A． B． C． D．
3．以椭圆上任意一点与焦点所连结的线段为直径的圆与以长轴为直径的圆的位置关系是（ ）
A．相切 B．相交 C．相离 D．无法确定的
4．以椭圆的两个焦点为直径的端点的圆与椭圆有四个不同的交点，顺次连结这四个点和两个焦点，恰好得到一个正六边形，那么这个椭圆的离心率等于 （ ）
A． B． C． D．
二、填空题
5．已知一椭圆的半焦距等于焦点到相应准线的距离，则这一椭圆的离心率是____________．
6．已知椭圆的离心率为，则它的准线方程是________________．
7．直线过椭圆的中心，且与椭圆交于A、B两点，若AB的最大值是8，最小值是2，则焦点在轴上时，椭圆的标准方程是______________．
三、解答题
8．已知中心在原点的椭圆E的两个焦点和椭圆E1：的两个焦点是一个正方形的四个顶点，且椭圆E过点A（2，-3）．
（1）求椭圆E的方程；
（2）若PQ是椭圆E的弦，O是坐标原点，且OP⊥OQ，已知P点坐标是（），求点Q的坐标．

（2）
主要内容与思想方法
掌握椭圆的简单几何性质，会用椭圆的简单几何性质去解决一些简单的实际问题.
一、选择题
1．已知椭圆方程为，则它的准线方程是 （ ）
A． B． C． D．
2．已知中心在坐标原点，一条准线方程是的椭圆的一个焦点是（0，4），则这一椭圆的短轴长是 （ ）
A．3 B．4 C．6 D．8
3．已知椭圆的两个焦点将两条准线间的距离三等分，则这一椭圆的离心率是 （ ）
A． B． C． D．
4．如果一个椭圆的两个焦点恰好将它的长轴三等分，则这个椭圆的两条准线间的距离是其焦距的 （ ）
A．12倍 B．4倍 C．18倍 D．9倍
二．填空题
5．已知椭圆的两轴在坐标轴上，一个顶点和一个焦点分别是直线与两条坐标轴的交点，则这一椭圆的方程是______________．
6．已知P是椭圆上的一动点，过P作椭圆长轴的垂线，垂直长轴于Q点，则PQ中点M的轨迹方程是________________．
7．若焦点在轴上的椭圆的离心率为，则的值为 __________．
三、解答题
8．已知一椭圆的焦点在轴上，长轴端点与相近的焦点的距离是1，与相近的准线的距离是，求这一椭圆的标准方程及它的顶点坐标、焦点坐标和准线方程．

9．已知椭圆上一点P到椭圆左．右焦点的距离之比为，求该点到两准线的距离及点P的坐标．

2.2.1 双曲线及其标准方程
（1）
主要内容与思想方法
掌握双曲线的定义及双曲线的标准方程的推导方法.会用双曲线的标准方程去解决简单
的问题.
一、选择题
1．双曲线的焦距是 （ ）
A．3 B．6 C． D．2
2．已知双曲线上的一点P到左、右两个焦点的距离的差是-4，则实数 （ ）
A．1 B．2 C．4 D．8
3．已知，则方程表示的曲线是 （ ）
A．焦点在轴上的椭圆 B．焦点在轴上的椭圆
C．焦点在轴上的双曲线 D．焦点在轴上的双曲线
4．已知双曲线上点P到双曲线的一个焦点的距离是2，则P点到另一个焦点的距离为 （ ）
A．10 B．8 C．6 D．4
二、填空题
5．已知P为双曲线的右支上一点，P到左焦点距离为12，则P到右准线距离为______.
6．双曲线(2k+1)x2+(2k+10)y2=14的一个焦点为(0,3)，则k=________．
7．平面内有一条长为10的线段AB，动点P满足|PA|-|PB|=6，O为AB的中点，则|OP|的最小值为_______．
三、解答题
8．已知焦点在x轴上的双曲线上一点P到双曲线两个焦点的距离分别为4和8，直线y=x-2被双曲线截得的弦长为，求双曲线的标准方程．

（2）
主要内容与思想方法
掌握双曲线的定义及双曲线的标准方程的推导方法.会用双曲线的标准方程去解决简单
的问题.
一、选择题
1．设F1和F2为双曲线1的两个焦点，点P在双曲线上，且使得∠F1PF2=900，则ΔF1PF2的面积是 （ ）
A． B． C． D．
2．过双曲线的一个焦点F作一条与轴垂直的直线，交双曲线于A、B两点，则|AB|= （ ）
A． B． C． D．
3．设P为双曲线上的一点，、是该双曲线的两个焦点，若,
则的面积为（ ）
A. B.12 C. D.24
4．直线与双曲线有且只有一个交点，则的值是 （ ）
A． B． C．或 D．无解
二．填空题
5．若方程表示双曲线，则实数的取值范围是_______________．
6．已知双曲线的焦距为，则实数
7．双曲线的焦点坐标是__________________．
三、解答题
8．设双曲线E与椭圆有相同的焦点，且与该椭圆的一个交点的纵坐标是4，求这一双曲线的方程．

2.2.2 双曲线的简单几何性质
（1）
主要内容与思想方法
掌握双曲线的简单几何性质，会用双曲线的简单几何性质去解决一些简单的实际问题.
一、选择题
1．下列双曲线中，以直线为一条渐近线的是 （ ）
A． B． C． D．
2．的顶点坐标是 （ ）
A．，0） B．，0） C．（0，） D．（0，）
3．等轴双曲线的两条渐近线所成的角是 （ ）
A． B． C． D．
4．已知P点是双曲线上的一点，过点P作实轴的平行线交它的两条渐近线于Q、R两点，则的值是 （ ）
A． B． C． D．
二．填空题
5．已知双曲线的离心率，则的取值范围是_____________．
6．设连结共轭双曲线的四个顶点所组成的四边形的面积为，连结它们四个焦点所得到的四边形的面积是，则的最大值是____________．
7．双曲线的半焦距为，若方程没有实数根，则这一双曲线的离心率的取值范围是________________．
三、解答题
8．若双曲线的中心在原点，焦点F1、F2都在坐标轴上，离心率为，且过点（4，）；
（1）求该双曲线的方程；
（2）若点M（3，）也是双曲线上的点，证明：F1M⊥F2M．

（2）
主要内容与思想方法
掌握双曲线的简单几何性质，会用双曲线的简单几何性质去解决一些简单的实际问题.
一、选择题
1．已知双曲线和椭圆的离心率互为倒数，那么以为三边边长的三角形是 （ ）
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．形状不确定的三角形
2．双曲线的焦距为6，两条准线间的距离为4，则这一双曲线的离心率是 （ ）
A． B． C． D．2
3．以双曲线的实轴为虚轴，虚轴为实轴的双曲线叫做原双曲线的共轭双曲线，若一条双曲线与它的共轭双曲线的离心率分别是，则当它们的实轴、虚轴都在变化时，的最小值是 （ ）
A．4 B． C．2 D．
4．已知P点是双曲线右支上异于顶点的一个点，F1．F2是它的两个焦点，则ΔF1PF2的内心必在直线 （ ）
A．上 B．上 C．上 D．上
二、填空题
5．若双曲线的一条准线恰为圆的一条切线，则实数
=_______．
6．已知双曲线的渐近线的方程是，则它的准线方程是________．
7．设双曲线的半焦距为，直线过点、两点，已知原点到直线的距离是，则这一双曲线的离心率是________________．
三、解答题
8．在双曲线的一支上有三个不同点A、B、C，且A、B、C三点与焦点F的距离成等差数列．
（1）试求的值；
（2）证明线段AC的垂直平分线经过某一个定点，并求这一定点的坐标．

2.3.1 抛物线及其标准方程
（1）
主要内容与思想方法
掌握抛物线的定义及抛物线的标准方程的推导方法.会用抛物线的标准方程去解决简单
的问题.
一．选择题
1．点P到一个定点M与到一条定直线的距离相等，则点P的轨迹是 （ ）
A．一条抛物线 B．一条射线
C．一条直线 D．一条抛物线或一条直线
2．已知抛物线是焦点，则p表示 （ ）
A．F到准线的距离 B．F到准线的距离的
C．F到准线的距离的 D．F到y轴的距离
3．顶点在原点，焦点在轴上，且经过点P（-1，2）的抛物线的方程是 （ ）
A． B． C． D．
4．抛物线的准线方程是，则实数 （ ）
A． B． C． D．
二．填空题
5．若抛物线y2=x上一点P到A(3,－1)的距离与到焦点F的距离之和最小，则P点的坐标为____________．
6．已知A(0,4)，P是抛物线y=x2＋1上任意一点，则|PA|的最小值为_______________．
7．抛物线y2=4x的弦AB垂直于x轴，若AB的长为，则焦点到AB的距离是_____．
三、解答题
8．在直角坐标平面中有一曲线和一个点A（，0）．
（1）若，求曲线上距点A最近的点的坐标和相应的距离；
（2）若R，求曲线上的点P到A点距离的最小值．

（2）
主要内容与思想方法
掌握抛物线的定义及抛物线的标准方程的推导方法，会用抛物线的标准方程去解决简单
的问题.
一．选择题
1．已知抛物线的方程是（，则这一抛物线的焦点坐标是 （ ）
A． B． C． D．
2．已知抛物线的顶点为坐标原点，焦点在轴上，且其上一点到抛物线的焦点的距离为4，则实数的值是 （ ）
A．4 B．-2 C．4或-4 D．2或-2
3．已知抛物线，过其焦点F的直线交抛物线于A、B两点，设A、B在抛物线的准线上的射影分别是A1、B1，则∠A1FB1= （ ）
A． B． C． D．
4．已知点A（2，3），F是抛物线的焦点，P是抛物线上的任意一点，当|PA|+|PF|取得最小值时，P点的坐标是 （ ）
A．（2，2） B．（3，3） C．（3，2） D．（，3）
二．填空题
5．焦点坐标是（4，0），准线方程是的抛物线方程是________________．
6．一酒杯的轴截面是抛物线的一部分，其方程是，在杯中放入一个玻璃球，要使球能接触到酒杯的底部，则玻璃球的半径的取值范围是______________．
7．若抛物线上的两点A、B到焦点的距离之和是5，则线段AB的中点的横坐标_______________．
三．解答题
8．动直线y =a与抛物线相交于A点，动点B的坐标是，求线段AB中
点M的轨迹方程．

9．已知抛物线的顶点在原点，对称轴是x轴，抛物线上的点M（－3，m）到焦点的距离等
于5，求抛物线的方程和m的值．

2.3.2 抛物线的简单几何性质
（1）
主要内容与思想方法
掌握抛物线的简单几何性质，会用抛物线的简单几何性质去解决一些简单的实际问题.
一．选择题
1．函数y＝ax2＋1的图象与直线y＝x相切，则a＝ （ ）
A． B． C． D．1
2．过抛物线的焦点作一条直线与抛物线相交于A、B两点，它们的横坐标之和等于5，则这样的直线 （ ）
A．有且仅有一条 B．有且仅有两条 C．有无穷多条 D．不存在
3．抛物线上一点的纵坐标为4，则点与抛物线焦点的距离为 （ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
4．抛物线y=4上的一点M到焦点的距离为1，则点M的纵坐标是 （ ）
A． B． C． D．0
二．填空题
5．已知抛物线，过点）的直线与抛物线相交于两点，则的最小值是　　　　　.
6．已知直线x－y=2与抛物线y2=4x交于A、B两点，那么线段AB的中点坐标是__________．
7．已知点（－2，3）与抛物线y2=2px（p＞0）的焦点的距离是5，则p=_____．
三．解答题
8．设两点在抛物线上，是AB的垂直平分线，
（1）当且仅当取何值时，直线经过抛物线的焦点F？证明你的结论；
（2）当时，求直线的方程．

（2）
主要内容与思想方法
掌握抛物线的简单几何性质，会用抛物线的简单几何性质去解决一些简单的实际问题.
1．已知双曲线的中心在原点，离心率为，若它的一条准线与抛物线的准线重合，则该双曲线与抛物线的交点到原点的距离是 （ ）
A．2+ B． C． D．21
2．已知双曲线的一条准线与抛物线的准线重合，则该双曲线的离心率为 （ ）
A．2 B． C． D．
3．已知椭圆的焦点是F1、F2，P是椭圆上的一个动点．如果延长到Q，使得|PQ|＝|PF2|，那么动点Q的轨迹是 （ ）
A．圆 B．椭圆 C．双曲线的一支 D．抛物线
4．点到曲线（其中参数t∈R）上的点的最短距离是 （ ）
A．0 B．1 C． D．2
二．填空题
5．以双曲线的右顶点为顶点,左焦点为焦点的抛物线的方程是____________.
6．抛物线（y－1）2＝4（x－1）的焦点坐标是 _______．
7．曲线（t为参数）的焦点坐标是_______________．
三．解答题
8．已知抛物线的焦点为F，A是抛物线上横坐标为4且位于轴上方的点，A到抛物线准线的距离等于5．过A作AB垂直于轴，垂足为B，OB的中点为M．
（1）求抛物线方程；
（2）过M作，垂足为N，求点N的坐标．

全 章 检 测 题
一、选择题
1．所表示的曲线是 （ ）
A．双曲线 B．椭圆 C．双曲线的一部分 D．椭圆的一部分
2．椭圆短轴长是2，长轴是短轴的2倍，则椭圆中心到准线距离是 （ ）
A． B． C． D．
3．已知椭圆上一点P到椭圆一个焦点的距离为3，则P到另一个焦点的距离
为 （ ）
A．2 B．3 C．5 D．7
4．双曲线的两条渐近线互相垂直，那么该双曲线的离心率是 （ ）
A．2 B． C． D．
5．动点P到直线x+4=0的距离减去它到M（2，0）的距离之差等于2，则点P的轨迹是 （ ）
A．直线 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线
6．抛物线y =-x2 的焦点坐标为 （ ）
A．(0, ) B． (0, -) C．(, 0) D． (-, 0)
二、填空题
7．椭圆的一个焦点坐标是（0，1），则m= ．
8．双曲线截直线y =x+1所得的弦长是 ．
9．已知抛物线y2=2x，则抛物线上的点P到直线l：x-y+4=0的最小距离是 ．
10．已知直线x- y =2与抛物线交于A、B两点，那么线段AB的中点坐标是 ．
三、解答题
11．求两焦点的坐标分别为（-2，0），（2，0），且经过点P（2，）的椭圆方程．

12．已知抛物线C的准线为x =（p>0），顶点在原点，抛物线C与直线l：y =x-1相交所得弦的长为3，求的值和抛物线方程．

13．已知椭圆：上的两点A（0，）和B，若以AB为边作正△ABC，当B变动时，计算△ABC的最大面积及其条件．

第13题图

14．已知双曲线经过点M（），且以直线x= 1为右准线．
（1）如果F（3，0）为此双曲线的右焦点，求双曲线方程；
（2）如果离心率e=2，求双曲线方程．

第三章 圆锥曲线与方程
2.1.2 椭圆及其标准方程（1）
一、选择题
1．提示：定值2等于|AB|，选B；
2．提示：即，而，选D；
3．提示：标准方程即，所以，选C；
4．提示：两定点距离2c，当2a＞2c时，为椭圆．
当2a=2c时，为线段．当2a＜2c时，无轨迹，选B．
二、填空题
5．答案：，提示：依题意有．
6．答案：2
提示：由于A、B两点到两个焦点的距离都为，且标准方程是，
所以，，∴．
7．答案：，
提示：设方程是，则，且，解得．
三、解答题
8．解：依题意，设椭圆方程为，则，
将直线方程与椭圆方程联立，消去得，
设弦的两个端点为A，B，则，即，
代入，解得，故方程为所求．
9． 解：∵即，
由于，且有相同的焦距即有相同的，
化方程为标准形式，得，
当焦点在轴上时，有，∴，
此时所求的标准方程是；
当焦点在轴上时，有，解得，
此时所求的标准方程是，也即．
2.1.1 椭圆及其标准方程（2）
一、选择题
1．提示：由焦点在y轴上排除A、B，D中a2=16,b2=4,∴c2=12,．排除D，选C．
2．提示：设所求距离是，则，选D．
3．提示：对焦点在轴和焦点在轴上的两种情况进行讨论，用待定系数方法，
或由或去考虑，选C．
4．提示：设另一个焦点是F1，连结M．F1，则NO=MF1，．选B.
二、填空题
5．答案：
提示：依题意点F到点A与到点F的距离之和为圆的半径2，依椭圆的定义知这样的动点的轨迹是以A、F两点为焦的椭圆，且，，∴，．
6．答案：－1
提示：椭圆方程化为x2+=1，∵焦点（0，2）在y轴上，
∴ a2=，b2=1，又∵c2=a2－b2=4，∴k=－1．
7．答案：
提示：原方程可化为＋y2＝1，a2＝4，b2＝1，∴a＝2，b＝1，c＝，
当为等腰直角三角形，设交点（x，y）（y＞0）可得2－x＝y，
代入曲线方程得：y＝，∴ S＝×2y2＝．
三、解答题
8．解：设所求的椭圆方程为Ax2＋By2=1(A＞0,B＞0,且A≠B)．
∵ 椭圆经过点
∴
故所求的椭圆方程为
由于本题条件中没有指出椭圆的焦点在哪个坐标轴上，因此设其方程为Ax2＋By2=1(A＞0,B＞0,且A≠B)，此种设法比设方程为标准形式要好，其好处在于回避了复杂的讨论，避免了重复的计算．
9．解：回忆焦点在y轴上的椭圆的标准方程的特点，并将条件方程化为标准形式，将问题转化为关于角α的三角函数的不等式组，通过解三角函数不等式组求角α的取值范围．
∵x2·sinα－y2cosα=1，∴
∵焦点在y轴上，∴
∴即 ①
∵0＜α＜π，∴sinα＞0成立．
∴由①得tanα＜－1，∴
2.1.2 椭圆的简单几何性质（1）
一、选择题
1．提示：，选C．
2．提示：，即，所以（，选A．
3．提示：设线段是PF1，O1是线段PF1的中点，连结O1O，PF2，其中O是椭圆的中心，F2是椭圆的另一个焦点，则在ΔPF1F2中，由三角形中位线定理可知，两圆的连心线的长是|OO1|=，选A．
P
A B
4．提示：如图所示，设A、B是两个焦点，P是圆与椭圆的一个交点，则由正六边形的性质，ΔPAB是一个直角三角形，且∠BAP=300，所以AP=PB=，又由勾股定理得，由此解得C．
二、填空题
5．答案：
提示：即．
6．答案：或
提示：，则；或，则．
7．答案：
提示：即已知，．
三、解答题
8．解：（1）椭圆E1的焦点坐标是，所以E的焦距是，
故可设椭圆E的方程是，由点A在其上，代入解得，
所以所求方程是；
（2）由已知，所以直线OQ的方程是代入E的方程，
有，即得，故Q点坐标为或．
2.1.2 椭圆的简单几何性质（2）
一、选择题
1．提示：焦点在轴上，且，，选B．
2．提示：，且，所以，选C．
3．提示：已知即有，所以，选B．
4．提示：而，选D．
二、填空题
5．答案：，或
提示：分焦点为（6，0）和（0，3），对应顶点为（0，3）和（6，0）两种情况考虑．
6． 答案：
提示：设P，则M满足条件，又，
∴即为所求的轨迹方程．
7．答案： 改为
三、解答题
8．解：依题意可设方程是，则
解得，所以所求的椭圆方程是，
其顶点坐标是，焦点坐标是，准线方程是．
9．解：设P，椭圆的左．右焦点分别为F1、F2，
P点到左．右准线的距离分别为，
由已知可得，依题意有
解得|PF1|=5，|PF2|=15，
由椭圆的第二定义得，所以；
设P，则，即，
代回椭圆方程得，
所以所求的P点坐标是（）或．
2.2.3 双曲线及其标准方程（1）
一、选择题
1．提示：=25+16，求的是，选D．
2．提示：设实半轴长为，则，且，选B．
3．提示：此时，选D．
4．提示：设所求的距离是，则|），选A.
二、填空题
5．答案：改为
6．答案：-4或
提示：∵双曲线的焦点在y轴上，∴2k+1<0且2k+10>0，
于是双曲线方程化为又焦点为(0,3),
解得k=-4或
7．答案：3
提示：以AB所在的直线为x轴，AB的中点为原点建立直角坐标系，
则P点的轨迹为双曲线的右支,画图可知，
此双曲线右支上的点到原点的最小距离|OP|=3．
三、解答题
8．解：由2a=8-4=4，得a=2，设双曲线的标准方程为
由得(b2-4)x2+16x-16-4b2=0．

∴ 所求的双曲线的标准方程为
2.2.1 双曲线及其标准方程（2）
一、选择题
1．提示：设两直角边长分别为，则，且，选A．
2．提示：直线AB的横坐标是，代入方程由，化简求得，选B．
3．提示：提示：可考虑用定义把三角形的三边都求出，选B．
4．提示：将直线方程代入双曲线方程，得(9-4k2)x2+8kx-40=0．当9-4k2=0即时，
直线与双曲线只有一个交点：当9-4k2≠0，△=0，
即时，直线与双曲线也只有一个交点，选C．
二、填空题
5．答案：，或
提示：．
6．答案：1
提示：，所以，又．
7．答案：
提示：标准方程为，则，．
三、解答题
8．解：由于椭圆方程已知，与椭圆有相同的焦点，也即双曲线的焦距已知，欲求双曲线的标准方程，只需再找出一个关于的独立条件，而椭圆上纵坐标为4的点的横坐标可求，利用这样的点也在双曲线上，问题可以得到解决：
设所求的双曲线方程是，
由已知，双曲线的焦点为F1（0，-3）和F2（0，3），则，
又点P（，4）为两条曲线的交点，所以点P坐标适合双曲线方程，
即，将代入得，
所以（舍去），或，故所求双曲线的方程是．
2.2.2 双曲线的简单几何性质（1）
一、选择题
1．提示：将各方程中的1换为0，求得渐近线方程比较得B．
2．提示：化为标准方程，选A．
3．提示：等轴双曲线的标准方程是形式，选D．
4．提示：最简方法为特殊值法，取一个顶点为P点，选C．
二、填空题
5．答案：（-12，0）
提示：由解得．
6．答案：
提示：，，又．
7．答案：
提示：由得．
三、解答题
8．解：（1）∵，∴，即有，
依题意可设方程是，将所过点的坐标代入得，
则为所求方程；
（2）求得F1（）．F2（），
∴，
所以，由点M在双曲线上，∴，
代入得，故证．
2.2.4 双曲线的简单几何性质（2）
一、选择题
1． 提示：由两边平方，整理即得B．
2．提示：，，两式相除可得C．
3．提示：，，用不等式求最值，选A．
4．提示：设内心在轴上的射影是D点，则由切线相等有|PF1|-|PF2|=|F1D|-|DF2|，
也即（）=，选C．
二、填空题
5．答案：48
提示：圆的一条切线是轴，故．
6．答案：
提示：渐近线方程是，∴，．
7．答案：2
提示：直线的方程是，原点到它的距离是，∴材，当时，矛盾，∴．
三、解答题
8．解：利用双曲线的第二定义，可以将到上焦点的距离式化为仅含有各点的纵坐标的关系式，再由成等差数列的已知条件，可望求解第一问；第二问的求解工作则应始终围绕寻找AC垂直平分线的方程来展开：
（1）在双曲线中，，，∴，，
∴双曲线的上准线方程是，由双曲线的第二定义，设A点到上焦点的距离是，
则，即，
同理|FB|=，|FC|=，
又|FA|+|FC|=2|FB|，所以；
（2）∵A．C都在双曲线上，∴，，
两式相减得，
∴，AC的中点坐标是，
故得AC的垂直平分线的方程是，
也即方程，从而必过定点．
2.3.1 抛物线及其标准方程（1）
一、选择题
1．提示：注意点M在上时，选D．
2．提示：方程即，其中即焦点到准线的距离，选B．
3．提示：设为，点的坐标代入得，选C．
4．提示：准线方程是，∴，选D．
二、填空题
5．答案： (1,－1)
提示：根据抛物线定义,问题转化为在抛物线上找一点P,