匀速圆周运动和非匀速圆周运动.doc

一、匀速圆周运动和非匀速圆周运动
　　圆周运动按照速度大小是否变化可分为匀速圆周运动和非匀速圆周运动两类．
　　做匀速圆周运动的物体，速度大小不变，只是方向改变，因此加速度总是指向圆心，其大小不变；合外力亦总是指向圆心，大小不变．

　　做非匀速圆周运动的物体，速度方向和大小均变，它除了有指向圆心的加速度外，还有沿切线方向的加速度，所以合加速度不指向圆心，所受合外力也不指向圆心．物体的向心加速度大小 随v值变化，向心力 随 值变化．例如，小球沿竖直平面内的光滑圆轨道运动，如图所示，球从上向下通过A点时的受两个力作用，其中重力G方向与 相同，使小球速度大小发生变化，轨道弹力N与 垂直，指向圆心，使小球速度方向发生变化，即提供小球做圆周运动的向心力，合力F与 成一角度，并不指向圆心．

二、圆周运动中的相对运动问题
　　解某些复杂的相对运动问题时，会应用到圆周运动的知识．下面举几个小例子．
　　（一）一个半径为R的半圆柱体沿水平方向向右做加速度为a的匀加速运动．
在半圆柱体上搁置一根竖直杆，此杆只能沿竖直方向运动（图2）．当半圆柱体的速度为v时，杆与半圆柱体接触点P与柱心的连线与竖直方向的夹角为 ，求此时竖直杆运动的速度和加速度．

　　（1）取半圆柱体作为参照系．在此参照系中，P点做圆周运动，即 的方向沿着圆上P点的切线方向．根据题意， 的方向是竖直向上的．因为：

　　所以可画出矢量三角形PAB（图3），由此可知：

　　（2）在半圆柱体参照系中，P点的加速度由切向加速度 和法向加速度 构成，即：

　　其中
　　由相对运动公式，可知
　　                       ①
　　①式的矢量图如图4所示。

　　将①式中的各矢量向 方向上投影，可得

　　（二）如图5（a）所示，某人以常速率v拉动绳的一端，绳的另一端A系着一只小船，已知人离水面高度为h，试求当绳与水面倾角 为30°时，小船的速度和加速度。

　　（1）如图（b）所示， 与 分别为A点相对于O点的切向速度和法向速度。
　　且：
　　又因为绳AO不可伸长
　　有：
　　即：
　　（2）A点相对O点的加速度可能由两个方面产生。
　　①绳AO以O点为轴转动，A点相对O点有切向速度，为 ，其相对O点产生一法向加速度 ，且 。
　　②在沿绳方向上，绳相对O点缩短，则A点可能产生一个AO方向的加速度 。而本题中，A点在AO方向上相对O点的速度 是一定值，所以 。A点相对O点的法向加速度：

　　（三）有一只狐狸以不变速率 沿着直线AB逃跑，一只猎犬以不变的速率 追击，其运动方向始终对准狐狸。某时刻狐狸在F处，猎犬在D处， ，且 （图6），试求此时刻猎犬加速度的大小。

　　猎犬做匀速率曲线运动，其加速度的大小和方向都在不断变化。在所求时刻之后的一段很短的时间 内，猎犬运动轨迹的曲率半径为 ，则其向心加速度：

　　如图7所示，在 时间内，狐狸和猎犬分别到达了 和 处，猎犬的运动方向转过的角度：

　　因为 很小，所以狐狸运动的距离：

　　因此：

　　所以：

三、竖直面内圆周运动的临界条件
　　在竖直平面内的圆周运动，关键是最高点的受力情况的分析．若沿法线方向的合外力满足 时，则物体能通过最高点，即能在竖直平面作圆周运动．细绳和轻杆作用下的竖直平面内的圆周运动是常见的，在细绳作用下，小球在最高点的最小合外力是mg．所以，最高点的速度至少为 ．而细杆作用下，既可提供拉力，也可提供支持力，在最高点合外力可以为零，所以通过最高点的速度只需大于零．