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中点四边形的探究及应用
一、中点四边形的定义
E
G
A
B
D
C
F

H
图1
我们把依次连接任意一个四边形各边中点所得的四边形叫做中点四边形。
如图1：点E、F、G、H是
四边形ABCD各边的中点，
四边形EFGH就是四边形
ABCD的中点四边形。
二、中点四边形的分类及探究
G
A
B
D
C
E
F
H
图2
由于四分形分为平行平行四边形和梯形两类，而平行四边形又有矩形、菱形和正方形之分，梯形又有等腰梯形和直角梯形之分，因此，中点四边形的形状必定是由以上各种四边形的形状决定的
1、任意四边形的中点四边形的形状
如图2：点E、F、G、H是
任意四边形ABCD各边的中点，
那么四边形EFGH是什么四边形呢？
不难发现，我们连接AC（或BD），不妨连接AC吧，运用三角形的中位线定理，很容易证得四边形EFGH是平行四边形。
图3
A
B
C
D
E
F
G
H
2、平行四边形的中点四边形的形状
如图3：由上面的方法可知 ABCD
的中点四边形EFGH肯定是平行四边形
由于平行四边形的对角线不互相垂直，
F
图4
A
D
C
B
E
G
H
因此它的中点四边形只能是平形四边形，不可能是矩形或菱形。我们连接AC（或BD），不妨连接AC吧，运用三角形的中位线定理，很容易证得四边形EFGH是平行四边形。
3、矩形的中点四边形的形状
如图4：连结AC和BD，由于
矩形的对角线 AC＝BD ，因此由三角
形的中位线定理可知，很容易证得平行
四边形EFGH的一组邻边相等，因此矩形
的中点四边形是菱形。
A
B
C
D
E
F
G
H
4、菱形的中点四边形的形状
如图5：连结任意一条对角线，
M
不妨连结BD。
∵四边形ABCD是菱形 Q
图5土
∴AB=BC
又∵F、G是AB、BC的中点
∴BF＝BG
∴△BFG是等腰三角形 又∵BD平分∠ABC
∴BM⊥FG 又∵EF∥BD ∴∠BMF＝∠EFM＝90°
图6
A
B
C
D
E
F
G
H
∴∠四边形EFGH是矩形。
5、正方形的中点四边形的形状
如图6：由于四边形ABCD是正方
形，E、F、G、H是各边的中点，很容
易证得FG＝FE＝EH＝HG和∠GFE＝∠
FEH＝∠EHG＝∠HGF＝90°所以正方形
ABCD的中点四边形也是正方形。
6、任意梯形和直角梯形的中点四边形的形状
图77
F
A
D
B
C
E
G
H
如图7、8：连结对角线AC，由三角形的中们线定理可知四边形EFGH是平等的四边形，不再嗷述。
图8
A
C
D
B
E
G
H
F

7

8

A
B
C
D
E
F
H
G
图999910109
7、等腰梯形的中点四边形的形状
如图9：连结对角线AC和BD，
因为梯形ABCD是等腰梯形，所
以对角线AC＝BD，由三角形中
位线定理可知EF＝EH，因此
四边形EFGH是菱形，所以
等腰梯形的中点四边形是菱形。
以上图形的中点四边形利用信息技术工具，可以更方便地看到它们的动态变化，还有助于学生发现结论，节约了探究时间，达到有效教学的目的。
三、中点四边形的应用
1、如图10：E、F、G、H是四边形ABCD各边的中点，连结EF、FG、GH、HE。
⑴求证：四边形EFGH是平行四边形
G
A
B
D
C
F
E
H
图10
⑵如果对角线AC＝5，BD＝9，求中点四边形EFGH的周长。
⑴证明：
∵E、F是△ABD中AB、AD边的中点
∴EF是△ABD的中位线
∴EF∥BD 同理HG∥BD

∴EF∥GH
⑵解：由三角形的中位线定理知
EF＝BD ……①，EH＝AC……②
①＋②得EF＋FH＝BD＋AC
∴2（EF＋EH）＝2（BD＋AC）
∴C EFGH＝BD＋AC＝5＋9＝14
即中点四边形EFGH的周长是14。
由此发现：中点四边形的周长等于原四边形两条对角线长的和。
2、四边形的面积与它的中点四边形的面积的关系。
如图11：四边形ABCD的面积为S，则它的中点四边形的面积是多少？
不妨连结对角线BD，分别过A作AM⊥BD交EF于R，CN⊥BD交HG于Q，则：S△ABD＝BD·AM
由中位线定理可知：BD＝2EF
B
D
C
E
H
G
R
图11
Q
M
N
A
由平行线等分线段
定理可知：
F
AM＝2RM
∴S△ABD＝BD·AM
＝×2EF·2RM
＝2EF·RM……①
同理：S△CBD＝2HG·QN……②
①＋②得S△ABD＋S△CBD＝2EF·RM＋2HG·QN
又EF＝HG
∴S四边形ABCD＝2EF（RM＋QN）
RM＋QN即为四边形EFGH的高
∴S四边形ABCD＝2 S四边形EFGH
由此可知：四边形的面积是它的中点四边形的面积的2倍。
不难发现，当四边形的面积是S，它的第一个中点四边形的面积是S，第二个中点四边形的面积即为S，第n个中点四边形的面积为Sn＝S（n＞１的整数）。
Q
P
R
T
E
G
A
B
D
C
F

H
图12
例：如图12，四边形ABCD是校园内一块四边形空地，把它设计划分成多块，种上各种花，Ｅ、Ｆ、Ｇ、Ｈ、Ｒ、Ｑ、Ｐ、Ｔ分别是各边的中点，四边形RQPT种红花，它的四角上的三角形种黄花，外围四边形的四个角的三角形种紫花。已知红、黄、此三种花的单价分别为８元／m2，10元／m2，1２元／m2，而种红花已用去120元，计算种满四边形ABCD这块空地需要多少元？
解：由红花的单价８元／m2和
种红花用去的120元可求得
Ｓ四边形RQPT＝120÷8＝15（m2）
由上面中点四边形的面积知识可知
∴Ｓ四边形EFGH＝2Ｓ四边形RQPT＝2×15＝30（m2）
∴四边形EFGH四个角的面积是30－15＝15（m2）
外围四边形的四个角的面积是2Ｓ四边形EFGH－Ｓ四边形EFGH
即2×30－30＝30（m2）
∴种满这块空地需要的钱Ｍ＝30×12＋10×15＋15×8＝630（元）
由此可见，只要我们认真重视课题的学习，不但达到了对知识的全面复习，而且还培养了学生思考、探究、分析、归纳能力，同时对我们解题也会收到很好的效果，这样才能真正体现有效教学。
参考文献：
1．八年级数学下册，人民教育出版社，左怀玲2011.11
2. 倍速课时学练，北京光明出版社，刘增丽2013.1
3. 有效教学，东北师范大学出版社，彭小虎2007.8