第2章张量分析(6.8).doc

第2章 张量分析
第2章 张量分析
§2.1矢量空间、基、基矢
1．线性矢量空间
设有个矢量，它们构成一个集合，其中每个矢量称为的一个元素。如唯一地确定的另一个元素，及（为标量）也给定内唯一确定的元素，则称为线性（矢量）空间。中的零元素记为，且具有.
2．空间的维数
设为个标量，若能选取，使得

且不合为零，则称此个矢量线性相关，否则，称为线性无关。
例1 位于同一平面内的两个矢量和（如图）是线性无关的，即

若和为任意值，且不全为零。
例2 位于同一平面内的三个矢量，，是线性相关的，则恒可找到,,（不全为零）使

如图：
集合内线性无关元素的最大个数称为集合或空间的维数。设的维数为，则记为，欧氏空间为。
3．空间的基和基元素
中任意个线性无关元素的全体称为的一个基。基的每个元素称为基元素，由于的确良基元素是线性无关的。于是内任一个元素可表示成基元素的线性组合。设为的任选的基，则有：
，为任意的不全为零的标量
但总可选取及不全等于零，使得

或者

①不全等于零，所以不全等于零，且为有限值。
② 内有无限个基，但只有一个基是独立的，因为内至少只有个元素是线性无关的。设及是的两个基，则中的每个基元素都可用的线性组合来表示；反之亦然，因此，中的任两个基元之间存在唯一的变换关系。
③对于同一个元素，采用不同的基时，其系数不同甘共苦。

因为与间有确定的变换关系，因此，与间亦有确定的变换关系。
④空间的基往往与坐标系相关连，每一种坐标系有一个与之对应的确定的基，其中则是矢量在基或坐标方向的分量值。
⑤空间的元素如为矢平日里，则基元素称为基矢。如前所述，不同坐标系的基矢之间存在确定的变换关系，它是坐标变换的基础。
正交基：基内各基矢相互正交的基，称为正交基。
标准正交基：基矢为单位矢量的正交基，称为标准正交基。
现以欧氏空间为例，这是三维空间。
在欧氏空间内，笛卡儿坐标系为标准正交基，记作，在此坐标系内，任一矢量（位矢）为

是不因坐标位置而改变的

当只一个坐标有变化时，例如有变化

此时，，因此，为单位矢量。
都等于1，且彼此正交，故笛卡儿坐标系的基为标准正交基。
正交曲线坐标系的基亦为正交基，记作，用表示坐标值，则基矢定义之

①随坐标位置而变化，②，因此是正交基，但不是标准正交基。

例如：在极坐标系内

其中，因此，，令（拉梅系数）及

则为正交曲线坐标系的标准化正交基。
因此，显然有

§2.2 字母指标法
1．字母标号法：（标号：index or suffix）
点位置：（矢径）
矢量：（位移）
（速度）

应力（张量）：

应变（张量）：

微分符号：

约定：英文字母下标表示三维指标，取值1，2，3
2．求和约定：
矢量点积：
两矢量分别记为

哑标：在表达式式中等项中，某指标重复出现两次，则表示要把该项指标在取值范围内遍历求和，该重复指标称为“哑标”或“伪标”
哑标的符号可以任意改变（仅表示求和）

线性变换：

上式中，为哑标表示求和，而在每项中只出现一次，称为自由指标。
自由指标表示，若轮流取该指标取值范围内的任一值，关系式恒成立。
自由指标仅表示为轮流换值，因此也可以换标，如，上式可写为
（同时换标）
注意：①自由指标必须整个表达式换名
②同项中出现两对（或多对）不同哑标表示多重求和。如：

③哑标只能成对出现。否则要如求和号或特别指出（就书中标下加“-”）
④由 不能得出
⑤若重复出现的标号不求和，应特别声明
§2.3 符号和
1．符号（kronecher delta）定义为

性质：对称性

应用：

2．排列符号（置换符号）（Permutation Symbol）
1
2
3
循环方向
定义：
性质：
下标改变奇次位置时改变正、负号，下标改变偶数次位置时不改变符号。
应用：

3．之关系（恒等式）
矢量恒等式
设
而

又

根据矢量恒等式，有：（矢量恒等则矢量的各分量应相等）

由于对任意的上式均成立，则：
①
进一步，有：
②
③
§2.4 坐标变换

：老坐标系
：新坐标系（
坐标轴夹角的方向余弦：

构成一个二阶张量

（与一般不同，它是两个坐标系的基矢构成的）
称为转移张量（shifter）（总是新坐标在前，老坐标在后）
性质：① 不是对称张量 而

② 是正交张量
（*）
又新老坐标系基矢量的关系式：

上面第一式两边乘以 则
上面第二式两边乘以 则
则：

代入（*）式，有 证毕
张量的应用：
i）矢量的坐标变换：

又
则： 或
矢量形式为：
ii）二阶张量的坐标变换：

与上同样：

张量写法为：

§2.5 张量的代数运算
1．张量的坐标系不变性及其记法
客观量都是与坐标系无关（坐标系只是人为的选择工具），如长度是不变的，但测量长度可用不同的工具），（若张量与坐标系选择无关，则张量反映了一个客观量）。
矢量（小写字母） 笛卡儿坐标系基矢

（为标准化的正交曲线坐标基矢）

则 与与有一定的变换关系（即坐标变换公式），通过基矢的变换来导出它们之间的变换关系。
称为一阶基（由三个矢量构成的基）
①矢量可用一个方向来确定，
在方向，应力矢为

在方向，应力矢为

②但有些量不利用一个方向来确定，如应力：它与两个方向有关，常用的单元体也如此（和作用面的法矢）。
这样引入二阶基：
从数字上说，可引入 阶基，个基矢
与阶基相关连的量称为阶张量
：标量 ：矢量 ：二阶张量（简称张量）
张量的记法：

直接记法
（抽象记法）
分量记法
矩阵记法
（0阶、一阶、二阶张量）
标量

/
/
矢量

二阶张量

[T],

直接记法与坐标系选择无关，只用于描绘公式、不能进行计算。分量中标量称为伪标量，与坐标选择有关，这里能以分量记法变直接记法，反之亦然。
2．张量的外乘（并乘），外积（并积），用记号

不适于交换率，与秩序有关。
个张量外乘，结果仍为张量，新张量的阶数为个张量阶数之和

分量的组合有9个，该9个为二阶张量的分量。
3．张量的内乘（点乘）内积（点积），用记号“• ”）

张量的内乘法结果仍为张量，其阶数为二个张量的阶数之和再减去点乘的次数乘2。

4．张量的缩并
（不能变换顺序）

张量的缩并仍为张量，其阶数等于原张量的阶数减去缩并数

惯用的缩并：

表示缩并，表示缩并次数，惯用为最靠近的缩并。
要求：

（称为双点乘，设为二阶张量）

5．若干结论
①商法则 张量识别定理
设已知和为张量，且满足：

则亦为张量，且为阶，（的阶数减去的阶数）
特别是，当 即的指标与的指标全部依次相同，则的阶数为的阶数加上的阶数。
如右图：（是一阶张量（点的位置矢）

根据上面分析，知为二阶张量分量（单位张量）记为。
的矩阵记法为单位矩阵

则为三阶张量，记为“”
② 二阶张量可视为一个变换，把一个矢量变换为另一个矢量。
与的大小不同、方向不同（一般下）
③一阶、二阶张量的运算，可用矩阵的运算方法（下面均指二阶张量）

求迹（trace） （矩阵）
则定义：
类似
特别地
a)

b)

则
c)

则
且
进一步：
§2.6 特殊张量 张量函数（二阶张量）
1．对称和反对称张量 （与矩阵的对称和反对称定义同）
定义：
①设为对称张量，若有，则称为对称张量
②设为反对称张量，若有；，则称为反对称张量
特性：
①
证：
又 总为标量，则
一般张量

② 设为反对称张量，则可找一个矢量，使 （为量换张量）
（*）

则：任意矢量与置换张量的点乘积为一个反对称张量
求解张量方程（*），即 ，求出

将（*）式两边的点乘，有
则

称与互为对偶。
设和均为反对称张量，和分别为它们的对偶矢量，则

以上为矢量恒等式。
证明：

定理：反对称张量与反对称张量点积是一个张量，但不一定为反对称张量。
证：

则
2．偏（斜）张量和球张量
定义：设为张量，若，则称为偏斜张量
设为张量，若，则称为球张量
特性：

证：

任何张量，都可分解为偏斜张量和球张量之和

弹性力学中：。
3．正交张量（代数中正交矩阵 ）
定义：设有张量与任意矢量，作一个变换。
如果 （即）
则称为正交张量（的变换称为正交变换或刚体变换）。
特性：
①
又由于为任意的，则

则

对于基矢量的变换
若为正常正交张量，则与之间转换（仍为右手坐标系）
若为非常正交张量，则与之间镜射，将右手系变为左手系）
②

则

③保角变换（既是刚体转动，应是保角的）
（该等式成立，保证角度不变，两矢量的夹角不变）
证明：

（）
4．相似张量
定义：设有二个张量，和矢量，则有
（*）
如果，为任意，又

则称与为相似张量。
特性：
①同之间的关系：

则

又由于为任意的，则有 又
（上式两边右乘）
②设 又设 （☆）
又
则
（与（☆）式比较）
相似张量之一存在新基上的分量等于各一相似张量在原基上的分量。

矢量正交变换
张量正交变换
③
证：
又

④
证明：
上两个特性证明了不变量与坐标选择无关
一次： 二次：， 三次
⑤
证：

特别地： 即：
定义：的范数 记为
则 两相似张量的范数相等。
5．张量函数
以张量为变量的函数称为张量函数
如： 功为张量函数
或 本构关系也是张量函数
应变能为张量函数
（1）标量值的张量函数
a）表达法 ，设为二阶张量
例：，此处为给定的二阶张量（相当于函数的系数）
b） 线性函数：
c） 求导：
根据缩并定理， 则 为张量分量。
定义：，的阶数等于变量的阶数
（2）张量值张量函数：
a）定义：为具体化，称和为二阶张量。
例：，为给定的四阶张量（相当于函数系数）

b） 线性函数：。
c） 求导：

同样根据缩并定理 为四阶张量分量。
定义：为一个四阶张量。
导数的阶数=函数的阶数+变量的阶数。
例：

——弹性张量（四阶）
6．各向同性张量函数
对于，其中为任意阶张量，设为和的正交变换后的张量，
若① 的标量，；
②为矢量，有 ；
③为二阶张量，有，
如果对于任意的，有下列关系
且的形式不变
则称为各向同性张量函数。
例：① 标量函数为各向同性函数。
② （和为矢量）

即满足左边条件的为各向同性矢量函数。
也是矢量值矢量函数为各向同性函数的条件。
③二阶张量函数

也是张量法张量函数为各向同性函数的条件。
力学中： 为各向同性材料的本构方程。
其中是的不变量函数

最一般的各向同性材料本构关系。
23