第01章 质点运动学.doc

第1章 质点运动学
质点力学以具有质量而形状和大小可忽略的物理模型——质点为研究对象，由质点运动学和质点动力学两部分构成。质点运动学是讨论如何定义和用数学语言描述物体的运动规律。本章从运动的相对性出发，引入基本定义位置矢量、位移、速度和加速度等物理量来描述质点在空间的位置及位置变化，涉及一般曲线运动和圆周运动，同时阐述了在自然坐标系中法向加速度和切向加速度的物理意义，以及相对运动的一般规律。

1.1 基本要求
1、理解质点模型及参考系和坐标系的概念；
2、掌握位置矢量、运动方程和轨道方程的概念及其计算；
3、明确位移和路程、速度和速率的区别，掌握位移、速度和加速度等物理量的意义和计算；
4、掌握圆周运动的角量描述和计算；
5、掌握法向加速度和切向加速度的概念和计算；
6、理解运动的相对性原理，能分析简单的质点相对运动问题。
1.2 重点概念及主要公式
1 运动的一般描述
(1) 质点 具有质量而形状和大小可忽略的物理模型；
(2)参照系 是为描述物体的运动而选取的标准参照物；
(3)坐标系 为定量的描述物体的位置和位置随时间的变化而在参照系中建立的计算系统；
(4)位置矢量 是用于描述质点在空间位置的物理量。
在直角坐标系中
的大小为
方向 一般用方向余弦表示
，， （图1-1a）
质点在xoy平面内运动时， （图1-1b）

位置矢量具有矢量性；在不同时刻，位置矢量一般不相同，因此具有瞬时性；对不同的参照系，同一质点某时刻的位置矢量是不同的，因此具有相对性。
位置矢量的单位为米（m）。

(5)运动方程
随时间的变化关系式称为运动方程。
在直角坐标系中表示为

或表示为

(6)轨迹方程
质点运动时，其在空间位置各点所连成的曲线称为轨迹，描述该曲线的方程就是轨迹方程。从运动方程中消去时间t，即可求得轨迹方程。
(7)位移 表示某时间内质点位置矢量改变的物理量。

位移是矢量，具有大小和方向，在直角坐标系中，
(8)路程 质点运动时其轨迹的长度，路程是标量，只有大小，没有方向。

(9)速度和速率 描述物体位置（路程）改变快慢的物理量

平均速度 物体位置快慢的粗略描述

注 平均速度一定要指明在哪一段时间内的平均速度
瞬时速度 物体位置快慢的精确描述

平均速率 物体路程快慢的粗略描述
瞬时速率 物体路程快慢的精确描述
速度描述的是质点位移对时间的变化率，是矢量，有大小和方向；速率指质点所经历的路程对时间的变化率，是标量，只有大小，没有方向。两者意义不同，但它们的瞬时值相同。有
某时刻瞬时速率与该时刻瞬时速度的大小相等
速度和速率的单位
(10)加速度 描述物体速度改变快慢的物理量

平均加速度 物体速度改变的粗略描述

瞬时加速度 物体速度改变的精确描述

加速度在自然坐标中的表示
切向加速度 加速度沿轨迹切向方向的分量，反映速度大小的变化。

法向加速度 加速度沿轨迹法向方向的分量，反映速度方向的变化。
其中，为质点运动轨迹的曲率半径，圆周运动中，为圆的半径。

2 圆周运动
(1)角位置 质点的位置矢量和参考方向之间的夹角。
(2)角位移 表示某段时间内角位置的改变，逆时针方向为正，顺时针方向为负；单位：弧度（rad）。
(3)角速度 描述质点的角位置随时间变化的物理量。
(4)角加速度 描述质点的角速度随时间变化的物理量。
(5)角量与线量的关系
， ，
3 相对运动
设有二个参考系和， 系相对于系的速度为，质点A相对于参考系的速度为，相对于系的速度为，则有

、、分别称为绝对速度、相对速度、牵连速度。
质点A相对于系的加速度为，相对于系的加速度为，系相对于系的加速度为，则有

、、分别称为绝对加速度、相对加速度、牵连加速度。
1.3 常见及疑难问题答疑
1 位移、路程有什么异同？在什么情况下它们的大小相等？竖直上抛公式中S是路程还是位移？
答：这二个量都是描述质点位置变动情况的物理量。
位移描述的是质点在空间位置的变化，指明其位置改变的大小和方向。位移是矢量，大小为初位置到末位置的直线距离，方向从初位置指向末位置。
路程是质点运动路径的长度，是标量，只有大小，没有方向。
当质点作定向直线运动时，在同一段时间内，二者的量值相等。
竖直上抛公式中的S是位移的大小。
2 位置矢量和位移有何区别？和意义相同吗？
答：位置矢量是从坐标原点指向质点所在位置的一个有向线段，描述了某时刻质点的位置，而位移是初位置引向末位置的有向线段，反映了质点位置的变化，两者意义不同。
末位置的位置矢量和初位置的位置矢量之差即为该段时间内的质点的位移，若取初位置为坐标原点，则末位置的位置矢量和位移一致。质点的瞬时速度为该时刻位置矢量对时间的一阶导数，而不是位移对时间的导数。
是矢量增量的模，为矢量模的增量，两者意义不同。表示位移的大小，等于位置矢量大小的改变量。
3 质点的运动方程为。在计算质点的速度和加速度时，有人先求出，然后根据和而求得结果；又有人先求出速度和加速度的分量，再合成求得结果，即及。哪一种方法正确？为什么？
答：后一种方法正确。因为速度，前一种方法只考虑了位置矢量的量值随时间的变化，没有反映出的方向随时间的变化。同样可知，对加速度的求法也是后一种方法正确。

4 河中有一条船，岸上有人用绳通过定滑轮拖船，如果拉绳的速率v是均匀的，问船运动的速率u是否也是均匀的，谁的速率大，为什么？
答：尽管拉绳速率是均匀的，但由于定滑轮后绳上各点同时参与沿AB方向的运动和沿BO方向的运动，因此，船运动的速率u不等于拉绳的速率v。船运动过程中，β随时间是变化的，故不能简单的用u=vcosβ求船速。
设某时刻t，船在位置B处。建立坐标系如图所示，设船到定滑轮的距离用l表示，
AO为h，BO为x，在直角三角形ABO中，

两边同时对时间t求导，考虑到h是常量，

拉绳的速率
船的速率
在拉绳过程中，v 不变，距离x 变小，船速越来越快。
船的加速度
负号表示加速度的方向与坐标轴的方向相反，船作变加速直线运动。
5 有人用步枪瞄准远处树上的梨，扣动扳机，在子弹出膛时梨恰好脱离树枝而自由下落，问子弹能击中梨吗？为什么？（不计空气阻力）
答：能击中。 子弹和梨都具有相对地面的重力加速度g。但如果以梨为参考系来观察子弹，子弹却是作匀速直线运动，由于梨是在子弹的匀速直线运动的直线上，因此，子弹必能击中梨。
6、物体在某一时刻开始运动，在△t时间后，经任一路径回到出发点，此时速度的大小和开始时相同，但方向不同，试问在△t时间内平均速度是否为零？平均加速度是否为零？
答 平均速度是△t时间内物体的位移与时间△t的比值。而在这段时间内位移为零，所以平均速度为零。
平均加速度是△t时间内物体速度的增量与△t的比值，由于初末速度的方向不同，所以不为零，平均加速度也不为零。
7、物体的合速度的数值是否可以等于分速度的值，或者甚至小于分速度的值？
答 可以。若物体的合速度由两个分速度合成，当这两个分速度之间的夹角在和之间，合成速度的值，就可能等于分速度的值，甚至小于分速度的值。
8、一只兔子向着一棵大白菜走去，它每秒钟所走的距离是从它的鼻尖到大白菜的剩余距离之半，问兔子可否到达大白菜？它的平均速度的极限值为多少？
答 设l为兔子开始距大白菜的距离，兔子每秒钟走的距离显然是、、、…，为等比级数衰减，只有t趋于无限大时其总合才等于l，也就是说只有时间为无限大才能走到大白菜处，所以兔子是不能走到大白菜处。
因为的极限值为，故兔子的平均速度的极限值为零。
9、圆周运动中质点的加速度是否一定和速度方向垂直？任意曲线运动的加速度是否一定不与速度方向垂直？
答 不管是圆周运动还是任意曲线运动，质点的加速度均为切向加速度和法向加速度的矢量和。
在匀速圆周运动中，速度的大小不变，质点的加速度为法向加速度，其方向与速度方向垂直，指向圆心。在变速圆周运动中，速度的大小也随时间变化，质点的加速度不但有法向分量还有切向分量，因此，加速度的方向不垂直于速度方向（切向），不指向圆心（法向）。
在匀速率曲线运动中，只要速度方向有变化，加速度只能有法向分量，一定与沿曲线切向的速度方向垂直，并指向质点所在处曲线的曲率中心；在变速曲线运动中，切向加速度不为零，故加速度一定不与速度方向垂直，但一定指向轨迹的凹侧。
10、有人说，考虑到地球的运动，一栋楼房的运动速率在夜里比白天大。这是相对什么参考系说的？
答 在太阳参考系中，地球上的一栋楼房的运动速度是地球绕太阳的公转速度与地球的自转速度之和，即。
所谓白天就是所研究的物体面向太阳，黑夜就是物体背向太阳。无论白天还是黑夜，地球的自转速度都是相同的。由于白天时自转速度与公转速度的方向相反，故楼房的速率低些；黑夜时自转速度与公转速度的方向一致，故楼房的速率高些。
1.4 解题要点及例题详解
1 已知运动方程，求位置矢量、位移、速度、加速度及轨迹方程等
解题要点 根据运动学中物理量的定义，使用数学知识解题。
例1-1．一质点坐平面曲线运动，已知其运动方程为(m)，(m)。求：
①质点运动的轨迹方程；
②时的位置矢量；
③第2内的位移和平均速度；
④第2内的平均速率；
⑤时的速度和加速度；
⑥时刻的切向加速度和法向加速度；
⑦时质点所在处轨迹的曲率半径。
解：
①从运动方程中消去时间,得轨迹方程

②
大小为
方向由与轴正向夹角表示。
③第二秒内的位移为

大小
方向与轴正向成
平均速度

大小
方向为
④在第2内质点经历的路程为

所以在第2s内的平均速率为

⑤由，当时

大小 ，
方向为
加速度
即为恒矢量，其大小为，方向沿轴负向。
⑥由质点在时刻的速率 得
切向加速度
法向加速度
⑦时刻的 ，，由 得 时的为

例1-2．一直尺，其端点与沿直线导槽和滑动，端以匀速向下运动。求直尺上点的速度和加速度。（设，， ）

解：有图分析，得B和M的位置矢量
··················①
···········②
由①式得

可得 ···········③
由②式得

代入③可得

*例1-3、细杆绕端点O在平面内作匀角速旋转，角速度为。杆上一小环（可视为质点）相对杆作匀速运动，相对速度为。设时刻小环位于杆的端点O
①证明小环的运动轨迹为阿基米德螺线；
②试求小环在任意时刻的速度和加速度。
解：
① 本题采用平面极坐标较为方便。
因和为常量，故小环的运动方程为

消去，得小环运动的轨迹方程为

式中为常量，与成正比，此即阿基米德螺线的极坐标方程。
②在平面极坐标中，小环速度的两分量为
径向速度
横向速度
所以时刻的速度为

其大小
速度方向指向轨迹（阿基米德螺线）的切线方向。
在平面极坐标系中，小环加速度的两个分量为
径向加速度
横向加速度
所以时刻的加速度为

其大小为

2 已知加速度和初始条件，求运动方程和速度
解题要点 根据加速度和速度的定义，利用积分学知识解题。
例1-4．一质点在轴方向运动，其加速度和时间的关系为a=-6t，设t=0时刻，质点在坐标原点以初速度为12m/s向x轴正方向运动，求
①任意时刻质点的位置和速度；
②沿x轴正方向质点最多走多远？何时又回到出发点？
③在1到3秒内质点的位移和路程。
解：①质点的加速度 a=-6t
上式可变为
左右两边同时积分，利用初始条件 t=0时，v=12，得
解出
由上式得，

②t=1,
t=3,
当质点的速度为零时，质点开始返回， v=0,
解得 t=2（负根舍去）
t=2,
质点运动到x轴正方向的最远处，x=16（m）
再次回到出发点，x=0，
t=3.46(s)
③1到3秒内质点的位移
1到3秒内质点的路程
例1-5．一质点沿轴作加速运动，在时刻，其位置和初速度分别为和
①当，求时刻的速度及运动方程；
②当，求时刻的速度及运动方程；
③当，求时刻的速度及运动方程。
解：
①由 得
积分

而 ，
积分

运动方程
②由 得

积分

再由 得
积分

运动方程
③由 得

积分

此式的不是的函数，我们要求。现把上式改写为

令 ， 得

由 可得

积分

把上式的两边平方后，经整理，并把，及代入，可得

此式即为运动方程。
由 可得时刻的为

3 圆周运动
解题要点 根据运动学中物理量的定义，选择角坐标或自然坐标解题。
例1-6、一质点从静止出发沿半径为m的圆周运动，切向加速度m/s2, 求：
①经多少时间它的总加速度的方向与半径成45º；
②在上述时间内，质点所经过的路程及角位移各为多少?
解：①总加速度的方向与半径成45º，

将R=3代入，得 v=3,

解得 t=1(s)

②路程
角位移

例1-7、一质点A沿半径的圆周运动，其角坐标与 的关系为，式中的以弧度计，以秒计，求：
①第1秒内的平均速度；
②秒及秒时刻的瞬时速度及；
③第1秒内的平均加速度。
解：
① 秒时，，；
秒时，，。
所以在第1秒质点的位移为

则在第1秒的平均速度

②
从上式可知 当时，；时，；时，。质点作逆时针方向运动，质点作顺时针方向运动。
时，，；
时，，。
③

4 相对运动
解题要点 根据题意合理选择两个相对运动的坐标系，用矢量表示出质点对应坐标系中的速度（绝对速度、相对速度、牵连速度）或加速度（绝对加速度、相对加速度、牵连加速度）。
例1-8．罗盘显示飞机头指向正东，空气流速表的读数为，此时风向正南，风速。求：
①飞机相对地的速度；
②若飞行员想朝正东飞行，机头应指向什么方向？
解：
这是一个相对运动的问题。选地为系，空气为系，空气相对地流动的速度就是风速，飞机为质点。由题意可知 ，
① 现要求，根据，画速度矢量图，如图1-7（a）
(a) (b)
图1-7

飞机对地的速度大小为，方向东偏北。
②由题意可画速度矢量图，如图1-12（b），机头的方向为

1.5 能力训练
能力训练（1）
一、 选择题:
1．下列说法正确的是：
A）加速度恒定不变时，质点的运动方向也不变；
B）平均速率等于平均速度的大小；
C）当质点的速度为零时，其加速度必为零；
D）质点作曲线运动时, 质点速度大小的变化是因为有切向加速度，速度方向的变化是因为有法向加速度。
2．质点作曲线运动，某时刻的位置矢量为，速度，则瞬时速率是_______，切向加速度的大小______________________，总加速度大小_________________。
A） B） C） D） E） F）
3．两个质点沿x轴作直线运动，如图1-8所示为质点的x-t图（图中曲线均为抛物线），问哪一个说法正确？

A）； B）；
C）；   D）。 
4．一质点从静止出发绕半径R的圆周作匀变速圆周运动，角加速度为β，当该质点走完一周回到出发点，所经历的时间为：
A）； B）； C）； D）条件不够不能确定。
5．如图1-9所示，墙和地面都为光滑，当杆滑止如图位置时，端速度大小为，方向水平向右，此时端速度大小为：
18
A）； B）； C）； D）。
6．已知质点的运动方程为则它的加速度的大小和方向分别为：
A） B）
C） C）
7．一质点在平面上作曲线运动，设t时刻的瞬时速度为，瞬时速率为V，0～t这段时间内的平均速度为，平均速率为，它们之间有如下的关系：
A）  ，；  B） ，；
C） ，；     D） ，。
二、填充题:
1．质点以初速度4米/秒沿x方向作直线运动，其加速度和时间的关系为a=3+4t，则t=3秒时的速度大小为_______________。
2．一质点作斜抛运动，初速度的大小为 ，与水平方向成角，忽略空气阻力，在最高点A处的速度大小= ，加速度大小 =  ；法向加速度大小 ，切向加速度 。
3．质点在xoy平面内作运动，任意时刻的位置矢量为，其中ω是正常数。速度=_____________________，速率=____________________，运动轨迹方程为__________________________。
4．一质点在某一时刻的位置矢量为，速度为，在时间内，经任一路径回到出发点, 此时的速度为，其大小与相同，方向相反，则在时间内的位移= ，平均速度= ，平均加速度= 。
5．一质点在平面内运动, 其，；、为大于零的常数，则该质点作 。
6．一质点在水平面上作匀速率曲线运动，其轨迹如图1-10所示，则该质点在 点的加速度值最大，在该点的切向加速度的值为 。
7．质点沿轴作直线运动，其运动方程为(SI)，则质点在时刻的速度= ，加速度为零时，该质点的速度 。

三、计算题:
1．一质点在平面内运动，其运动方程为

式中、以m计，以秒s计，求：
(1) 以为变量，写出质点位置矢量的表达式；
(2) 轨迹方程；
(3) 在s及 s时刻的位置矢量；计算在1～2s这段时间内质点的位移、平均速度、平均速率；
(4) 时刻的速度表达式；
(5) 计算在1～2s这段时间内质点的平均加速度；在s及s时刻的瞬时加速度。
2．质点的位置矢量，其中R、ω、h均为正常数。求：
①质点任意时刻的速度和加速度；
②质点任意时刻的切向加速度、法向加速度和当前位置的轨道曲率半径；
③简要描述质点的运动。
3．质点作斜抛运动，不计空气阻力，求在时刻的法向加速度及切向加速度 。
4．一质点在平面内运动，其运动方程为

式中、以m计，以秒s计。问在何时刻质点的切向加速度为零，且此时的法向加速度为多少？
5．质点沿x轴运动，已知其加速度为，式中为大于零的常数。在时刻质点的坐标为 ，初速度为 ，求质点的速度公式及运动方程。
6．质点作半径为R的圆周运动，其经过的路程s和时间t的关系为，其中b和c是大于零的常数，从t=0开始到切向加速度和法向加速度大小相等时所经历的时间。

7．一质点沿半径为m的圆周作逆时针方向的圆周运动，在时刻质点处在点，如图1-11所示，质点在0～这段时间内所经过的路程为式中以m计，以s计，求：
(1) 在时刻质点的角速度及角加速度；
(2) 在0～1s这段时间内, 质点的位移、
平均速度、平均加速度、平均速率；
(3) 在s时刻的加速度。
*8．在竖直平面内，一光滑铜丝被弯成如图1-12所示的曲线。一小球（可看作为质点）穿在铜丝上，可沿它无摩擦地滑动。已知其切向加速度为，是曲线的切向方向与水平方向的夹角，证明质点在各处的速率与其纵坐标有如下的关系：，式中和分别为初速度大小和初位置。
能力训练（2）

一.选择题
1．一质点作定向直线运动，下列说法正确的是：
A）质点位置矢量的方向一定恒定，位移方向一定恒定；
B）质点位置矢量的方向不一定恒定，位移方向一定恒定；
C）质点位置矢量的方向一定恒定，位移方向不一定恒定；
D）质点位置矢量的方向不一定恒定，位移方向不一定恒定。
2．质点沿轨道AB作曲线运动，速率逐渐减小，如图1-13所示，问哪一个图表示了在C处的加速度？

图1-13
3． 如图1-14所示为质点沿直线运动的a～t图，且已知时，，则直线下部分的面积表示：
A）0～t1这段时间内质点所通过的路程；
B）0～t1这段时间内质点所通过的位移；
C）t1时刻质点的速度大小；
D）0～t1这段时间内质点的平均速度大小。
4．已知半径为R＝1ｍ的圆作圆周运动，其角位置，则在ｔ＝2ｓ时它的速度的大小为
A）　20m/s　B）18m/s　　C）9m/s　　D）12m/s
5．一物体从某一确定高度以初速率被水平抛出，不计空气阻力，当它落地时的速率为V，则它在空中运动的时间为：
A）； B）； C）；   D）。 
6．一质点在xoy平面内作匀速率正弦曲线运动，如图1-15所示，在如下的说法中正确的是：
A）质点在a、c处的加速度的值为零；
B）质点在各处的加速度大小都相等；
C）质点在b、d处的加速度的值最大；
D）质点在b、d处的加速度的值为零。
7．某人骑自行车以速率向西行驶，今有风以相同速率从北偏东30º吹来，则人感到风从
哪个方向吹来：
A）北偏东30º； B）南偏东30º；
C）北偏西30º； D）西偏南30º。

二.填充题:
1．有人骑自行车沿笔直的公路行驶，其--图如图1-16所示，其中三角形的面积等于三角形的面积, 则自行车所经历的路程 ，自行车的位移 。

2．质点沿x轴作直线运动，其加速度m/s2，在时刻，，m，则该质点的运动方程为 。
3．质点沿半径为r的圆周运动，速率， c为常数，则质点走过的路程s与时间的关系为__________________，t 时刻的法向加速度=_______________,
切向加速度=______________________。
4．质点沿x轴作直线运动，其加速度（m/s2），在时刻，，则该质点在t时刻的速度为v = 。
5．一小艇原以速度行驶，在某时刻关闭发动机，其加速度大小与速率成正比，但方向相反，即, 为正值常数，则小艇从关闭发动机到静止这段时间内，它所经过的路程 ，在这段时间内其速率与时间的关系为 。（设关闭发动机的时刻为计时零点）

6．一质点作如图1-17所示的抛体运动，忽略空气阻力，则该质点在运动过程中是否变化： ；是否变化： ；法向加速度是否变化： 。

7．一列车以5m/s的速度沿x轴正方向运动，某旅客从车厢上观察一个站在站台上的小孩竖直向上抛出的小球，相对于站台上的坐标系来说小球的运动方程为；。如车厢上的旅客用随车一起运动的坐标系来描述小球的运动，则在此坐标系中，小球运动的轨迹方程为 。 车上旅客观察到小球的加速度大小为 ，方向为 。(设时刻，坐标系与重合)

三.计算题
1．质点作半径R=2米的圆周运动，转动角速度(k为常数)，已知t=2秒时，质点速度为32米/秒，求t=1秒时质点的速度和加速度大小。
2．一汽车在半径R=400m的圆弧弯道上减速行驶。设在某时刻，汽车的速率为v=10m/s，切向加速度的大小为at=0.2m/s2。求汽车的法向加速度和总加速度的大小和方向？
3．一质点从静止出发沿半径为m的圆周运动，切向加速度m/s2, 求：
(1) 经多少时间它的总加速度的方向与半径成45º；
(2) 在上述时间内，质点所经过的路程及角位移各为多少?
4．质点沿半径为的圆周运动，其速度矢量与加速度矢量的夹角保持不变，证明质点的速率可表示为：

式中，为质点的矢径与轴的夹角。当时，，。
5．灯高为，人身高为，人以的速率作直线运动，求人头顶影子移动的速率。

6．一球从屋檐自由下落，在0.25s的时间内经过一个2.0m高的窗子。问屋檐离窗顶多高?
7．某车的速率与时间关系为km/h。求：(1)当车的速率减小至km/h的时间内，车走了多少路程；(2)车走完km需多少时间。
*8．一质点处于光滑曲线轨道的顶部，曲线轨道的方程为，y轴正向垂直向下，如图1-18所示，当质点在轨道上滑动时，求它在图示位置时的切向加速度大小。

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