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完全四点形和完全四线形调和性质应用例析
作者： 何璇
摘 要
本文对高等几何中的完全四点(线)形的调和性质进行了归纳整理，主要研究内容是通过运用完全四点形和完全四线形调和性质解决一些几何证明、几何作图、研究二次曲线的一些性质等几何问题，来体现高等几何的一些思想观点和方法。从而能够用现代几何学的观点处理初等几何问题,使解题更简洁，拓宽解题思路 ,提高解题能力。
关键词：完全四点（线）形；调和性质；高等几何；初等几何
Abstract
The paper gives a simple summary to harmonicity of complete quadrangle (complete quadrilateral) in Higher Geometry. Its main research content is to figure out some problems including geometrical proving, geometrical drawing and researching the characters of the conics via the harmonicity of the complete quadrangle (complete quadrilateral), which incarnates some viewpoints and methods in higher geometry. Accordingly, we can deal with the problems on elementary geometry by using views of modernistic geometry, which can simply solve problems, broaden train of thought and improve the capacity to solve problems.
Key words: complete quadrangle (complete quadrilateral); harmonicity; Higher Geometry; Elementary Geometry
1.前言
射影几何对初等几何教学的指导，不仅表现在提高数学思想与观点上，还直接表现于对初等几何图形的射影性质的研究中(参见文[9][11])。由射影几何、仿射几何和欧氏几何三者的关系，我们知道，欧氏几何为仿射几何及射影几何的子几何，在其中可以讨论仿射的对象（仿射不变性质和仿射不变量）和射影对象（射影不变性质与射影不变量），因而可以用射影几何去指导与研究初等几何中的一些问题。而完全四点形和完全四线形的调和性是射影几何的重要不变性，有关平面图形与二次曲线的许多重要概念和性质都与此密切相关。它们在射影几何中占有重要地位。不仅如此，它们在初等几何中也有很广泛的应用(参见文[8][10])。
2.完全四点（线）形概念简述
完全四点形中有诸多的调和共轭线束和调和共轭点列,如图1,完全四点形中,为对边三点形,、、、、、为对边三点形各边与完全四点形各组对边的交点.则调和共轭线束是以、、为中心的三组线束。即,,。调和共轭点列在完全四点形的六条边、、、、、及对边三点形的三条边、、上，共十二组调和共轭关系(参见文[1])。根据完全四线形与完全四点形的对偶关系,仔细观察图1,可以发现,该图中蕴含着完全四线形,为完全四线形的对顶三线形,由对偶原则可知,在、、三条边上各有一组调和共轭点列：,,,以九个顶点、、、、、、、、为中心,各有一组调和共轭线束。正因为完全四点形与完全四线形可以通过一张图形体现,故而下面的讨论可仅就完全四点形的点线进行。
利用上述性质我们可以较为简单明了地解决许多初等几何的问题，以使得初几与高几的学习能够融会贯通，并从中体现高几对初几的指导作用。
3.应用举例
3.1几何作图问题
3.1.1第四调和点的作法
我们知道，一直线上的点偶与成为调和共轭的充要条件是：“和是一个完全四点形的对边点，和是通过第三个对边点的一对对边与的交点”（参见文[1]）。为此，可通过完全四点形的作图来作第四调和点。利用完全四点形和完全四线形的调和性质在初等几何作图中的一些具体应用如下：
例1、已知、、三点共线于，在直线上求作点关于、的调和共轭点，有以下几种方法。限于篇幅，只给出作法，具体作图过程及证明从略。
①利用完全四点形和完全四线形的调和性质
过点任作一直线，在其上任取异于的两点、，分别连接、；Q、交于点，连接、；、交于点，再连接、；、交于点，则点即为所求。
②利用“线段的中点与其所在直线上的无穷远点成调和共轭”
过点任作一直线，在其上取两点、分别位于点的两侧，并且、到的距离相等。连与、与相交于点，过点作直线的平行线交、、所在直线于点，则点即为所求（参见文[2]）。
③利用“角的内、外角平分线关于角的两边成调和共轭”
过点任作一条不与垂直的直线，作线段的垂直平分线与直线相交于点，过不共线三点、、作一圆，交直线于另一点，再作的外角平分线与、、所在直线相交于，则点即为所求。
④利用二次曲线极点、极线的作图法
过、两点任作一圆，作出点关于此圆的极线，与、、所在直线相交于，则点即为所求。
⑤利用调和共轭的初等几何作图（）
以为直径作圆，过作的垂线交圆于，过作圆切线交于，则点为所求。
3.1.2 初等几何作图
利用完全四点(线)形的调和性质可以使我们由纯粹几何方法得到调和共轭点列或调和共轭线束，即仅用直尺可作出已知点列上的三点的第四调和点或已知线束中三直线的第四调和直线的方法，从而实现用高等几何方法方便简洁地解决欧氏平面作图问题，对初等几何作图有重要的指导意义。
具体应用如下：
例2、(1)已知线段及其中点，是直线
外一点，求作：过点且平行于的直线。
作法：如图2
①连结并延长，在其上取一点；
②连结交于；
③连结交于；
④连结，则直线为所求作直线。
(2)已知线段，且平行，求作AB的中点。
作法：如图2
①在上任取两点；
②连结交于；
③连结交于；
④连结交于，则为所求作的点。
(3)已知是的内角平分线，求作其外角平分线。
作法：如图3
①用不过的任一直线截分别于；
②在上任取一点；
③连结交于；
④连结交于；
⑤连结交于；
⑥连结，它即为所求作的直线。
(4)已知是的外角平分线，求作其内角平分线。
作法：如图3
①用不过的任一直线截分别于
②过任作一直线交分别于，；
③连结交于；
④连结，它即为所求作的直线。
3.2几何证明问题
3.2.1解决中点、平行问题
已知共线四点、、、, 如果按此顺序的交比, 那么就称、 关于、 成调和共轭, 或称、、、成调和点列。而线段的中点就是这直线上无穷远点关于线段两端点的调和共轭点（参见文[2]）。
例3、已知、、、、是共线五点，且，如果、两点调和分割线段，则是中点。
证明：因为、调和分割线段，故有：，即，把所有线段都以点作原点表达，得,乘出，移项，分解因子得：,把代入此式得：,整理之：（*）。
假设，即，
或，
故有，所以：，与重合，此与、调和分割矛盾，故，从（*）式便知：，所以平分线段。
例4 四边形的对边与交于，与交于，直线平行于四边形的对角线，求证：另一对角线平分线段。（参见文[4]）
证明：如图4所示，设平行线与交于，与交于，视四边形为完全四点形(或四线形)，则为完全四点形的对边三点形的一条边，易得，
即
故P为线段MN的中点，从而对角线平分线段。
由此题的证明过程不难证明其逆命题成立。
逆命题：四边形的对边与交于，与交于，对角线平分线段，求证：直线平行于四边形的对角线。
由以上说明，这一类初等几何问题通过构造四边形，进而把问题转化为完全四点(线)形的问题，然后用其调和性极易得到解决。
3.2.2线共点问题
例5、设、、是完全四点形的三个对顶点，分别交、 于、，证明：、、共点。
证明：如图5，在完全四点形中，根据定理1.12的推论1(参见文[2])知，边上的四个点、、、是一组调和点，即。
又在完全四点形中，设与交于，交于，据定理1.12的推论1（参见文1）知，边上的四点、、、是一组调和点，即。
由于,故,所以、、共点。
该问题是利用完全四点形调和性质解决三线共点问题，还可以解决诸如初等几何中的证明三角形三中线共点，如：
已知：中，分别为的中线，求证共点。
3.2.3点共线问题
用初等几何方法证明“梯形两底中点，两条对角线交点，两腰（所在直线）交点这四点共线”不算太容易，而用射影几何的理论作指导来证明就很简单了。
例6、 已知:是梯形，、是两底、之中点，是对角线与之交点，是两腰、延长线之交点。(图6)，求证:四点、、、共线。
证明:(试想，只要设法证明与、之交点恰恰就是线段、之中点便可)连结，设直线交于，交于。以F为顶点的一组三角形有:
∽，
∽
所以， (1)
又以为顶点的一组三角形有：
∽,∽
所以， (2)
（1）、（2）相乘得：,于是得：,代回（1）又得出：。所以，是之中点， 是之中点，但线段中中点唯一，所以,即、、、四点共线。命题得证。
若以射影几何的理论作指导，此命题的证明就很简单了:
(证法一):用二次曲线的极点与极线的理论作指导。(图7)把两直线与看作一条退化二阶曲线，则交点是奇异点。因梯形两底与平行，故设它们交于无穷远点，、既是线段、之中点，则、就是的共扼点，于是直线是点的极线，必然通过奇异点，所以、、三点共线。
同样，又把直线与看作另一条退化二阶曲线，则交点为奇异点，是的极线，必然通过奇异点，所以、、三点共线。于是四点、、、共线。
(证法二):用完全四线形的调和性质作指导。(图7)设交于、交于，今证、是、之中点。事实上，在由四直线、、、构成的一个完全四线形中，、，是它的三条对顶线。由四线形的调和性质有:,,但,所以是无穷远点，而无穷远点的调和共扼点是线段中点，
所以、是线段、之中点，命题得证。
高等几何中的射影几何是专门研究射影命题(即，只与点线接合性有关的几何命题)的，它有其自身的一整套理论系统和方法，得出了一大批只与点线接合性有关的很好的结论。而初等几何中证明点共线、线共点的间题却是一个难点，因此，初等几何中涉及点共线、线共点的一些命题，若用高等几何作指导，证明可来得较为简单和方便。这也就是为什么师范数学系学生(未来的初中数学教师)为什么要把高等几何作为必修的专业课的理由之一。
例7、已知如图8，，、、为三角形三边上的点，；连接、并延长分别交、于、，连接交、于、，为中点。
求证：、、三点共线。
证明：由Menelaus定理可知，要证、、共线，即证
(*) (参见文[4])
将、、、看作完全四点形的四个顶点，可知，即,也即,
又因，故，可见，（*）式成立，所以、、三点共线。
由该题可得出完全四点形调和性质的一个结论：完全四点形六条边中的三条边(不通过同一顶点的且分属三组对边中的一条)与对边三点形三边所得的交点共线。(参见文[5])
3.2.4平分角度问题
例8、 在四边形中．对角线平分。在上取一点，与相交于，延长交于，求证。（参见文[6]）
证明：如图9，过作的垂线与交于,交于则。连交于，交于。
在完全四点形中，根据调和性质，故，知和重合。
又，且，知与是的内外角平分线，所以
由该例题不难看出，利用完全四点（线）形的调和性解决某些初等几何平分角问题时，主要在于完成两个步骤，一是构造四边形，得四直线调和分割，二是设法建立交错二直线相互垂直关系，由此即可证明平分角结论。
3.2.5线段相等问题
例9 如果三角形中一个角的平分线过对边的中点，那么这个三角形是等腰三角形。如图10，已知在中，平分，且点为线段的中点，求证：为等腰三角形。
证明：有一角的两边与这个角的内外角平分线调和共轭，如图10，可作出的外角平分线，可知。在完全四点形中有，因为点为线段的中点，可知单比，所以单比，故点为无穷远点，即直线与交于无穷远点，从而，所以，而点为线段的中点，所以为等腰三角形。
3.2.6判断两直线垂直
例10、平面内任何两直线垂直的充要条件是这两直线与无穷远直线的交点、调和分割虚圆点（1、i、0）、（1、-i、0）。
证明：充分性： 设 、是平面内任意两条直线, 它们分别交无穷远直线于、两点, 则有：；设为的夹角，则由Laguerre定理得：

即与垂直。
必要性：假设这两条直线，交于，则以为圆心的任意圆必通过两虚圆点、, 且， 为此圆的渐近线； 由知是圆的共扼直线。由于二次曲线的两条渐近线调和分割任意一对共轭直线是真, 所以这两直线和无穷远直线的交点调和分割、两点。
3.3.应用于自极三点形的建立，二次曲线方程的简化
先给出有关定义和定理
定义： 如果两点、的联线被它和的交点，所调和分割, 则称两点和关于二次曲线成共轭点。
如图11：若，则称与关于成共轭点。
定理：不在上的两点、关于：成共轭点的充要条件是：。（参见文[7]）调和分割应用于二次曲线方程的化简, 主要在于建立坐标三点形时, 适当取三点形的三顶点,使它们两两联线交的两交点被它们自已调和分割, 坐标三点形是自极三点形, 然后利用共扼条件, 即可简化方程。
例11：设二阶曲线的方程为：，，试化简之。
解：如图12，在平面上任取一点 （但不在上），以表示关于的极线，在上但不在上任取一点，以表示关于的极线，则通过，设是、的交点，由于的一个共轭点是，一个共轭点是，所以的极线，是的一个自极三点形。
由和关于成共轭，代入共轭条件定理得：；同理和共轭得，和共轭得。
所以这时的方程变化为：
可见：取自极三点形作为坐标三点形, 利用其每两个顶点之间的调和共扼关系, 曲线方程的交差乘积项便可消去, 从而达到简化目的。
4.结束语
以上例题恰当地利用完全四点（线）形的调和性质证明高等初等几何问题，降低了解决问题的难度，命题的证明思路清晰，过程简洁。注重揭示高等几何与初等几何的内在联系，这样可以扩大我们的知识领域，拓宽我们的视野，有助于站在新的高度上，深入地理解初等几何，提高我们驾驭教材的能力。高等几何是较欧氏几何高观点的几何学，欧氏几何是高等几何(射影几何、仿射几何)的子几何。一些在欧氏几何(包括《解析几何》)中不易完整论述或圆满解决的问题，在高等几何中可以清晰完整地论述并圆满解决，这体现了高等几何理论对欧氏几何(包括《解析几何》)的指导意义是高屋建瓴的。
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