空间解析几何-第5章-正交变换与仿射变换.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,第5章 正交变换和放射变换,1,变换,2,平面的正交变换,3,平面的仿射变换,4,二次曲线的度量分类与仿射分类,5,空间的正交变换与仿射变换,1,映射与变换,定义,1.1,设,S,与,S,是两个集合,对,S,中任一元素,a,按某一法,则在,S,中有唯一的元素,a,与之对应,我们称此法则,(,即对应关系,),为,S,到,S,的一个映射。记作,:SS,a a.,或者记作,:a=(a),aS,。,a,称为,a,在映射,下的象,a,称为,a,在,下的一个原象。,集合,S,到,S,的两个映射,和,称为相等,如果对于任意,aS,都有,(a)=(a),。,集合,S,到自身的一个映射叫做,S,的一个变换。,例,1,设,S,是全体自然数集,S=,n|nS,则,(n)=2n,nS,，是,S,到,S,中的一个映射。,(n)=4n,nS,，也是,S,到,S,中的一个映射。,例,2,设,S,是无数个点的集合,A,是,S,的子集,S=,0,，,1,。,则定义为,的法则,是,S,到,S,上的一个映射。,例,3,设,=,法则 定义为,则 是 到自身,的一个变换,此映射,称为恒等变换。,例,4,平面上的平移 设,S,是平面上所有点的集合,取定一个直,角坐标系,给定一个向量,=(),。令点,P(x,y),与,P(x,y),的,对应关系为,则有,(1.1),这是,S,到自身的一个变换,称为由 决定的平移。公式,(1.1),称为平面上的点的平移公式。,注：在形式上平移公式与点的,坐标变换中的移轴公式类似,但是含意却完全不同,:,点的平,移公式中,(x,y),和,(x,y),是不同,的两个点在同一坐标系中的坐标,;,而移轴公式中,(x,y),和,(x,y),是同一个点在两个不同的坐标系中的坐标。,例,5,平面上的旋转,S,是平面上所有点的集合,在平面上取定,一个直角坐标系,O;,令点,P(x,y),和,P(x,y),的对应,关系,为,(1.2),其中，,是一确定的实数,则,是,S,上的一个变换,称,为平面绕原点的旋转,转角为,。,(1.2),称为平面上转角为,的旋转公式。,例,6,平面上的反射。设,l,是平面上一条定直线,平面上任一,点,P,关于,l,的对称点为,P,。这种从,P,点到,P,点的映射,称为平,面上以,l,为轴的反射。若取,l,为,x,轴建立平面直角坐标系,设,P(x,y),P(x,y),则此反射表示为,(1.3),设,:SS,我们用,(S),表示,S,中的点在,下的象的全体,显然有 。,当,(S)=S,时,则称,是满射或到上的。如果在映射,下,S,中不同元素的象也不同,则称,是单射,(,或,1,1,的,),。既是,单射又,是满射的映射称为双射,(,或,1,1,对应）。,定义,1.2,设映射,:SS,:SS,则定义乘积映射,为,对于,S,到,S,的双射,我们可以定义它的逆映射 ：,若,(a)=aS,aS,则定义,显然,易证,1,1,对应的逆映射也是,1,1,对应,1,1,对应的乘积 也是,1,1,对应,映射的乘法满足结合律。,定义,1.3,设,:SS,是一变换,若对,aS,满足,(a)=a,则称,a,是,的不动点,aS|(a)=a,称为,的不动点集。,平面上的平移与旋转的乘积称为平面上的运动,(,即刚体运,动,),它是平面到自身上的,1,1,变换。,例,7,设,是平面上由,=(a,b),决定的平移,是平面上的,转角为,的绕原点的旋转,:P(x,y)P(x,y)P(x,y),则,的公式为：，,则,的公式为：由,此可见,。,平面上点变成点的变换也叫点变换。,一个线性点变换,当它的变换矩阵 的行列式,|A|0,时,称为满秩线,性点变换或非退化线性点变换。往后将看到,正交变换和仿射,变换在代数上均表现为非退化的线性变换。,定义,1.4,设,G=,:SS|,是,S,上的变换,如果,G,满足：,(1),恒等变换,IG;,(2),若 则,(3),若,G,则它的逆变换 。,则称,G,为,S,的一个变换群。,2,平面的正交变换,1.,平面的正交变换,在,1,中我们介绍了平面上的三种点变换,:,平移、旋转和反,射。它们有一个共同的特点,:,保持点之间的距离不变。,定义,2.1,平面上的一个点变换,如果保持点之间的距离不变,则称它是正交,(,点,),变换,(,或等距变换,),。,平面上的运动与反射都是正交变换。,从定义立即得到性质,1,和性质,2,。,性质,1,恒等变换是正交变换。,性质,2,正交变换的乘积是正交变换。,性质,3,正交变换是双射。,证明 设,是正交变换,把不同的两点,P,Q,分别变为,P,和,Q,。,由于,P,Q,不相同,所以,根据,保持距离不变,应有,因此，,P,Q,也是不同的两点,即,为单射。,下证,是满射。即对平面上任何一点,P,都存在,P,，使,(P)=P,。为此,在平面上任取不共线的三点,(i=1,2,3),设,()=(i=1,2,3),。由,是单射并保持距离不变,易知 构成,一个三角形,且,假定,P,到 的距离为,那么必存在一点,P,它到 的距离也,是 。设,(P)=P,则,P,到 的距离也是,因此,P,与,P,重,合,即,(P)=P,。,由性质,3,知道,正交变换的逆变换存在,且逆变换也是正交变,换。因此,由以上三个性质知道,平面上全体正交点变换构成平,面上的一个变换群,称为正交变换群。,性质,4,正交变换把直线变到直线,并保持共线三点,P,Q,R,的,简单比 不变。其中,PR,，,RQ,表示有向线段,的有向长度,(,或代数长,),即若在直线,PQ,上取一单位向量,e ,则,证明 设,P,Q,是直线上不同的两点,那么它们的象,P,Q,也不,相同,于是决定一条直线,l,。对于直线,l,上任一点,R,若,P,Q,R,按此顺序共线,则,|PQ|+|QR|=|PR|.,由正交变换的定义,R,的象,R,与,P,Q,有关系,|PQ|+|QR|=|PR|.,因此,R,与,P,，,Q,共线,即,R,在,l,上,.,由以上两式看出,正交变换保持直线上点的顺序不变,将有,向线段变成有向线段。即若 同向或反向时,则,也同向或反向。由此得,性质,5,正交变换将平行直线变为平行直线，并保持相交直,线的交角不变。请读者自证,.,在平面上，对任一向量,以点,O,为原点，作 。,设正交变换,把,O,，,A,分别变到,O,令 ，则向量,只依赖于 而与,O,点的选取无关，原因是,保持平行性和,保持距离不变。这一事实说明，,诱导出平面上向量的一个,变换，使 变到,这个变换仍记为,，称为正交向量变,换。设 与 是任意两个向量,。显然,即,保持向量的内积不变。根据,保持共线,三点的简单比,我们可从 推出,.,又若,并且,由于,把一个三角形变成一个与之全等的三,角形,又可得到 。简短地说,正交变换保持向量,的线性关系 不变。于是有,性质,6,正交变换保持向量的内积不变,保持向量的线性关,系不变。,2.,正交变换的坐标表示和基本定理,取平面直角坐标系,设正交变换,将点,P(x,y),变换,到,P(x,y),则,下面来求,x,y,与,x,y,之间的关系。,根据性质,6,可知,把直角坐标系 变到直角坐标,系,并且,即,P,在直角坐标系,下的坐标与,P,在直角坐标系 下的坐标一,致。,设,因为 是直角坐标系,所以过渡矩阵 是正,交矩阵。,于是得出正交变换的坐标表示,(2.2),其中,A=(),是正交矩阵。,用矩阵形式表示，则（,2,2,）可写成,设 由性质,6,得,我们容易得到 之间的关系,（,2,4,）,考虑正交矩阵,A,的条件：,我们可设,将他们代入条件中的第三式得,因此,即,即,(2,3),可写成,(2.5),或,(2.6),(2.5),表示平面上的运动,(2.6),表示平面上的反射,的乘积,.,由此得到,定理,2.1(,正交变换第一基本定理,),正交变换或者是运动,或,者是一个反射与一运动的乘积。有时前者称为第一类正交,变换,后者称为第二类正交变换。,定理,2.2(,正交变换第二基本定理,),正交变换把直角坐标,系变到新的直角坐标系,并使每一点,P,在原系下的坐标与它的,象,P,关于新系下的坐标相同。反之,具有这种性质,的变换是,正交变换。,3,平面的仿射变换,比正交变换较为广泛的一种点变换就是本节将要讨论的,仿射变换。在这里为了简单起见,不同于前节用几何特征来定,义正交变换,我们直接用变换公式给出仿射变换的定义，并用,这公式研究仿射变换的一些性质。,1.,仿射变换的定义和例子,定义,3.1,平面的一个点变换,，如果它在一个仿射坐标系,中的公式为,(3.1),其中系数矩阵,A=,是可逆的,即,|A|0,，则称,是平面的仿,射,(,点,),变换。,此定义与仿射坐标系的选取无关。,例,3.12,中用公式,(2.5),(2.6),确定的正交变换是仿射变换。,例,3.2,伸长或压缩,(,简称伸缩,),是仿射变换。,x,轴上的每一点是它的不动点,平行于,y,轴的,直线都是它的不动直线,(,不动直线上的点不一定是不动点,);,它,是平行于,y,轴方向的伸长,(k1),或压缩,(k0,则称,是第一类,的,;,若,|A|0,则称,是第二类的。,定理,3.4,平面上的任何一个仿射变换可分解为一,个正交变换与一个沿两个互相垂直方向伸缩的乘,积。,证明 任取一直角坐标系,由,(3.1),给出的仿射变换,把单位圆 变为一个椭圆,(,图,5.3),设它,的中心为,O,而 是两条互相垂直的对称,轴,(,或主轴,),记向量,将它们单位化,我们有仿射坐标系 与直角坐标系 。,又设在,下,的原象为,即,由于椭圆的两条对称轴是互相共,轭的,即每一条对称轴的平行弦中点轨迹沿着另一条,的方向,而仿射变换,保持共轭性不变,(,参见下一节,),因此 与 也是单位圆上两个互相垂直的半径向量,故 为一直角坐标系。利用推论,3.1,，有,正交变换,:,伸缩变换,:,因此,:,故,=,即,分解为正交变换,与伸缩,的乘,积。,4,二次曲线的度量分类与仿射分类,在,1872,年,德国数学家,F.Klein,提出了按变换群给各种几何学科进行分类的思想,对几何学的研究有很大的影响。对这一思想,我们将作一简单的介绍。以平面上二次曲线为研究对象,说明它在度量几何学,(,欧几里得几何学,),与仿射几何学中各是怎样分类的。,1.,变换群与几何学科分类,由,2,和,3,中我们知道,平面上所有正交变换的集合构成,平面上的一个变换群,称之为平面上的正交群,;,平面上所有仿,射变换的集合也构成平面上的一个变换群,称之为仿射群,.,如果变换群,G,中的一个子集,H,也构成一个变换群,则称,H,为,G,的子变换群。由于正交变换也是仿射变换,所以正交群是仿射,群的子变换群。,另外,平面上绕原点的旋转变换的全体也构成群,称为平面上,的旋转群,平面上的刚体运动的全体也构成群,称为平面上的,运动群。以上变换群的关系为,旋转群 运动群 正交群 仿射群。,定义,4.1,几何图形在正交变换下的不变性质,(,或几何量,),称为图形的,度量性质,(,或,正交不变量,),研究这些性质的几何,学称为,度量几何学,(,即,欧几里得几何学,);,几何图形在仿射变,换下的不变性质,(,或几何量,),称为图形的,仿射性质,(,或,仿射不,变量,),研究仿射性质的几何学称为,仿射几何学,。,由于正交群是仿射群的子变换群,所以仿射性质,(,仿射,不变量,),也是度量性质,(,正交不变量,),。但是反之,度量性质不,一定是仿射性质。仿射性质有共线、平行、相交、中心对,称等。度量性质有垂直、轴对称等。仿射不变量有共线三,点的简单比,代数曲线的次数等。正交不变量有两点间的距,离、两向量的夹角、图形的面积以及二次曲线的,等。,一般而言,仿射变换可以改变两点之间的距离、,两直线间的夹角,因此，关于距离、角度等的性质和,不变量就不是仿射性质和仿射不变量。,二次曲线直径的共轭性是仿射性质,理由如下,:,首先在仿射变换,下,二次曲线,C,的弦变成二次,曲线,C,的弦,C,的平行弦变成,C,的平行弦,;C,的,弦的,中点变成,C,的弦的中点,所以如果,l,是,C,的直径,则,(,)=,是,C,的直径。,设 是,C,的一对共轭直径,(,此时假设,C,是中心曲,线,),的方向为 。由于 的方向共轭于,的方向,所以有,设,则有,其中,B,是仿射变换,的系数矩阵。,于是,其中，是,(C)=C,的二次项,(x,y),的矩阵,即,故 是,C,的一对共轭直径。,2.,二次曲线的度量分类,经过平面上的一个正交变换或仿射变换,平面上的,一个图形变成另一图形,它们之间有什么样的关系呢,?,为此给出如下定义。,定义,4.2,如果有一个平面的正交变换把 变到,那么平面上的图形 称为,正交等价的,(,或,度量,等价的,),记为,。,如果有一个平面的仿射变换将 变到 ，那么平,面上的图形 和 称为,仿,射等价的,也记为 。,在此,图形看作由点组成的集合,所谓一变换把图形,变到,就是指这个变换引起集合 到 的一个双,射。,由于正交变换包含了刚体运动和反射,因此所谓两,个图形是正交等价的就是两个图形可以重合的意思。,不论是正交等价还是仿射等价都是图形间的一种,“关系”。由于正交变换的全体构成一个变换群,所以,作为一个“关系”来讲具有如下三个性质,:,i,反身性,即 ,;,ii,对称性,若 ,则 ,;,iii,传递性,若 ,则 。,仿射等价这种“关系”也具有以上三个性质。具有以上,三个性质的“关系”称为等价关系。于是正交等价和仿射等价,的关系都是等价关系。,从每一图形,C,出发,考虑所有与,C,正交等价的图形,就得到,图形的一个集合，称为,C,的正交等价类，记为,C,。由于,C,中任意两个图形都与,C,正交等价,根据对性和传递性,所,以它们也正交等价。这样,由正交等价的关系我们就把平面上,的图形分成了一些正交等价类，每一类中任意两个图形都正,交等价，而不同类中的图形都不正交等价。同样,根据仿射等,价的关系,把平面上的图形分成一些仿射等价类。由正交群,仿射群，从而每个,正交等价类都包含在某一个仿射等价类中,作为它的一部分。,前一章中,我们用直角坐标变换,将二次曲线的方,程化简为九类。由于直角坐标变换和正交点变换的,公式在形式上是一致的,所以可以把直角坐标变换理,解为正交变换,在一个正交等价类中找出方程最简单,的曲线作为此正交等价类的代表。因此,可以将关于,二次曲线分类定理改,述为关于二次曲线度量分类的,定理。,定理,4.1,在直角坐标系中任意二次曲线度量,(,正交,),等价于,下列曲线之一,:,其中，,a,b,p,均为正数。,这九种曲线彼此不度量等价,且同一种方程表示的曲线,当系数不同时,它们也彼此不度量等价,。因此,二次曲线共有,无穷多个度量等价类。,3.,二次曲线的仿射分类,定理,4.2,在仿射坐标系中，任意二次曲线仿射等,价于下列曲线之一：,将定理,4.1,中的九种方程用仿射变换进一步简化就,得到定理,4.2,。,前五种方程作变换,对 作变换,对,这九种曲线彼此不仿射等价,但任一条二次曲线可,以仿射等价于其中之一。因此,二次曲线的,仿射等价,类共有九个。,例,4.1,证明,:,椭圆的任意一对共轭直径把椭圆的内部分成,四块面积相等的部分。,证明,任给一个椭圆,C,任取它的一对共轭直径 和 。由,定理,4.2,知,椭圆,C,与单位圆 在同一个仿射类,中,所以存在仿射变换,把,C,变到 。由于直径的共轭性是仿,射不变的，因此，,把,变成 的一对共轭直径 和 。,设,C,的内部被 和 分成的四块是,(i=1,2,3,4),的内,部被 和 分成的相应四块是,(i=1,2,3,4),则显然有,(i=1,2,3,4),。因为圆 的共轭直径互相垂直,所,以,(i=1,2,3,4),的面积彼此相等。由 与 的面积之比,等于,的变积系数,(i=1,2,3,4),所以,(i=1,2,3,4),的面积也彼此相等。,5,空间的正交变换与仿射变换,与平面的情形一样,可以讨论空间的刚体运动、正交变换与仿射变换。由于证明的,方法是类似的,所以对于某些结论不加以证明。,1.,空间的正交变换,定义,5.1,空间的一个点变换,如果保持点之间的距离不变,称之为正交,(,点,),变换,(,或等距变换,),。,例,5.1,空间中取定一点,O,取定一向量,对于任意一点,P,规定它在映射,下的像,P,满足,则称,是沿方向 的平移。易见平移保持点之间的距离不变,因此,平移是正交变换。,例,5.2,空间中所有点绕一定直线的旋转是正交变换。,例,5.3,取定一平面,设映射,把空间中每一个点对应到它,关于平面,的对称,点,则,称为关于平面,的镜面反射,简称,反射,镜面反射是正交变换。,空间的正交变换的性质有,:,性质,1,恒等变换是正交变换。,性质,2,正交变换的乘积是正交变换。,性质,3,正交变换是双射,正交变换的逆变换是正交变换。,由以上三个性质得,空间的正交变换的全体组成的集合是空,间的一个变换群,称为空间的,正交变换群,简称为,正交群,。由,正交点变换诱导的正交向量变换有如下性质,:,性质,4,正交变换保持向量的内积不变,保持向量的线性关系,不变。,由性质,4,很容易得到,性质,5,正交变换将直线变成直线,并保持共线三点的简单比,不变。,性质,6,正交变换将平面变成平面，将相交平面变成相交平,面，将平行平面变成平行平面。,定理,5.1,正交变换,将直角标架,变成直角标架,且使,任一点,P,的,坐标等于,(P),的,坐标。反之,具有此性质的点,变换一定是正交变换。,定理,5.2,空间的正交,(,点,),变换,在一直角坐标系中的公式,为,(5.3),其中，是正交矩阵。,反之,如果空间的一个点变换,在一个直角坐标系中的公式,为,(5.3),且系数矩阵 是正交矩阵,则,是正交,(,点,),变,换。,定义,5.2,空间的正交变换,若它在直角坐标系中的公式的,系数矩阵,A,的行列式,|A|=+1,则称,是第一类的；若,|A|=-1,则,称,是第二类的。,设,是例,5.2,中转角为,的旋转。以,l,为,z,轴建立直角坐标系,=,把,变成直角坐标系,=,则有,因此从,到,的坐标变换公式为,空间中任取一点,P,设,P,的,坐标为,(x,y,z),(P)=P,的,坐,标为,(x,y,z),。由定理,5.1,P,的,坐标为,(x,y,z),。对,P,应,用公式,(5.4),得,现在把公式,(5.5),的右端的,(x,y,z),理解为,P,的,坐标,则,(5.5),就是旋转,在直角坐标系,中的公式。易见,是第一类的。,设,是例,5.3,中的反射,以,为,xOy,面建立一直角坐标系,则,的公式为,易知反射是第二类的。,2025/1/24 周五,55,命题,5.1,若,是第一类正交变换,且保持原点不动,则,必,定是绕过原点的某一条定直线的旋转。,命题,5.2,若,是第二类正交变换,且保持原点不动,则,必,是一个镜面反射,或是一个镜面反射与一个绕定直线的旋转的,乘积。,以上证明略。,空间的,(,刚体,),运动是平移，或绕定直线的旋转，或它们的,乘积。,于是由以上两个命题得,定理,5.3,空间的正交变换或者是运动，或者是一个运动与,一个镜面反射的乘积。,2.,空间的仿射变换,定义,5.3,空间的一个点变换,如果,在一个仿射,坐标系中的公式为,其中系数矩阵,A,是可逆的,则称,是空间的,仿射,点变换,。,此定义与仿射坐标系的选择无关。,空间的仿射变换的性质有,:,(1),恒等变换是仿射变换,;,(2),两个仿射变换的乘积仍然是仿射变换,;,(3),仿射变换是双射,它的逆变换是仿射变换,;,(4),仿射点变换诱导的仿射向量变换保持向量的线性关系不变；,(5),仿射变换把直线变成直线,且保持共线三点的简单比不变,;,(6),仿射变换把平面变成平面，相交平面变成相交平面，平行平面变成平行平面。,由性质,(1),、,(2),、,(3),知道,空间的仿射变换的全体组成的集,合是空间的一个变换群,称为,仿射变换群,简称仿射群,。,定理,5.4,仿射变换,将一个仿射标架,变成仿射,标架,且任一点,P,的,坐标等于,(P)=P,的,坐,标。反之,具有此性质的空间的点变换是仿射变换。,定理,5.5,空间的任何一个仿射变换可分解为一个,正交变换与一个沿三个互相垂直方向伸缩的乘积。,定理,5.6,设仿射变换,由公式,(5.7),给出,则,按,同一比值,(|A|,的绝对值,),改变任意空间区域的体积。,其证明思路与定理,3.3,的证明一样,只要将三角形的,面积改成平行六面体的体积。,3.,二次曲面的度量分类与仿射分类,在第四章中,我们用直角坐标变换将二次曲面的,一般方程化简，得到,17,种曲面的结论。由于直角,坐标变换公式和正交变换公式的形式是一样的,所以,我们可以将二次曲面分类定理改述为,二次曲面的度,量分类定理。,定理,5.7,在直角坐标系中任意二次曲面度量等价,于下列曲面之一,:,其中，,a,b,c,p,均为正数。这,17,种二次曲面彼此不度,量等价,且同一种方程表示的曲面如果系,数有不同时,它们也不度量等价。因此,二次曲面共有无穷多个度,量等价类。,在定理,5.7,的各方程中,再进行一适当的仿射变换，,就可得到二次曲面的仿射分类定理。,定理,5.8,二次曲面仿射等价于下列曲面之一,:,