第三章 轴向拉压变形.doc

第三章 轴向拉压变形

题号 页码
3-2 .........................................................................................................................................................1
3-4 .........................................................................................................................................................2
3-5 .........................................................................................................................................................2
3-7 .........................................................................................................................................................3
3-8 .........................................................................................................................................................5
3-10 .......................................................................................................................................................6
3-11 .......................................................................................................................................................7
3-13 .......................................................................................................................................................8
3-15 .....................................................................................................................................................10
3-16 .....................................................................................................................................................10
3-18 ..................................................................................................................................................... 11
3-19 .....................................................................................................................................................13
3-20 .....................................................................................................................................................14
3-24 .....................................................................................................................................................15
3-25 .....................................................................................................................................................16
3-27 .....................................................................................................................................................17
3-28 .....................................................................................................................................................18
3-29 .....................................................................................................................................................20
3-30 .....................................................................................................................................................21
3-32 .....................................................................................................................................................22
（也可通过左侧的题号书签直接查找题目与解）

3-2 一外径 D=60mm、内径 d=20mm 的空心圆截面杆，杆长 l = 400mm，两端承受 轴向拉力 F = 200kN 作用。若弹性模量 E = 80GPa，泊松比 µ =0.30。试计算该杆外径的改变 量 ∆D 及体积改变量 ∆V 。
解：1.计算 ∆D
由于

3

ε = F
，ε ′ = ∆ D = −µε = − µF

3
EA D EA
故有

∆ D = ε ′D = − µFD = −
4µFD
= − 4 × 0.30 × 200 ×10
× 0.060 m

EA Eπ (D 2 − d 2 )
80 ×109 ×π × (0.0602 − 0.0202）

= −1.79 ×10−5 m = －0.0179mm
2.计算 ∆V
由于变形后该杆的体积为
V ′ = l′A′ = (l + εl ) π [(D +ε ′D)2 − (d +ε ′d )2 ] = Al(1 +ε )(1 +ε ′)2 ≈ V (1 +ε
4


+ 2ε ′)

故有

3
∆V = V ′ − V = V (ε + 2ε ′) = Fl (1 − 2 µ) = 200 ×10
× 0.400 m 3 (1 − 2 × 0.3)

E
= 4.00 ×10 −7 m 3 = 400mm3
80 ×109

3-4 图示螺栓，拧紧时产生 ∆ l =0.10mm 的轴向变形。试求预紧力 F，并校核螺栓的 强度。已知：d1 = 8.0mm，d2 = 6.8mm，d3 = 7.0mm；l1=6.0mm，l2=29mm，l3=8mm；E = 210GPa，
[ σ ]=500MPa。

解：1.求预紧力 F
由于各段轴力数值上均等于 F ，故有
题 3-4 图

∆l = F ( l1


+ l2

d
1
πE
+ l3 ) = 4F ( l1

+ l2

+ l3 )

由此得
E A1 A2 A3
2 2 2
d
d
2 3

F = πE∆l

9
= π × 210 ×10

× 0.10 ×10 −3


N = 1.865 ×10 4 N = 18.65kN

d
2
4( l1
1
+ l2
2
d
d
2
+ l3
)
2
3
4 × ( 0.006
0.0082
+ 0.029
0.00682
+ 0.008 )
0.007 2

2.校核螺栓的强度

σ = F

2
= 4F

3
= 4 ×18.65 ×10

N = 5.14 ×108 Pa = 514MPa

max
Amin
πd 2
π × 0.00682 m 2

此值虽然超过[σ ] ，但超过的百分数仅为 2.6％，在 5％以内，故仍符合强度要求。

3-5 图示桁架，在节点 A 处承受载荷 F 作用。从试验中测得杆 1 与杆 2 的纵向正应

1
-4
变分别为ε = 4.0×10-4
与ε2 = 2.0×10
。试确定载荷 F 及其方位角θ 之值。已知杆 1 与杆 2 的

横截面面积 A1= A2=200mm2，弹性模量 E1= E2=200GPa。

解：1.求各杆轴力
题 3-5 图

F = E ε A

= 200 ×109 × 4.0 ×10 −4 × 200 ×10 −6 N = 1.6 ×10 4 N = 16kN

N1 1 1 1

FN2
= E2 ε2 A2
= 200 ×109 × 2.0 ×10 −4 × 200 ×10 −6 N = 8 ×103 N = 8kN

2.确定 F 及 θ 之值
由节点 A 的平衡方程 ∑ Fx = 0 和 ∑ Fy = 0 可得

o
o
FN2 sin30
+ Fsinθ − FN1sin30 = 0
(a)

o
o
FN1cos30
+ FN2 cos30
− Fcosθ = 0
(b)

化简后，成为


FN1 − FN2 = 2Fsinθ


(c)

及

联解方程(c)与(d)，得


3(FN1 + FN2 ) = 2Fcosθ


（d）

tanθ =

FN1 − FN2

3
= (16 − 8) ×10

= 0.1925

由此得
3(FN1
+ FN2 )
3(16 + 8) ×103

θ = 10.89o ≈ 10.9o

3
F = FN1 − FN2
2sinθ
= (16 − 8) ×10
2sin10.89o

N = 2.12 ×10 4 N = 21.2kN

3-7 图示为打入土中的混凝土地桩，顶端承受载荷 F，并由作用于地桩的摩擦力所支 持。设沿地桩单位长度的摩擦力为 f，且 f = ky2，式中，k 为常数。试求地桩的缩短量δ 。已
知地桩的横截面面积为 A，弹性模量为 E，埋入土中的长度为 l。

23

解：1.求总摩擦力 Fy
题 3-7 图

F = ∫
l kl 3
fdy = ∫ ky 2 dy =

2.确定 k

根据 Fy = F ，得
y l 0 3

kl 3 3F
= F → k =
3 l 3
（a）

3.求 y 处的轴力 FN

y y ky 3
F = ∫ fdy ∗ = ∫ ky ∗2 dy ∗ =

N

4.求 δ
y处dy 微段的缩短量为

积分可得
0 0 3

dδ = FN dy
EA

l F dy
δ = ∫ N =
k l
∫ y 3 dy =
kl 4
（b）

将式(a）代入式(b)，最后得
0 EA
3EA 0
12EA

δ = Fl
4EA

3-8 长度为 l = 180mm 的铸铁杆，以角速度ω 绕 O1O2 轴等速旋转。若铸铁密度 ρ =7.54

×103kg/m3，许用应力[ σ ]= 40MPa，弹性模量 E = 160GPa，试根据杆的强度确定轴的许用转 速，并计算杆的相应伸长。

解：1.求轴的许用转速 n
题 3-8 图

2
离轴为 x 处的 dx 微段质量的离心惯性力为

2
dF = (µAdx) ⋅ω2 x

x 处杆截面的轴力为

F ( x) = ∫
l / 2
ρAω2 x∗dx∗ = ρAω ( l

− x 2 )

(a)

N x 2 4

最大轴力在轴线处（ x = 0 ），其值为

FN, max =


ρAω2l 2
8

由强度要求

F
σ = N,max
= ρω
2l 2
≤ [ ]

max A 8 σ
可得

ω ≤ 8[σ ] =
8 × 40 ×106

= 1144.5

1/ sec

ρl 2
7.54 ×103 × 0.1802 sec2

计算中用到1N = 1kg ⋅ m/sec2 。

相应之许用转速为

n = 60 ω = 60 ×1144.5r = 10929


r/min

2π
2.计算杆的总伸长量
由式(a)可得
2π min

2
2
ε ( x) = FN ( x) = ρω ( l

− x 2 )

从而有
EA 2E 4

l
∆ l = 2∫
/ 2 l / 2
ε ( x)dx = 2∫
ρω 2 l 2
[

− x 2 ]dx

3
0 0 2E 4

= ρω
2l 3
= 7.54 ×10
×1144.52
× 0.1803
m

12E
12 ×160 ×109

= 3.00 ×10 −5 m = 0.030mm

计算中再次用到1N = 1kg ⋅ m/sec2 。

3-10 图 3-10a 所示涡轮叶片，当涡轮等速旋转时承受离心力作用。设叶冠 A 的重量 为 W，涡轮的角速度为ω ，叶片材料的弹性模量为 E，密度为 ρ ，许用应力为[ σ ]。试按各 横截面的正应力均等于许用应力的原则，确定叶片 x 截面处的横截面面积 A(x)，并计算叶片 的轴向变形。与叶片的离心力相比，叶片的重量很小，可以忽略不计。

解：当各横截面上的正应力均等于许用应力[σ ] 时，叶片微段 dx 的受力情况如图 3-10(b)

所示。由 x 方向力的平衡方程

[σ ]( A + dA) + ( ρAdx)ω2 x − [σ ]A = 0

得

dA ρω 2 xdx
= −
A [σ ]

等号两边积分，得

lnA = − ρω
2 x 2

+ lnC

2[σ ]

或写成


A( x) = Ce−


ρω 2 x 2
2[σ ]


(a)

确定 C 的边界条件（坐标 x 以盘心为原点）是：


Wω2 R

当 x = R 时，A( x) = A(R ) = 0
(b)

0

将式(b)代入式(a)，得
0 g[σ ]

2 2

将式(c)代入式(a)，最后得到
Wω2 R
C = 0 e
g[σ ]

Wω2 R

A( x) = 0 e
g[σ ]
ρω R0
2[σ ]

0
ρω 2 ( R2 − x2 )
2[σ ]

(c)

3-11 图示刚性横梁 AB，由钢丝绳并经无摩擦滑轮所支持。设钢丝绳的轴向刚度（即 产生单位轴向变形所需之力）为 k，试求当载荷 F 作用时端点 B 的铅垂位移。

题 3-11 图
解：力 F 作用后刚性梁 AB 倾斜如图(见图 3-11)。设钢丝绳中的轴力为 FN ，它的总伸 长为 ∆l 。

由刚性梁所受各力对点 A 的力矩平衡条件可得

FN a + FN (a + b) = F (2a + b)

FN = F

由图示的几何关系易得

∆y = θ (2a + b)

由此可见，有
∆ l = ∆
y
y
1
+∆
2
= θa +θ (a + b) = θ (2a + b)

根据 k 的定义，有
∆y = ∆l
(b)

FN = k∆l = k∆y

即
∆ = FN = F
y k k
3-13 图示桁架 ABC，在节点 B 承受集中载荷 F 作用。杆 1 与杆 2 的弹性模量均为
E，横截面面积分别为 A1=320mm2 与 A2 =2 580mm2。试问在节点 B 和 C 的位置保持不变的条 件下，为使节点 B 的铅垂位移最小，θ 应取何值（即确定节点 A 的最佳位置）。

解：1.求各杆轴力 由图 3-13(a)可得
题 3-13 图

FN1 =
F
sinθ
，FN2

= Fctanθ

2.求变形和位移
由图 3-13(b)可得

∆l1

及


= FN1l1
EA1


= 2Fl2
EA1sin2θ


，∆l ＝ FN2 l2
2
2 EA


= Fl2 ctanθ
EA2

3.求 θ 的最佳值

∆By
= ∆l1
sinθ
+ ∆l2
tanθ
= Fl2 (
E
2
A1sin2θsinθ
ctan 2θ
+ )
A2

2
由 d∆By / dθ = 0 ，得

2
− 2 (2cos2θ sinθ + cosθ sin2θ ) 2ctanθ ⋅ csc2θ
− = 0

或化成
A1 sin
2θ sin2θ A

2cos
2 θ − sin
2
2
θ + 2cosθ = 0

再化简为
A1cos θ A2

2 A cos 3θ − A (1 − 3cos 2 θ ) = 0
1 2

将 A1、A2 的已知数据代入并化简，得

cos 3θ + 12.09375cos 2 θ − 4.03125 = 0

解此三次方程，舍去增根，得

由此得 θ 的最佳值为

cosθ = 0.564967

θ = 55.6o

3-15 图示杆件，长为 l，横截面面积为 A，材料密度为 ρ ，应力-应变关系如图 3-14

图 b 所示。试求杆下端截面 C 的位移。

题 3-15 图

解：自杆的下端截面 C 向上取坐标 y ，在 y 处的轴力为

FN = ρgAy

根据

σ = FN ，ε
A


= d∆ y
dy

及
σ n = Bε
可得

d∆ ρgAy
n
B( y ) = ( )n
dy A

由此得

d∆ y
= ( ρg )
B

y n dy

等号两边积分，最后得到该杆下端截面 C 的位移为

n
∆ ( ρg )

l
y n dy

( ρg )n

l n+1


(↓)

Cy =
B ∫0
=
(n + 1)B

3-16 图示结构，梁 BD 为刚体，杆 1、杆 2 与杆 3 的横截面面积与材料均相同。在 梁的中点 C 承受集中载荷 F 作用。试计算该点的水平与铅垂位移。已知载荷 F = 20kN，各杆
的横截面面积均为 A=100mm2，弹性模量 E = 200GPa，梁长 l = 1 000mm。

解：1.求各杆轴力
题 3-16 图

由 ∑ Fx = 0 ，得

FN2 = 0

由 ∑ Fy
= 0 ，得

2．求各杆变形

FN1

F
= FN3 =
2

= 10kN

∆l2 = 0

FN1l
10 ×103
×1.000 - 4

∆ l1 =
= m = 5.0 ×10
EA 200 ×109 ×100 ×10− 6
m = 0.50mm = ∆ l3

3．求中点 C 的位移 由图 3-16 易知，

∆x = ∆l1 = 0.50mm (→) ，∆y
= ∆l1 = 0.50mm (↓)

3-18 如图所示桁架，试用能量法求载荷作用点沿载荷作用方向的位移。设各杆各截 面的拉压刚度均为 EA。

2
题 3-18 图
(a)解：各杆编号示如图 3-18(a)。各杆轴力依次为

F = 2 F，F
= − 2 F，F
= 1 F

N1 2
该桁架的应变能为
N2 2
N3 2

3
Vε = ∑
2
F l
Ni i =
1 ( 1 F 2 ⋅
2 l × 2 + 1 F 2 l ) =
F l ( 2
2 + 1)

i =1
2EA
2EA 2 2 4
2EA 4

依据

最后得到


W = 1 F∆，W = V
2 ε

2
∆ = 2 ⋅ F
l ( 2
2 + 1) = (2
2 + 1)Fl

(→)

F 2EA 4
4EA

(b)解：各杆编号示如图(b)


列表计算如下：

i
FNi
li
F 2 l
Ni i
1
F
l
F 2 l
2
0
l
0
3
F
l
F 2 l

4
F
l
F 2 l
5
− 2F
2l
2 2F 2 l
∑

(3 + 2 2 )F 2 l
于是，

5 2 2

V = ∑ FNi li
= (3 + 2
2 )F l

ε
i =1
依据
2EA
2EA

W = 1 F∆，W = V

2
可得

∆ = (3 + 2


2 )Fl
ε

(→)

EA

3-19 试用能量法解题 3-17。

题 3-17 图
解：依据题 3-17 图，可列表计算如下：

i
FNi
li
F 2 l
Ni i
1
2F / 2
l
F 2 l / 2
2
2F / 2
l
F 2 l / 2
3
2F / 2
l
F 2 l / 2
4
2F / 2
l
F 2 l / 2
5
− F
2l
2F 2 l
∑

(2 + 2 )F 2 l
由表中结果可得

Vε =

依据
5
∑
i =1
2
F l
Ni i
2EA
= (2 +
2 )F 2 l
2EA

W = 1 F∆
2 B / C
及

W = Vε

得

∆B / C
= (2 +
2 )Fl
EA
(←→)

3-20 试用能量法解题 3-6。

题 3-6 图

解：1.求σ ( x)

由题 3-6 图可知，若自左向右取坐标 x ，则有

x 截面上有应力
b( x) = b1
+ b2 − b1 x l

2．求Vε

σ ( x) =
F
δb( x)

=
δ (b1 +
F
1
0
b2 − b1 x)
l

2
v ( x) = σ
2 ( x)

ε 2E

V = v
l 1
( x)δb( x)dx =
F dx＝
F 2l
ln(b + b2 − b1 x) |l

ε ∫l ε
∫0 2E δ (b + b2 − b1 x)
2Eδ (b2 − b1 ) l

1 l

3．求 ∆l
由
F 2l
=
2Eδ (b2 − b1 )
ln b2
b1

W = F∆ l = V

得

∆ l =
2

Fl
Eδ (b2 − b1 )
ε

ln b2
b1

3-24 图示桁架，各杆各截面的拉压刚度相同。试计算在载荷 F 作用时各杆的轴力。

(a)解：此为一度静不定桁架。
题 3-24 图

设 FN ,AB 以压为正，其余各段轴力以拉力为正。先取杆 AB 为研究对象，由 ∑ Fy
得

FN ,BC + FN ,AB = F

= 0 ，

(a)

后取节点 A 为研究对象，由 ∑ Fx = 0 和 ∑ Fy = 0 依次得到

FN ,AD = FN ,AG
(b)

及

o
2FN ,AD cos45


= FN ,AB


(c)

在节点 A 处有变形协调关系（节点 A 铅垂向下）

∆l AD

物理关系为
∆lBC − ∆l AB =
=
cos45o
2∆l AD
(d)

∆lBC
= FN ,BC l
EA
，∆l AB
= FN ,AB l
EA
，∆l AD =
FN ,AD 2l
EA

= ∆l AG

(e)

将式(e)代入式(d)，化简后得

FN ,BC − FN ,AB = 2FN ,AD


(d)′

联解方程 (a)、(c) 和 (d)′ ，得

FN ,BC =
2 2 −
F （拉）， FN ,AB =
2 2
2
F （压）， FN ,AD = FN ,AG =
2 −1
2
F （拉）

(b)解：此为一度静不定问题。

考虑小轮 A 的平衡，由 ∑ Fy

= 0 ，得

o
FN1sin45
− F = 0

由此得


FN1 = 2F

在 F 作用下，小轮 A 沿刚性墙面向下有一微小位移，在小变形条件下， ∆l2 ≈ 0 ，故有

FN 2 = 0

FN1 的水平分量由刚性墙面提供的约束反力来平衡。

3-25 图示桁架，杆 1、杆 2 与杆 3 分别用铸铁、铜和钢制成，许用应力分别为
[ σ 1 ]=40MPa，[ σ 2 ]=60MPa，[ σ 3 ]=120MPa，弹性模量分别为 E1=160GPa，E2=100GPa，

E3=200GPa。若载荷 F=160kN，A1= A2= 2A3，试确定各杆的横截面面积。

题 3-25 图
解：此为一度静不定结构。节点 C 处的受力图和变形图分别示如图 3-25(a)和(b)。

静力学方面

由图(a)可得


F = 0，F


= 3 F


(a)

∑ x N1

1
2 N2

几何方面
∑ Fy = 0， 2 FN2 + FN3 = F
(b)

由图(b)得变形协调方程为

物理方面 根据胡克定律，有


∆l1ctan30o +


∆l2
sin30o


= ∆l3


(c)

∆l1
= FN1l1
E1 A1
= FN1l1
2E1 A3
，∆l2
= FN2 l2 =
E2 A2
FN2 l1
3E2 A3
，∆l3
= FN3 l3 =
E3 A3
FN3 l1
3E3 A3

(d)

将式(d)代入式(c)，化简后得

15FN1 + 32FN2 = 8FN3


(c)′

联解方程(a)、(b)和 (c)′ ，并代入数据，得

FN1 = 22.6kN (压)， FN2 = 26.1kN （拉）， FN3 = 146.9kN （拉）
2
根据强度要求，计算各杆横截面面积如下：

FN1
22.6 ×103

−4 2 2

A1 ≥ =
[σ1 ]
m
2
40 ×106
= 5.65 ×10
m = 565mm

FN2
26.1×103

−4 2 2

A2 ≥ =
[σ 2 ]
m
2
60 ×106
= 4.35 ×10
m = 435mm

FN3
146.9 ×103

−3 2 2

A3 ≥ =
[σ 3 ]
根据题意要求，最后取
m
120 ×106
= 1.224 ×10
m = 1224mm

2
B
A1 = A2 = 2 A3 ≥ 2450mm

3-27 图示两端固定的等截面杆 AB，杆长为 l。在非均匀加热的条件下，距 A 端 x

处的温度增量为 ∆T = ∆TB
x 2 / l 2 ，式中的 ∆T
为杆件 B 端的温度增量。试求杆件横截面上的应

力。材料的弹性模量与线膨胀系数分别为 E 与α l 。

解：1.求温度增高引起的杆件伸长
题 3-27 图

此为一度静不定问题。假如将 B 端约束解除掉，则在 x 处的杆微段 dx 就会因温升而有一 个微伸长

d(∆l

2
) = α ∆Tdx = αl ∆TB x dx

全杆伸长为
t l l 2

l α ∆T x 2
∆l = ∫ l B
dx = αl ∆TB l

2．求约束反力
t 0 l 2 3

设固定端因阻止伸长而产生的约束反力为 F ，杆件因 F 作用而引起的缩短量为

由变形协调条件

∆l F
= FN l = Fl
EA EA

∆lF
= ∆lt

可得

F = EA ⋅ αl ∆TB l = EAαl ∆TB

3．求杆件横截面上的应力
l

σ = FN
A
3 3

= F = Eαl ∆TB
A 3

3-28 图示桁架，杆 BC 的实际长度比设计尺寸稍短，误差为∆ 。如使杆端 B 与节点
G 强制地连接在