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第2章 最佳接收机概述
接收机有很多种.“最佳”是个相对概念，不同条件、不同要求下的最佳接收机是不同的。如白噪声信道的最佳接收机在瑞利衰落信道中就不是最佳的。本章讨论高斯白噪声信道中二元数字信号的最佳接收机。在高斯白噪声下，用匹配滤波器构成的接收机能得到最小的误码率。本章主要介绍匹配滤波器的原理和最佳接收机的结构。
2.1 最佳接收机的结构
二元数字信号的最佳接收机框图如图2-1所示。
的匹配滤波器

的匹配滤波器

判决

输出

图2-1 由匹配滤波器实现的最佳接收机结构
发送段在任意一个码元间隔内发送两个波形、中的一个，接收机上、下两个支路的匹配滤波器分别对这两个波形匹配，所以当发送段发送波形时，上支路匹配滤波器在取样时刻输出最大值，当发送端发送波形时下支路匹配滤波器在取样时刻输出最大值，而与接收信号不匹配的滤波器在取样时刻输出的值小于。所以判决器的任务是根据上、下两支路取样值的大小进行判决，如上支路取样值打大，认为接收到的信号为；如下支路取样值大，认为接收到的信号为。

2.2 匹配滤波器传输特性
设匹配滤波器的输入信号为，是由接收信号和噪声两部分构成，即，在表达式中是白噪声，双边功率谱密度为，而信号的频谱函数为。
根据线性叠加原理，匹配滤波器的输出 也由信号和噪声两部分构成，即
（2-1）
设的频谱为 ，根据信号与系统理论得
（2-2）
求的傅里叶反变换，可得到输出信号为
（2-3）
输出噪声的功率谱密度为
（2-4）
匹配滤波器在时刻的输出信号值为
（2-5）
则在时刻输出信号的瞬时功率为，输出噪声平均功率为
（2-6）
所以时刻输出的信噪比为
（2-7）
根据许瓦兹不等式
（2-8）
可以得到
（2-9）
当时等式成立，这就是所要求的匹配滤波器的传输特性，由上式可知，输出信噪比最大的滤波器的传输特性与信号频谱的共轭成正比，故这种滤波器称为匹配滤波器。
2.3 匹配滤波器的结构
匹配滤波器的冲激响应为
（2-10）
两边取傅立叶反变换，得到
（2-11）
如果输入信号是实信号，则。
假设符号的传输速率，则在接收端同样地我们需要每隔时间进行一次判决，因此我们希望在每时刻的输出信噪比最大，将上述的用带入，得到匹配滤波器如下：
（2-12）
当接收端输入为时,在相对于的匹配滤波器端输出信号

（2-13）
当时，得到

（2-14）
式（2-14）说明相对于匹配滤波器的输出信号在形式上与输入信号和乘积的积分相同，则匹配滤波器在取样时刻的输出值可以用乘积与积分这样的相关运算来求得，匹配滤波器的实现过程如图2-1所示。

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图2-2 匹配滤波器的实现过程

2.4 最佳接收机的误码性能
2.4.1 最佳接收机的误码性能分析
由于噪声的影响，最佳接收机在判决时也会发生错判，接收机发生错判的可能性大小用误码率来衡量，由图2-1可知，判决器的任务就是比较上，下两支路积分值的大小并作出判决。其判决规则如下：
（1） 如果上支路积分值大，判为；
（2） 如果下支路积分值大，判为；
由于噪声的影响，判决器会发生错误判决，有两种错判情况：
（1） 当发送端发送，判决器判为，此误码率记为；
（2） 当发送段发送，判决器判为，此误码率记为；
根据全概率公式，最佳接收机的平均误码率为
（2-15）
下面我们首先求发错判成的概率，令判决量V为上支路积减下支路的积分值，由图2-1和图2-2可知V的表达式为：
（2-16）
当V<0时，判决其判为，发生错判，所以V<0的概率就是发错判成的概率，V是一个随机量，想要求,就得求出V的概率密度函数。
因为噪声是零均值的高斯噪声，而V仅是的积分运算，所以V是一个高斯随机变量，V的均值为，其中是信号的能量，。V的方差为。
所以高斯随机变量V的概率密度函数为
（2-17）
当两个信号和等概且等能量时，发错判成的概率等于错判成的概率，则由平均误码率公式可得最佳接收机的误码率：
（2-18）
2.4.2 最佳接收机与非最佳结构的比较
最佳系统与普通接收机两者之间的差别在普通接收机并没有充分利用码元时间内的信号，而只是取了其中的一个点作为判决，而最佳接收机充分利用了整个码元时间内的信号（信息）。
在理想情况下（即信道是无限宽的），两者是等价的。但是在实际应用中，最佳接收机比普通接收机性能好，非最佳接收机的性能由信噪比来体现。其中，（是信号经过带通后的信噪比）。
例如，2PSK普通接收系统的误码率为，而2PSK 最佳接收系统的误码率 ，其中而非最佳系统的，这里B是带通的带宽。
因此，只有当带通带宽时，第六章所述的接收机才与最佳接收机性能一样。然而，实际系统中，带通滤波器的带宽要求信号完全通过（即对信号不造成失真）。假设基带信号波形为矩形的话，则是基带信号频谱的第一个零点，如果带通滤波器带宽为，则信号的失真太大，达不到实际接收系统的带通要求。因此，实际系统的性能肯定要比最佳接收系统的性能差。
最佳接收系统相当于是最小带通带宽的接收机，因此进入判决的噪声也小。接收系统为了让信号尽可能通过，因此在接收机前端的带通滤波器带宽适当放大，而相关接收机相当于将信号全部通过，噪声进行再次的滤波，因此性能自然得到改善。