2018年浙江省高中数学竞赛预赛真题 含答案.doc

2018年浙江省高中数学竞赛试卷
一、填空题
1.已知为正实数，且是奇函数，则的值域为 ．
2.设数列满足，，则 ．
3.已知，，，则 ．
4.在八个数字，，，，，，，中任取两个组成分数.这些分数中有 个既约分数．
5.已知虚数满足，则 ．
6.设，若平面上点满足，对于任意，有，则的最小值为 ，此时 ．
7.在中，，且三角形的面积为，则的最小值为 ．
8.设，则有 个不同的解．
9.设满足，则的取值范围为 ．
10.四面体，，，，则该四面体外接球的半径为 ．
二、解答题
11.已知动直线与圆：相切，与椭圆相交于不同的两点，.求原点到的中垂线的最大距离.
12.设，且对任意实数均有，求的取值范围.
13.设实数，，…，满足和，证明：.
14.将个不同整数分成两组，，…，；，，…，.证明.
15.如图所示将同心圆环均匀分成格.在内环中固定数字.问能否将数字填入外环格内，使得外环旋转任意格后有且仅有一个格中内外环的数字相同？

2018年浙江省高中数学竞赛试卷参考答案
一、填空题
1. 2. 3. 4. 5.
6. ； 7. 8. 9. 10.
二、解答题
11.解：依题意可设：.
因为直线与圆相切，所以，到直线的距离为，即.
原点到的中垂线的最大距离为.
12.解1：设，对于，
所以只要考虑.
（1）当时，即.此时函数的最值在抛物线的左右端点取得，对任意有，所以，
解得.
（2）当时，即，此时函数的最值在抛物线的顶点和右端点取得，而对有，.
（3）当时，即，此时函数的最值在抛物线的顶点和左端点取得，而对有，.
（4）当时，即，此时函数的最值在抛物线的左右端点取得，对任意有，所以，解得.
综上或.
解2：设，则有
，依题意，，或.
13.证明：由条件，同号.反证法，假设.
（1）若，同为正数，由，同号可知，，…，同号.
由
，
同理.
类似可证明：，，…，.
因此，矛盾.
（2）若，同为负数，由，同号可知，，…，均为负数，仍然有，类似（1）可证得.
14.证明：令，下面用归纳法证明.
当时，不妨设，，.
，
当；
当.
假设对正整数成立，对正整数，不妨设
，，.再设，则有
，
下证.
由（1），得到

；
（2）若，则
.
15.解：设对应于内环，，…，的外环数字为，，…，，它是数字，，…，的一个排列.对，记外环数字在按顺时针方向转动格时，和内环数字相同，即，.
根据题意，，，…，应是，，，…，的排列.求和
.
于是必须是奇数.
对于奇数，我们取，，，可以验证
，
，，，…，，
，，，…，，
符合题目要求！