2017年顺义区初三一模数学试题.doc

顺义区2017届初三第一次统一练习
数学试卷
学校名称 姓名 准考证号
一、选择题（本题共30分，每小题3分）
第1-10题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．
1．共享单车为人们带来了极大便利，有效缓解了出行“最后一公里”问题，而且经济环保．
2016年全国共享单车用户数量达18860 000，将18860 000用科学记数法表示应为
A． B． C． D．
2．的算术平方根是
A． B． C． D．
3．如图，AB∥CD，E是BC延长线上一点，若∠B=50°，
∠D=20°，则∠E的度数为
A．20° B．30° C．40° D．50°
4．我国传统文化中的“福禄寿喜”图（如图）由四个图案构成．这四个图案中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是

A　 　　B　 C　　 D
5．实数a，b，c，d在数轴上对应点的位置如图所示，若实数b， d互为相反数，则这四个实数中，绝对值最小的是

A．a B．b C．c D．d
6．如果，那么代数式的值是
A．　 　　B． 　C．-5　 　D．5
7．手鼓是鼓中的一个大类别，是一种打击乐器．如图是我国某少数民族手鼓的轮廓图，其俯视图是

8．如图，在3×3的正方形网格图中，有3个小正方形涂成了黑色，现在从白色小正方形中任意选取一个并涂成黑色，使黑色部分的图形构成一个轴对称图形的概率是
A． B． C． D．
9．在平面直角坐标系中，如果抛物线不动，而把x轴、y轴分别向下、向左平移2个单位，则在新坐标系下抛物线的表达式为
A．　　 　B．
C．　　 D．
10．某公司在抗震救灾期间承担40 000顶救灾帐篷的生产任务，分为A、B、C、D四种型号，它们的数量百分比和每天单独生产各种型号帐篷的数量如图所示：

根据以上信息，下列判断错误的是
A．其中的D型帐篷占帐篷总数的10%
B．单独生产B型帐篷的天数是单独生产C型帐篷天数的3倍
C．单独生产A型帐篷与单独生产D型帐篷的天数相等
D．单独生产B型帐篷的天数是单独生产A型帐篷天数的2倍

二、填空题（本题共18分，每小题3分）
11．如果二次根式有意义，那么x的取值范围是 ．
12．如图的四边形均为矩形或正方形，根据图形的面积，写出一个正确的等式： ．

13．图1为北京城市女生从出生到15岁的平均身高统计图，图2是北京城市某女生从出生到12岁的身高统计图．

请你根据以上信息预测该女生15岁时的身高约为 ，你的预测理由是 ．
14．小刚身高180cm，他站立在阳光下的影子长为90cm，他把手臂竖直举起，此时影子长为115cm，那么小刚的手臂超出头顶 cm．
15．如图，一张三角形纸片ABC，其中∠C=90°，AC=6，BC=8．小静同学将纸片做两次折叠：第一次使点A落在C处，折痕记为m；然后将纸片展平做第二次折叠，使点A落在B处，折痕记为n．则m，n的大小关系是 ．
16．阅读下面材料：
在数学课上，老师提出如下问题：
已知：如图，四边形ABCD是平行四边形．
求作：菱形AECF，使点E，F分别在BC，AD上．

小凯的作法如下：
（1）连接AC；
（2）作AC的垂直平分线EF分别交BC，AD于E，F；
（3）连接AE，CF．
所以四边形AECF是菱形．

老师说：“小凯的作法正确．”
请回答：在小凯的作法中，判定四边形AECF是菱形的依据是______________________．

三、解答题（本题共72分，第17-26题，每小题5分，第27、28题每小题7分，第29题8分）
解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．
17．计算：．

18．解不等式：≥，并把它的解集在数轴上表示出来．

19．如图，□ABCD中，BE⊥CD于E，CE=DE．
求证：∠A=∠ABD．

20．已知关于x的方程有两个不相等的实数根．
（1）求m的取值范围；
（2）当m为正整数时，求方程的根．

21．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知直线与直线相交于点A（1，2），直线与x轴交于点B（3，0）．
（1）分别求直线和的表达式；
（2）过动点P（0，n）且平行于x轴的直线与，的交点分别为C，D，当点C位于点D左方时，写出n的取值范围．

22．某电脑公司有A、B两种型号的电脑，其中A型电脑每台6 000元，B型电脑每台4 000元．学校计划花费150 000元从该公司购进这两种型号的电脑共35台，问购买A型、B型电脑各多少台？

23．已知：如图，四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O， AB=AC=AD，∠DAC=∠ABC.
（1）求证：BD平分∠ABC；
（2）若∠DAC =，OA=1，求OC的长.

24．中国古代有二十四节气歌，“春雨惊春清谷天，夏满芒夏暑相连．秋处露秋寒霜降，冬雪雪冬小大寒．”它是为便于记忆我国古时历法中二十四节气而编成的小诗歌，流传至今．节气指二十四时节和气候，是中国古代订立的一种用来指导农事的补充历法，是中国古代劳动人民长期经验的积累和智慧的结晶．其中第一个字“春”是指立春，为春季的开始，但在气象学上的入春日是有严格定义的，即连续5天的日平均气温稳定超过10℃又低于22℃，才算是进入春天，其中，5天中的第一天即为入春日．例如：2014年3月13日至18日，北京的日平均气温分别为9.3℃，11.7℃，12.7℃，11.7℃，12.7℃和12.3℃，即从3月14日开始，北京日平均气温已连续5天稳定超过10℃，达到了气象学意义上的入春标准．因此可以说2014年3月14日为北京的入春日．
日平均温度是指一天24小时的平均温度．气象学上通常用一天中的2时、8时、
14时、20时4个时刻的气温的平均值作为这一天的日平均气温（即4个气温相加除以4），结果保留一位小数．
下表是北京顺义2017年3月28日至4月3日的气温记录及日平均气温（单位：℃）
时间
2时
8时
14时
20时
平均气温
3月28日
6
8
13
11
9.5
3月29日
7
6
17
14
a
3月30日
7
9
15
12
10.8
3月31日
8
10
19
13
12.5
4月1日
8
7
18
15
12
4月2日
11
7
22
16
14
4月3日
13
11
21
17
15.5

根据以上材料解答下列问题：
（1） 求出3月29日的日平均气温a；
（2） 采用适当的统计图将这7天的日平均气温的变化情况表示出来；
（3） 请指出2017年的哪一天是北京顺义在气象学意义上的入春日．

25．如图，AB是⊙O的直径，PA切⊙O于点A，PO交⊙O于点C，连接BC，∠P=∠B．
（1）求∠P的度数；
（2）连接PB，若⊙O的半径为a，写出求△PBC面积的思路．

26．某“数学兴趣小组”根据学习函数的经验，对函数的图象和性质进行了探究，探究过程如下，请补充完整：
（1）该函数的自变量x的取值范围是　　　　；
（2）同学们先找到y与x的几组对应值，然后在下图的平面直角坐标系xOy中，描出各对对应值为坐标的点．请你根据描出的点，画出该函数的图象；
（3）结合画出的函数图象，写出该函数的一条性质： ．

27．如图，已知抛物线与x轴交于A（-2，0），B两点，与y轴交于C点，tan∠ABC=2．
（1）求抛物线的表达式及其顶点D的坐标；
（2）过点A、B作x轴的垂线，交直线CD于点E、F，将抛物线沿其对称轴向上平移m个单位，使抛物线与线段EF（含线段端点）只有1个公共点．求m的取值范围．

28．在正方形ABCD和正方形DEFG中，顶点B、D、F在同一直线上，H是BF的中点．
（1）如图1，若AB=1，DG=2，求BH的长；
（2）如图2，连接AH，GH．

小宇观察图2，提出猜想：AH=GH，AH⊥GH．小宇把这个猜想与同学们进行交流，通过讨论，形成了证明该猜想的几种想法：
想法1：延长AH交EF于点M，连接AG，GM，要证明结论成立只需证△GAM是等腰直角三角形；
想法2：连接AC，GE分别交BF于点M，N，要证明结论成立只需证△AMH≌△HNG.
……
请你参考上面的想法，帮助小宇证明AH=GH，AH⊥GH．（一种方法即可）

29．在平面直角坐标系中，对于双曲线和双曲线，如果，则称双曲线和双曲线为“倍半双曲线”，双曲线是双曲线的“倍双曲线”，双曲线是双曲线的“半双曲线”．
（1）请你写出双曲线的“倍双曲线”是　　　　；双曲线的“半双曲线”是　　　　；
（2）如图1，在平面直角坐标系中，已知点A是双曲线在第一象限内任意一点，过点A与y轴平行的直线交双曲线的“半双曲线”于点B，求△AOB的面积；
（3）如图2，已知点M是双曲线在第一象限内任意一点，过点M与y轴平行的直线交双曲线的“半双曲线”于点N，过点M与x轴平行的直线交双曲线的“半双曲线”于点P，若△MNP的面积记为，且，求k的取值范围．

顺义区2017届初三第一次统一练习
数学答案及评分参考
一、选择题（本题共30分，每小题3分）
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
C
A
B
B
C
D
A
C
D
B
二、填空题（本题共18分，每小题3分）
11．≥3 12． 或或；
13．170厘米， 12岁时该女生比平均身高高8厘米，预测她15岁时也比平均身高高8厘米；
14．50； 15．；
16．；对角线互相垂直的平行四边形是菱形．（或有一组邻边相等的平行四边形是菱形．或四条边都相等的四边形是菱形．）
三、解答题（本题共72分，第17-26题，每小题5分，第27题7分，第28题7分，第29题8分）
17．解：
………………………………………………………4分 ……………………………………………………………………… 5分
18．解：去分母，得 ， …………………………………………1分
去括号，得 ， …………………………………………2分
移项，得 ， …………………………………………3分
合并同类项，得 ，
系数化为1，得 ． …………………………………………………4分
把它的解集在数轴上表示为：
………… 5分
19．证明：∵ BE⊥CD，CE=DE，
∴ BE是线段DC的垂直平分线．…………………………………………1分
∴ BC=BD． ……………………………………………………………2分
∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ AD=BC． ……………………………………………………………3分
∴ AD=BD． ………………………………………………………………4分
∴ ∠A=∠ABD． …………………………………………………………5分
1
20．解：（1）

…………………………………………………………… 1分
∵方程有两个不相等的实数根，
∴． ……………………………………………………… 2分
∴ ． ……………………………………………………………… 3分
（2）∵ m为正整数，且，
∴ ． ……………………………………………………………… 4分
原方程为．
∴ ．
∴ ． ………………………………………………………… 5分
21．解：（1）∵点A（1，2）在上，
∴．
　　　 ∴直线的表达式为． 　…………………………………… 1分
　　　 ∵点A（1，2）和B（3，0）在直线上，
∴ 解得
∴直线的表达式为． ……………………………… 3分
（2）n的取值范围是 ． ……………………………………… 5分

22．解：设购买A型电脑台，B型电脑台， ………………………………… 1分
根据题意，得
…………………………………………… 3分
解这个方程组，得 …………………………………………… 4分
答：购买A型电脑5台，B型电脑30台． ………………………………… 5分

2
23．
（1）证明：∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB． …………………………………………………… 1分
∵∠DAC=∠ABC，
∴∠DAC=∠ACB．
∴AD∥BC．…………………………… 2分
∴∠1=∠2．
又∵AB=AD，
∴∠1=∠3．
∴∠2=∠3．
∴BD平分∠ABC． …………………………………………………… 3分
（2）解：∵∠DAC =，∠DAC=∠ABC，
∴∠ABC=∠ACB =．
∴∠B AC=． ………………………………………………………… 4分
过点O作OE⊥BC于E，
∵BD平分∠ABC，
OE =OA=1．
在Rt△OEC中，∠ACB =，OE =1，
∴ ． ………………………………………………………… 5分
24．（1）（℃）． ………………………………… 1分
(2)
……… 4分

（3） 3月29日． ………………………………………………………… 5分

3
25．解：（1）∵PA切⊙O于点A，
∴PA⊥AB． ……………………………… 1分
∴∠P+∠1=90°．
∵∠1=∠B+∠2，
∴∠P+∠B+∠2=90°．…………………… 2分
∵OB=OC，
∴∠B=∠2．
又∵∠P=∠B，
∴∠P=∠B=∠2．
∴∠P=30°． …………………………… 3分
（2）
思路一：①在Rt△PAO中，已知∠APO=30°，OA=a，可求出PA的长；
②在Rt△PAB中，已知PA，AB长，可求出△PAB的面积；
③可证出点O为AB中点，点C为PO中点，因此△PBC的面积是△PAB面积的，从而求出△PBC的面积． ………………………… 5分
思路二：①在Rt△PAO中，已知∠APO=30°，OA=a，可求出PO=2a，进一步求出PC=PO-OC=a；
②过B作BE⊥PO，交PO的延长线于点E，在
Rt△BOE中已知一边OB=a，一角∠BOE=60°，可求出BE的长；
③利用三角形面积公式PC×BE求出△PBC的面积． …………………………… 5分

26．解：（1）自变量x的取值范围是 ． …………………………………… 1分

（2）

………………………… 3分

（3）该函数的一条性质是：函数有最大值(答案不唯一）． …………………… 5分

4
27．解：（1）由抛物线的表达式知，点C（0，8），即 OC=8；
Rt△OBC中，OB=OC•tan∠ABC=8×=4，
则点B（4，0）． ………………………… 1分
将A、B的坐标代入抛物线的表达式中，得：
，解得，
∴抛物线的表达式为．…… 3分
∵ ，
∴抛物线的顶点坐标为D（1，9）． ………… 4分
　　　（2）设直线CD的表达式为y=kx+8,
∵点D（1，9），
∴直线CD表达式为y=x+8．
∵过点A、B作x轴的垂线，交直线CD于点E、F，
可得：E（-2，6），F（4，12）． ………… 6分
设抛物线向上平移m个单位长度（m＞0），
则抛物线的表达式为：；
当抛物线过E（-2，6）时，m=6，当抛物线过F（4，12）时，m=12，
∵抛物线与线段EF（含线段端点）只有1个公共点，
∴m的取值范围是6<m≤12． ………………………………………… 7分

28．（1）解：∵ 正方形中ABCD和正方形DEFG，
∴ △ABD，△GDF为等腰直角三角形．
∵ AB=1，DG=2，
∴ 由勾股定理求得BD=，DF=．…………………………… 2分
∵ B、D、F共线，
∴ BF=．
∵ H是BF的中点，
∴ BH=BF=． …………………………………………………… 3分
5
　（2）证法一：
延长AH交EF于点M，连接AG，GM，
∵正方形中ABCD和正方形DEFG且B、D、F共线，
∴AB∥EF．
∴∠ABH=∠MFH．
又∵BH=FH,∠AHB=∠MHF，
∴△ABH≌△MFH．…………… 4分
∴AH=MH，AB=MF．
∵AB=AD，
∴AD=MF．
∵DG=FG，∠ADG=∠MFG=90°，
∴△ADG≌△MFG．…………… 5分
∴∠AGD=∠MGF，AG=MG．
又∵∠DGM+∠MGF=90°，
∴∠AGD+∠DGM=90°．
∴△AGM为等腰直角三角形．…………………………………… 6分
∵AH=MH，
∴AH=GH，AH⊥GH．…………………………………………… 7分
证法二：
连接AC，GE分别交BF于点M，N，
∵正方形中ABCD和正方形DEFG且B、D、F共线，
∴AC⊥BF，GE⊥BF，DM=BD，DN=DF．
∴∠AMD=∠GNH=90°，MN=BF．………………………… 4分
∵H是BF的中点，
∴BH=BF．
∴BH=MN．
∴BH-MH=MN-MH．
∴BM=HN．
∵AM=BM=DM，
∴AM=HN=DM．
∴MD+DH=NH+DH．
∴MH=DN．
∵DN = GN，
∴MH = GN．
∴△AMH≌△HNG． ……………………………………………… 5分
∴AH=GH，∠AHM=∠HGN． …………………………………… 6分
∵∠HGN+∠GHN=90°，
∴∠AHM+∠GHN=90°．
∴∠AHG=90°．
　　　　∴AH⊥GH． ………………………………………………………… 7分
6
29．解：（1）双曲线 的“倍双曲线”是；双曲线 的“半双曲线”是．
………………………………………………………… 2分
（2）∵双曲线的“半双曲线”是，
∴△AOC的面积为2，△BOC的面积为1，
∴△AOB的面积为1． ……………………………………………………… 4分
（3）解法一：依题意可知双曲线的“半双曲线”为，
……………………………………………………… 5分
设点M的横坐标为x，则点M坐标为，点N坐标为，
∴，． ∴．…… 6分
同理． ………………………………… 7分
∴．
∵，
∴． ∴．…………………………………………………… 8分
解法二：依题意可知双曲线的“半双曲线”为，
………………………………………………………… 5分
设点M的横坐标为x，则点M坐标为，点N坐标为，
∴点N为MC的中点，同理点P为MD的中点．
连接OM，
∵， ∴． … 6分
∴．
∵，∴．………………… 7分
∵，
∴． ∴．…………………………………………………… 8分