八年级数学(上)几何证明中的辅助线添加方法.doc

八年级数学（上）几何证明中的辅助线添加方法
数学组 田茂松
八年级数学的几何题，有部分题需要做出辅助线才能完成。有的时候，做不出恰当的辅助线，或者做不出辅助线，就没有办法完成该题的解答。为了能够更好的让学生在做几何题时得心应手，现在将八年级数学中几何题的辅助线添加方法总结如下。
常见辅助线的作法有以下几种：
1.遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题，思维模式是全等变换中的“对折”。
2.遇到三角形的中线，倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“旋转”。
3.遇到角平分线，可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线，利用的思维模式是三角形全等变换中的“对折”，所考知识点常常是角平分线的性质定理或逆定理．
4.过图形上某一点作特定的平分线，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“平移”或“翻转折叠”。
5.截长法与补短法，具体做法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等，或是将某条线段延长，是之与特定线段相等，再利用三角形全等的有关性质加以说明．这种作法，适合于证明线段的和、差、倍、分等类的题目。
6.特殊方法：在求有关三角形的定值一类的问题时，常把某点到原三角形各顶点的线段连接起来，利用三角形面积的知识解答。
常见辅助线的作法举例：
例1 如图1,，. 求证：.
分析：图为四边形，我们只学了三角形的有关知识，必须把它转化为三角形来解决。
证明：连接（或）
图1
∵, （已知）
∴∠1＝∠2，∠3＝∠4 （两直线平行，内错角相等）
在与中

∴≌（ASA） ∴（全等三角形对应边相等）
例2 如图2,在中，，，，的延长于.求证：.
图2
分析：要证，想到要构造线段，同时与的平分线垂直，想到要将其延长。
证明：分别延长，交于点.
∵ （已知） ∴（垂直的定义）
在与中，

∴≌（ASA） ∴ （全等三角形对应边相等）
∵, （已知）
∴, , ∴
在与中

∴≌（AAS）∴（全等三角形对应边相等） ∴.
例3 已知如图3,、相交于点，且，，求证：.
图3
分析：要证，可证它们所在的三角形和全等，而只有和对顶角两个条件，差一个条件,难以证其全等，只有另寻其它的三角形全等，由，，若连接，则和全等，所以，证得.
证明：连接，在和中

∴≌ (SSS) ∴ (全等三角形对应边相等)
例4 如图4,，.求证：.
分析：由，，想到如取的中点，连接，，再由SAS公理有≌，故，.下面只需证，再取的中点，连接，则由SSS公理有≌△，所以.
证明：取，的中点、，连接，，.则，.
图4
在和中

∴≌（SAS）
∴, （全等三角形对应边、角相等）
在与中

∴≌(SSS) ∴（全等三角形对应角相等）
∴,即.
例5 如图5，，平分，平分，点在上，
求证：.
图5
分析：此题中就涉及到角平分线，可以利用角平分线来构造全等三角形，
即利用角平分线来构造轴对称图形，同时此题也是证明线段的和差倍分问题，
在证明线段的和差倍分问题中常用到的方法是延长法或截取法来证明，延长
短的线段或在长的线段长截取一部分使之等于短的线段.但无论延长还是截取
都要证明线段的相等，延长要证明延长后的线段与某条线段相等，截取要证
明截取后剩下的线段与某条线段相等，进而达到所证明的目的.
简证：在此题中可在长线段上截取，再证明，从而达到证明的目的.这里面用到了角平分线来构造全等三角形.另外一个全等自已证明,只要证明即可.此题的证明也可以延长与的延长线交于一点来证明.
例6 如图6，已知, ,.求证：. 
图6
分析：可由点向的两边作垂线,证明≌,进而得,从而得证.
证明：略
例7 如图，在中，是角平分线，,
求证:.
分析：证法1 此题涉及到倍角关系，基本思路是构造等腰三角形，利用
等腰三角形的两个底角相等，由此可以在上去一点(如图6-1)，
使,容易证明≌,可得,,
又由,可知,得.
图7-2
证法2 可以延长到（如图6-2）,使,连接.易证≌，从而,又,问题得证.
图7-1
证明：略

图7

图8
例8 如图8，中，是中线，延长到，使,是的中线.已知的面积为2，求：的面积.
解： 因为是的中线，所以，
又因是的中线，故，因是
的中线，所以. ∴的面积为.