全国高中数学竞赛试卷及答案.doc

2008年全国高中数学联赛四川赛区初赛试题
2008年5月18日(14：30一16：30)
一、选择题(本大题满分30分，每小题5分)
1. 设集合，则集合的非空真子集的个数为 （ ）
（A）13 （B） 14 （C） 15 （D） 16
2. 在公差为4的正项等差数列中，与2的算术平均值等于与2的几何平均值，其中表示数列的前三项和，则为 （ ）
（A）38 （B） 40 （C） 42 （D） 44
3. 某学校的课外数学小组有8个男生和6个女生，要从她们中挑选4个组成代表队去参加比赛，则代表队包含男女各2人的概率为 （ ）
（A） （B） （C） （D）
4. 设有一个体积为54的正四面体，若以它的四个面的中心为顶点做一个四面体，则所作四面体的体积为 （ ）
（A）1 （B） 2 （C） 3 （D） 4
5. 已知椭圆的左顶点为，右焦点为，点为椭圆上的一点，则当取最小值的时候，的值为 （ ）
（A） （B）3 （C） 5 （D）
6. 设则的最小值为 （ ）
（A） （B） （C） 1 （D）
二、填空题（本大题满分30分，每小题5分）
7. 函数的最小值为__________________ .
8. 函数对任意的满足，且，则＝______________________.
9. 设数列满足：，则的最大公约数为________________ .
1
2
3
4
5
6
7
8
9

10. 已知正实数满足，则的最小值为__________________ .
11. 用红、黄、蓝三种颜色之一去涂途中标号为的9个小正方形（如图），使得任意相邻（有公共边的）小正方形所涂颜色都不相同，且“3、5、7”号数字涂相同的颜色，则符合条件的所有涂法共有 _______ 种。
12. 数列、满足：，且，则＝_________.
三、解答题（本大题满分80分，每小题20分）
13. 是否存在一个二次函数，使得对任意的正整数，当时，都有成立？请给出结论，并加以证明．

14. 设是抛物线的焦点，橙子奥数欢迎您，为抛物线上异于原点的两点，且满足．延长分别交抛物线于点（如图）．求四边形面积的最小值．

15. 已知⊙与的边分别相切于和，与外接圆相切于，是的中点（如图）．求证：．

16. 已知，，其中正整数．
（1）求证：对于一切的正整数，都；
（2）求的最小值，其中约定．

2008年高中数学联赛四川赛区初赛试题
参考答案及评分标准
说明：
1、评阅试卷时，请依据评分标准.选择题和填空题只设5分和0分两档；其它各
题的评阅，请严格按照评分标准规定的评分档次给分，不要再增加其它中间档次.
2、如果考生的解答题方法和本解答不同，只要思路合理，步骤正确，在评阅时
可参考本评分标准适当划分档次评分，5分一个档次，不要再增加其它中间档次.

一、选择题(本大题满分30分，每小题5分)
1、B 2、A 3、C 4、B 5、B 6、C
二、填空题（本大题满分30分，每小题5分）
7、8 8、 9、3 10、 11、108 12、
三、解答题（本大题满分80分，每小题20分）
13、是否存在一个二次函数，使得对任意的正整数，当时，都
有成立？请给出结论，并加以证明．
解：存在符合条件的二次函数． …5分
设，则当时有： ①；
②；③．
联立①、②、③，解得．于是，．10分
下面证明：二次函数符合条件．
因为，
同理：； …15分

．
所以，所求的二次函数符合条件． ……20分

14、设是抛物线的焦点，为抛物线上异于原点的两点，且满足．延长分别交抛物线于点（如图）．求四边形面积的最小值．
解：设，由题设知，直线的斜率存在，设为．
因直线过焦点，所以，直线的方程为．
联立方程组，消得
由根与系数的关系知：， ……5分
于是
　　　　 ……10分
又因为，所以直线的斜率为，
从而直线的方程为：，同理可得 ．……15分
故
当时等号成立．所以，四边形的最小面积为32． ……20分
15、已知⊙与的边分别相切于和，与外接圆相切于，是的中点（如图）．橙子奥数工作室欢迎您．求证：．
证明：如图，连结．
∵ 分别与⊙相切于
∴
∵和都是⊙的半径，
……5分
∴ 由对称性知，且于．
∴ ，即 ……10分
又∵，∴∽
∴ ……15分

过作两圆的公切线，则
又∵，即
∴

故． ……20分

16、已知，，其中正整数．
（1）求证：对于一切的正整数，都有；
（2）求的最小值，其中约定．
（1）证明：对于一切的正整数，
．5分
（2）由不等式知 ……10分
……15分
当时，等于成立，所以有最小值．…20分

2008年全国高中数学联赛一试试题
一、选择题（本题满分36分，每小题6分）
1．函数在上的最小值是                               （C ）
A．0               B．1              C．2               D．3
2．设，，若，则实数的取值范围为       （   ）
A．          B．          C．           D．
3．甲乙两人进行乒乓球比赛，约定每局胜者得1分，负者得0分，比赛进行到有一人比对方多2分或打满6局时停止．设甲在每局中获胜的概率为，乙在每局中获胜的概率为，且各局胜负相互独立，则比赛停止时已打局数的期望为      　　　   （   ）
A.   　        B.   　        C.  　     　  D.
4．若三个棱长均为整数（单位：cm）的正方体的表面积之和为564 cm2，则这三个正方体的体积之和为                                                     （  ）
A. 764 cm3或586 cm3                      B. 764 cm3 　     
C. 586 cm3或564 cm3                      D. 586 cm3
5．方程组的有理数解的个数为                      （   ）
A.  1               B.  2             C.  3               D.  4
6．设的内角所对的边成等比数列，则的取值范围是                               （   ）
A.                            B.  
C.                     D.
二、填空题（本题满分54分，每小题9分）
7．设，其中为实数，，，，若，则 　        .
8．设的最小值为，则_____________．
9．将24个志愿者名额分配给3个学校，则每校至少有一个名额且各校名额互不相同的分配方法共有　     　　种．
10．设数列的前项和满足：，，则通项=．
11．设是定义在上的函数，若 ，且对任意，满足
    ，，则=__________．
12．一个半径为1的小球在一个内壁棱长为的正四面体容器内可向各个方向自由运动，则该小球永远不可能接触到的容器内壁的面积是_______．
三、解答题（本题满分60分，每小题20分）
13．已知函数的图像与直线 有且仅有三个交点，交点的横坐标的最大值为，求证： 
14．解不等式．
15．如题15图，是抛物线上的动点，点在轴上，圆内切于，求面积的最小值．

2009年全国高中数学联赛
贵州赛区预赛试卷
试题所涉及的知识范围不超出现行《全日制普通高中高级中学数学教学大纲》中所规定的教学内容和要求，在方法的要求上有所提高，主要考查学生对基本知识和基本技能的掌握情况，包括10道填空题和3道解答题，全卷满分100分，考试时间为120分钟.
一、 填空题（每题6分，共60分）
1. 已知函数，若f(-1)=1.62，则f(1)=__________________.
2. 定义b-a叫集合{x|a≤x≤b}的“长度”.设M={x|m≤x≤m+}，N={x|n-≤x≤n}，且M、N都是集合{x|0≤x≤1}的子集，那么集合M∩N的“长度”的最小值为_________.
3. 设长方体的长、宽、高分别为a、b、c，且a+b-c=1，已知长方体的对角线长为1，且a≠b，则c的取值范围是___________________.
4. 若关于的方程a2x+(1+lgm)ax+1=0 (a>0且a≠1)有解，则m的取值范围是____________________.
5. 对于任意n∈N*，抛物线y=(n2+n)x2-(2n+1)x+1与x轴相交于An、Bn两点，则|A1B1|+|A2B2+…+|A2009B2009|=____________________.
6. 某文娱队的每位队员至少会唱歌、跳舞中的一项,该文娱队共有n名队员，已知其中会唱歌的有2人，会跳舞的有5人.现从中选出2人，设ε为选出的2人中既会唱歌又会跳舞的人数，且P(ε>0)=，则n=_______________.
7. 一个圆周上有9个点，以这9个点为顶点作三角形，当这三个三角形的边互不相交时，我们把它称为一种“构图”，则不同的“构图”共有_________种.
8. 已知点A(4，0)、B(2，2)，M是椭圆上的动点，则|MA|+|MB|的最大值为_______________.
9. 已知向量、、满足||=||=2，||=1，（-）·（-）=0，则|-|的取值范围是___________________________.

10. 已知角α、β满足2sin2α+sin2β-2sinα=0，则cos2α+cos2β的取值范围是______________.
二、 解答题（共40分）
11.（12分）有n把看上去样子相同的钥匙，其中只有一把能把大门上的锁打开。设抽取钥匙是相互独立且等可能的，每把钥匙试开后不再放回，求试开次数ε的分布列及数学期望Eε．
12.（14分）已知函数f(x)=-2x+4，
令，若不等式恒成立，求实数a的取值范围．
13.（14分）设椭圆C1的方程为，曲线C2的方程为y=,且C1与C2在第一象限内只有一个公共点P.
（1）试用a表示点P的坐标；
（2）设F1、F2是C1的两个焦点，当a变化时，求的面积函数f(a)的值域；
（3）设g(a)是以C1的半焦距为边长的正方形的面积，求函数y=min{f(a)，g(a)}的表达式。

2009年全国高中数学联赛贵州赛区预赛试卷参考答案及评分标准
一、 填空题
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
2.38

（0，）
（0，10-3]

5
9
10+2
[，]
[1，2]

二、 解答题
11.ε的分布列为
ε
1
2
……
n
P

……

.............................................10分
Eε=1·+2·+…+n·= .............................................12分
12.
Sn=
 由，得 ①………………………4分
显然，a≠0.
（1）当a<0时，>0恒成立，则an<0，但n为偶数时，an>0，矛盾，所以a<0不合题意. ……………….………………….8分
（2）当a>0时，因为an>0，由式①得a>
由于随n的增大而减小，故当n=1时，1+取最大值，从而a>.
即. ……………………………………………14分
13. 解：（1）将y=代入椭圆C1的方程，得，化简得b2x4-a2b2x2+a2=0，
有条件有△=a4b4-4a2b2=0，得ab=2，解得
故P点的坐标为（） ………………………………………..4分
（2）

得………………………….9分
（3）g(a)=c2=a2-b2=a2，由g(a)≥f(a)得a2，
整理得a8-10a4+24≥0，即（a4-4）（a4-6）≥0，
解得
故y=min{f(a)，g(a)}= ……………………………14分

2009年全国高中数学联赛湖北赛区预赛宜昌赛区
组织工作的几点说明

各高中：
根据全国高中数学联合竞赛湖北赛区组织委员会文件精神，为切实组织好2009年全国高中数学联赛，现就宜昌赛区有关工作安排说明如下：
1、湖北赛区预赛时间为：2009年5月23日（星期六），北京时间：8:00—10:00。
2、预赛命题内容与形式：根据现行“高中数学竞赛大纲”的要求，“全国高中数学联赛（一试）”所涉及的知识范围不超出教育部2000年《全日制普通高级中学数学教学大纲》中所规定的教学要求和内容，但在方法的要求上有所提高。主要考查学生对基本知识和基本技能的掌握情况，以及综合、灵活运用知识的能力。湖北赛区预赛试题在内容上略有拓展，包括8道填空题（每题7分）和4道解答题（分别为14分、15分、15分、20分），满分120分。
3、湖北赛区预赛试卷于2009年5月21日下发，请各校按时到宜昌市教研中心领取，联系人：曾庆荣，电话：[phone]。湖北赛区预赛试卷的标准答案和评分标准将在2009年5月23日考试结束后公布在网站（http://202.114.40.2）请自行下载。
4、湖北赛区预赛考试结束后，由各考点校负责组织阅卷和评奖。为兼顾公平和公正，省奖设定以校为单位统一划线，其中省一等奖占参赛学生总人数1%，二等奖占4%，三等奖占15%，最后省一、二等奖的确定由宜昌市教研中心送省统一审定。
5、各校应于2009年5月27日前将获得湖北赛区预赛一等奖的学生的试卷寄或送宜昌市教研中心曾庆荣老师处（电话：[phone]），并将获奖（湖北赛区预赛一等奖、二等奖、三等奖）学生的成绩表（含学生姓名、考号、学校、指导教师、考试成绩、获奖等级等项目）的电子版（Excel排版）发送到电子邮箱：fjm002@。对一等奖获得者的指导教师颁发“辅导学生成绩突出”证书。
6、根据联赛组委会规定，湖北赛区预赛收费7元，其中4元上交省市作为组织考试、制卷、评奖等开支，剩余3元作为学校组织考试与阅卷。有关费用在提取试卷时一并上交。
7、湖北赛区宜昌预赛各校要成立专班，精心安排考场，每个考室40人，要严肃考试纪律，不得更改考试时间，严禁弄虚作假，要切实维护考试的权威和公平，确保考试成绩真实有效。竞赛期间市竞赛组委会将统一派巡视员巡视。

宜昌市教育学会数学专业委员会
二OO九年三月十八日
2009年高中数学竞赛预赛人数报名表
学 校
人 数
领 卷 人
夷陵中学

宜昌市一中

枝江一中

兴山一中

葛洲坝六中

长阳二中

三峡高中

枝江二中

当阳一中

宜昌外校

长阳一中

宜都一中

宜都外校

远安一中

宜昌市七中

当阳二中

秭归一中

宜昌市二中

合 计

2009年全国高中数学联赛青海赛区初赛（A）试题
一、 填空题（每小题7分，共56分）
1、已知数列中，，则数列通项公式 .
2、已知，则 .
A B

C D
3、将号码分别为1、2、……、9的九个小球放入一个袋中，这些小球仅号码不同，其余完全相同。甲从袋中摸出一个球，其号码为a，放回后，乙从袋中再摸出一个球，其号码为b，则使不等式a-2b+10>0成立的事件发生的概率等于 .
4、用红、黄、蓝、绿四种颜色给图中的A、B、C、D四个小方格涂色
（允许只用其中几种），使邻区（有公共边的小格）不同色，则不同的
涂色方式种数为 .
5、设点O是△ABC的外心，AB=13，AC=12，
则 .
6、设函数则函数的图像与x轴所围成图形中的封闭部分的面积是 .
7、过直线上的一点P作一个长轴最短的椭圆，使其焦点为，则椭圆的方程为 .
8、把一个长方体切割成k个四面体，则k的最小值是 .
B
C
A
D
E
二、解答题（第9题14分，第10题和第11题各15分，共44分）
9、如图，设D、E是△ABC的边AB上的两点，
已知∠ACD=∠BCE，AC=14，AD=7，AB=28，
CE=12，求BC

10、若不等式对于任意正实数x、y成立，求k的取值范围.

11、数列满足：令，k=1、2、3、……；求.
2009年全国高中数学联赛陕西赛区预赛试题
一、填空题（每小题6份，共60分，本题共10小题，要求直接将答案写在横线上）

1.已知集合，，则= ；

2．图1是一个算法流程图，若输入则最终输出的数据是 ；

3．设圆的一条切线与轴、轴分别交于点、，则的最小值为 ；

4．已知函数，若关于的方程
有两个不同的实根，则实数的取值范围是
用区间形式表示）

5．设是定义在R上的奇函数，，当时，是增函数，且对任意的，都有，则函数在敬意[-3,-2]上的最大值是

6．对于若是3的整数倍，则被6除所得余数构成的集合是 。

7．如图2，AB是半圆O的直径，C、D是半圆上的两个动点，且CD∥AB,若半圆的半径为1,则梯形ABCD周长的最大值是

8．如图3，在△ABC中，AB=3，AC=5，若O为
△ABC的外心，则的值是

9．一个含有底面的半球形容器内放置有三个两两外切的小球，若这三个小球的半径均为1，且每个小球都与半球的底面和球面相切，则该半球的半径R=

10．把长为的线段分成三段，这三条线段能构成三角形的概率为

二、解答题（每小题20分，共60分）
11．设若对任意的，等式
+恒成立，试求、的值。

12．如图4,已知两点、，的内切圆的圆心在直线上移动。
(1).求点的轨迹方程；
(2).过点作两条射线，分别交(1)中所求轨迹于、两点，且=0，求证：直线必过定点。

13．已知函数，数列{}、{}满足，，，，
(1).求的取值范围，使得对任意的正整数都有
(2).若求证：，

第二试
一、数列满足，记
(1)求数列的通项公式；
(2)求数列前项和
二、如图，PA、PB为圆O的两条切线，切点分别为A、B，过点P的直线交圆O于C、D两点，交弦AB于点Q，
求证：

三、设.
(1).若,求证：是完全平方数；
(2)证明：存在无穷多个正整数对,使得.
四、(1)证明：对任意的有；
(2)证明：.

参考答案
1.已知集合，，则= ；

2．图1是一个算法流程图，若输入则最终输出的数据是 ；

3．设圆的一条切线与轴、轴分别交于点、，则的最小值为 ；

4．已知函数，若关于的方程有两个不同的实根，则实数的取值范围是 用区间形式表示）

5．设是定义在R上的奇函数，，当时，是增函数，且对任意的，都有，则函数在敬意[-3,-2]上的最大值是

6．对于若是3的整数倍，则被6除所得余数构成的集合是 。

7．如图2，AB是半圆O的直径，C、D是半圆上的两个动点，且CD∥AB,若半圆的半径为1,则梯形ABCD周长的最大值是

8．如图3，在△ABC中，AB=3，AC=5，若O为
△ABC的外心，则的值是

9．一个含有底面的半球形容器内放置有三个两两外切的小球，若这三个小球的半径均为1，且每个小球都与半球的底面和球面相切，则该半球的半径R=

10．把长为的线段分成三段，这三条线段能构成三角形的概率为

二、解答题（每小题20分，共60分）
11．设若对任意的，等式
+恒成立，试求、的值。

12．如图4,已知两点、，的内切圆的圆心在直线上移动。
(1).求点的轨迹方程；
(2).过点作两条射线，分别交(1)中所求轨迹于、两点，且=0，求证：直线必过定点。

13．已知函数，数列{}、{}满足，，，，
(1).求的取值范围，使得对任意的正整数都有
(2).若求证：，

第二试
一、数列满足，记
(1)求数列的通项公式；
(2)求数列前项和

二、如图，PA、PB为圆O的两条切线，切点分别为A、B，过点P的直线交圆O于C、D两点，交弦AB于点Q，
求证：

三、设.
(1).若,求证：是完全平方数；
(2)证明：存在无穷多个正整数对(p,q),使得.

四、(1)证明：对任意的有；
(2)证明：.

2009全国高中数学联赛陈题一览
第一 试

填空 第1、2、5、7题：高考模拟创新题

第三题：05年天星金考卷（猜题卷）第16套卷第10题

第四题：年号题，不用算就可以直接填2009

第六题：09年高考地方模拟题

解答题第一大题：该题系09广州一模的倒数第二题

第二大题：该题系2009年广东省高考理科试题最后一道大题；

第三大题：该题在10月10日考前就出现在百度贴吧《数学竞赛吧》，天津市某联赛模拟题。

第二 试

第一题：平面几何；系直接用1997年伊朗国家队选拔赛题第二问；该题被作为2003年国家集训队平面几何培训用题（见《走向IMO2003》71页）及2008年国家集训队测试题（见《走向IMO2008》104页）

第二题：不等式；此不等式系《中学数学教学参考》2009年1、2合刊上安振平老师的两道题目的复合；据分析此不等式曾经作为某数学分析教材的课后习题。

第三题：数论问题；该题系直接改编自《数学竞赛研究教程》第10讲的例9，且在某些学校被直接作为训练题在考前训练过。

第四题：组合问题。该题在网上被评为历年来最丑陋试题，其形式复杂晦涩，故弄玄虚，丝毫不具备数学美感，且题目出现印刷错误。
2010年福建省高中数学竞赛暨全国高中数学联赛福建预赛试卷

2010年全国高中数学联赛广西赛区预赛试题
参考解答及评分标准

一、选择题（每小题6分，共36分）
1、选C.
解：关于的方程最多有两不同的解，从而，必有一个方程有两个不相等的实根，另一个方程有三个不同的实数解.而由已知，只有有三个不同的实数解.不妨设，由于关于直线对称，必有，，，故＝.

2、选D.
解：根据题意，令 （1）
（2）
其中
(1)得
于是有以下三种可能：
I 经检验这组符合条件，此时

II
III
综上所述，n只能取4.

3、选A.
解：对于正整数，被7除的余数规律是2，4，1，2，4，1，…；被7除的余数规律是1，4，2，2，4，1，0，…. 所以，被7除所得余数的规律将呈周期性变化，周期为21，且一个周期内恰有6个的值使能被7整除，故在小于10000的正整数中，共有2857个正整数满足条件.

4、选A.
解：以为公共顶点，正四面体的各面为底面，将正四面体分为四个三棱锥，它们的体积之和即为正四面体的体积，所以点到各面距离之和等于正四面体的高.
四面体每个面三角形的高 ，从而 ， 于是
正四面体的高 .

5、选B.
解：设双曲线的方程为半焦距为c，则由

解得，这表明AB轴，又易知此时，结合
解得双曲线的离心率
6、选D.
解：欲使方程有实根，应有.
m n
1
2
3
4
5
6
1
ⅹ
ⅹ
ⅹ
ⅹ
ⅹ
ⅹ
2
√
ⅹ
ⅹ
ⅹ
ⅹ
ⅹ
3
√
√
ⅹ
ⅹ
ⅹ
ⅹ
4
√
√
√
√
ⅹ
ⅹ
5
√
√
√
√
√
√
6
√
√
√
√
√
√
如上表，适合条件的m,n共有19组，故.
二、填空题（每小题9分，共54分）
1、 1 .
解：由 得 ，而，所以，
又，故
.

2、 .
解：不妨设 ，则由条件，，于是，
. 由 Cauchy不等式，
， 即 ，，
所以 ， 因此 的最大值为（此时）.

3、[10,18] .
解：由条件，有
……①，而 ，所以问题即求在条件①下目标函数的最值. 经从图像分析可知，由得到的交点A（3，1）为的最小值，即；由得到的交点B（5，1）为的最大值，即.
因此，.

4、 .
解：设点，则 . 于是，
，
所以 . 由 ，知 .
故 ， 即 .

5、 64 .
解：令，得 . 已知等式两边同时对求导，得
.
再令，由上式得.
因此 .

6、 160 .
解：设至少经过3点的直线有条，每条上的点数从多到少依次为：

则由已知，有 .
又由 知 .
当时 无解； 当时 ，解得 ； 当时
无解. 故有1条直线过其中4点，1条过3点， 即三角形个数为
.

三、解答题（每小题20分，共60分）
1、解：由，得
，
于是 . ……………………5分
从而 =
==. ……………………10分
令 ，
则
比较系数，得x=1,y=0。
于是，
因此是以为首项，为公比的等比数列. ………………15分
从而 ，即.
在上式中，令n=2009，得. ……………………20分

2、解：
连结，易知椭圆内整点在轴上有两个、满足题意.……5分
分别过点、作平行于直线的两条直线、，根据三角形同底等高面积相等可知，符合条件的整点均在直线、上.
易知 ， 故直线、的解析式分别为
， . …………………………………………………10分
已知是椭圆内的整点，有.
分别解 与 得 ， .……15分
由是整点，且在直线、上，知为偶数，所以， 在 及
中，分别有四个偶数.
故符合条件的整点的个数为8. ………………………………………………20分

3、解：
（1） 由 知，当时 ，说明此时原函数是增函数，无极值，所以. ……………………5分
（i）当时，原函数的变化如下表：

+
0
-
0
+

（极大）

（极小）

从而由 得 ，所以 . …………10分
（ii）当时，原函数的变化如下表：

+
0
-
0
+

（极大）

（极小）

从而由 得 ，所以 .
因此，由（i）（ii），. ……………………………………15分
（2）（i）当时， 由 得
，即 .
（ii）当时，由 得
， 即 . …………………20分

2010年全国高中数学联赛江西省预赛试题
（考试时间：9月24日上午8:30-11:00）
一．填空题（共2题，每题10分，合计80分）
1．设多项式满足：对于任意，都有则的最小值是＿＿＿＿＿＿.
2．数列满足：已知数列的前项和为，则数列的前项和＿＿＿＿＿＿.
3．函数的值域是＿＿＿＿＿＿.
4．过抛物线的焦点,作一条斜率为的直线，若交抛物线于两点，则的面积是＿＿＿＿＿＿.
5.若为锐角三角形，满足，则的最大值为＿＿＿＿＿＿.
6.若正三棱锥的内切球半径为，则其体积的最小值为＿＿＿＿＿＿.

7.将随机填入右图正方形的九个格子中，则其每行三数，每列三数自上而下、自左而右顺次成等差数列的概率＿＿＿＿＿＿.

8.将集合的元素分成不相交的三个子集：，其中，＜＜＜，且，则集合为：＿＿＿＿＿＿.

二．解答题（共2题，合计70分）
9.（20分）如图，是圆的一条弦，它将圆分成两部分，分别是两段弧的中点，以点为旋转中心，将弓形顺时针旋转一个角度成弓形，的中点为，的中点为.求证：.

10.（25分）给定椭圆＞＞以及圆，自椭圆上异于其顶点的任意一点，做的两条切线，切点为，若直线在轴上的截距分别为；证明：.

11.（25分）对于个素数组成的集合，将其元素两两搭配成个乘积，得到一个元集，如果与
是由此得到的两个元集，其中=，且，就称集合对是由炮制成的一副“对联”.(例如当时，由四元集可炮制成三副“对联”：，
).
(1).当时，求元素集所能炮制成的“对联”数；
（2）对于一般的，求由元素集所能炮制成的“对联”数.

2010年全国高中数学联赛
江西省预赛试题答案
1.-2
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.思路：取AB中点E，中点F，可证PEBF为菱形；
证明角MFP=角PEN；
再证角PNE=角MPF；
然后证角MPN为直角
10.关键步骤：设P点坐标，易的OMPN四点共圆，此圆方程减圆O方程得直线MN方程
11.（1）60;
(2) (其中=)

2010年全国高中数学联赛新疆维吾尔自治区预赛试题
考试时间：2010年5月23日10：00－12：00
一、填空题（每题10分，80分）
1、由曲线所围成的几何图形的面积为 。
2、设实数x，y满足，则x＋y＝ 。
3、已知,且，则存在整数，使下列等式成立的有 个。
①
②
③
④
4、已知平面上两定点A（－3，0），B（0，－4），P为曲线上任意一点，过点P作PC⊥x轴，PD⊥y轴，垂足分别为C,D，则四边形ABCD面积S的最小值为 。
5、已知均为正实数，且满足
，则＝ 。
6、已知是互不相同的n个正整数，且满足，则正整数n的最大值为 。
7、已知函数，若m＝，n＝，则m＋n＝ 。
8、已知半径为r的球和半径为R的两个相切的球都相切，且它们都与大小为60°的二面角的两个半平面相切，则＝ 。

S
C
A
B
D
E
二、解答题（本大题共4小题，满分70分，解答应写出文字说明，证明过程和演算步骤）
9、（本题15分）已知三棱锥S-ABC中，SC⊥平面ABC，AB=BC=CA=，SC＝2，D,E分别为AB，BC的中点，若点P在SE上移动，求△PCD面积的最小值。

10、（本题20分）已知定点M（－3，0），P，Q分别是x轴及y轴上的动点，且使MP⊥PQ，点N在直线PQ上，
（1）求动点N的轨迹C的方程
（2）过点T(－1，0)作直线交轨迹C于A,B两点，问在x轴上是否存在一点D使△ABD为等边三角形，若存在，求出点D的坐标，若不存在，请说明理由。

11、（本题20分）已知数列满足
（1）求的通项公式，并证明对任意的x＞0，
（2）求证

12、（本题15分）平面上有n个不共线的点，在每个点旁标注数字，如果一条直线通过这些点中的两个或者更多个时，则这些点旁所标注的数字之和为零，证明：所有标注的数字都为零。

2006年全国高中数学联赛安徽初赛试卷
2006年9月2日上午9：30 —— 11：30
试题提供：xj-hua 录入：成俊锋 校对：未校
一、选择题（本题满分36分，每小题6分）
1．正数列满足，则
A、98 B、99 C、100 D、101
2．已知的小数部分为a，则的小数部分为
A、的小数部分 B、的小数部分 C、的小数部分 D、以上都不正确
3．过原点O引抛物线的切线，当a变化时，两个切点分别在抛物线（ ）上
A、 B、 C、 D、
4．已知△ABC为等腰直角三角形，∠C = 90°，D、E为AB边上的两个点，且点D在AE之间，∠DCE = 45°，则以AD、DE、ED为边长构成的三角形的最大角是
A、锐角 B、钝角 C、直角 D、不能确定
5．将正整数从1开始不间断的写成一行，第2006个数码是 （旁注：这是希望杯的培训题）
A、0