超短筒谐波齿轮柔轮筒底负载应力研究.pdf

2024年 第48卷 第2期Journal of Mechanical Transmission超短筒谐波齿轮柔轮筒底负载应力研究李义福1,2 陈晓霞1,2 邢静忠1,2 陈 亮1,2（1 天津工业大学 机械工程学院，天津 300387）（2 天津工业大学 天津市现代机电装备技术重点实验室，天津 300387）摘要 为了揭示负载状态下超短筒柔轮筒底应力的分布规律，提出了柔轮筒底负载等效应力的理论计算方法。将柔轮筒底简化为中心固支圆板，建立了波发生器作用下柔轮筒底的弯曲对称变形模型，求解由装配变形引起的弯曲正应力和剪应力及负载转矩作用下的剪应力；基于Mises屈服准则，获得柔轮筒底负载等效应力的理论表达式；建立有限元模型，对柔轮筒底装配和负载应力的理论解进行数值验证。研究表明，弯曲径向正应力为柔轮筒底装配应力的主要应力；额定转矩作用下的柔轮筒底剪应力在45处最大；随着负载转矩的增大，最大剪应力逐渐过渡到固定端，等效应力在固定端均匀分布；在瞬时容许最大转矩时，剪应力为筒底负载等效应力的主要应力。研究可为柔轮筒底强度设计提供指导。关键词 超短筒柔轮 负载应力 装配应力 壳单元有限元模型Research on Load Stress in Bottom of Ultra-short Flexsplines of Harmonic DrivesLi Yifu1,2 Chen Xiaoxia1,2 Xing Jingzhong1,2 Chen Liang1,2(1 School of Mechanical Engineering,Tiangong University,Tianjin 300387,China)(2 Tianjin Key Laboratory of Modern Mechatronics Equipment Technology,Tiangong University,Tianjin 300387,China)Abstract In order to reveal the stress distribution law of a bottom of the ultra-short flexspline under load,a theoretical calculation method of the load equivalent stress of the bottom of the flexspline is proposed.The flexural and symmetrical deformation model of flexural cylinder under the action of wave generator is established,and the flexural normal stress and shear stress caused by assembly deformation and shear stress under the load torque are solved.Based on the Mises yield criterion,the theoretical expression of the load equivalent stress at the bottom of the flexspline is obtained.The finite element model is established and the theoretical solutions of the assembly and load stress at the bottom of the flexspline are verified numerically.The results show that the bending radial normal stress is the main stress of the assembly stress at the bottom of the flexspline cylinder;the maximum shear stress at the bottom of the flexspline under the rated torque is at 45;with the increase of the load torque,the maximum shear stress gradually passes to the fixed end,and the equivalent stress is evenly distributed at the fixed end.The shear stress at the maximum instantaneous allowable torque is the principal stress of the equivalent stress at the bottom of the flexspline,which provides guidance for the strength design of the bottom of the flexspline.Key words Ultra-short flexspline Load stress Assembly stress Finite element model of the shell element0 引言谐波齿轮传动主要应用于航空航天、仪器仪表、机器人等精密传动领域。谐波齿轮传动属于有预应力的结构。在传动中，随着超短筒柔轮长径比的减小，负载工况下，柔轮筒底在承受弯曲装配应力的基础上，同时承受由负载转矩引起的负载剪应力，使得筒底成为高应力区，易引起筒底断裂失效。因此，研究超短筒柔轮杯底的应力变化规律及影响因素至关重要。文章编号：1004-2539（2024）02-0017-07DOI：10.16578/j.issn.1004.2539.2024.02.00317第48卷陈博等1采用有限元将直角筒壁改为双圆弧形式，选用较短的轴向长度和最佳参数，从而减小了柔轮最大应力，提高了啮合效率。吴灿等2通过正交试验分析得知，柔轮的最大应力与疲劳寿命的薄弱点均位于长轴处齿圈后端、柔轮内壁前端以及柔轮筒底。刘铭杉3分析得到了柔轮不同结构参数对应力的影响趋势。柔轮负载对柔轮的应力有很大的影响。王玉玲等4发现，转矩的增大对柔轮最大位移影响较小，而最大应力随负载的增大而增大。Ianici等5通过对不同波发生器作用下的柔轮进行数值模拟，分析得知，最大等效应力随输出转矩的增大而增大。Li6通过有限元的方法分析了柔轮在不同转矩作用下对筒底应力的影响，通过编写有限元程序对筒底倒圆处的应力进行计算，并通过实验验证，得知转矩对筒底应力的影响较大，这也是引起筒底疲劳破坏的主要因素。邢静忠等7研究发现，随着柔轮长径比的减小，柔轮的筒底应力会急剧上升。为了减小超短筒柔轮筒底的最大应力，不少学者对筒底的最大应力进行了研究。陈仕杰等8基于参数敏感性分析，发现齿圈壁厚、筒体长度和齿宽对柔轮应力的影响较大。邢静忠等9采用三次样条函数表达出变厚度筒底柔轮参数化模型，通过编写复合形法APDL优化程序验证，降低了最高装配应力和负载应力。闫恒10将筒体和筒底设计为双圆弧形式，相比于长筒柔轮，最大应力降低了 12%，对柔轮的研发设计具有指导意义，但缺乏对筒底负载应力的理论研究。本文将柔轮筒底简化为中心固支圆板的弯曲对称模型，求解圆板在负载作用下的剪应力，并与柔轮筒底装配剪应力叠加获得柔轮筒底的负载剪应力；基于Mises屈服准则，对柔轮筒底的负载等效应力进行理论研究；通过有限元模型对理论计算得到的筒底装配应力、负载剪应力及等效应力进行仿真验证，为筒底的优化设计提供指导。1 筒底装配应力理论计算波发生器作用下的柔轮筒体产生的轴向位移会引起筒底的挠度变形，沿长短轴对称分布。柔轮筒底中心部分为凸台，用于柔轮整体的固定，且厚度远大于柔轮筒底的厚度，故将柔轮筒底简化为沿筒底凸台外缘固定的圆板固支模型。1.1筒底的挠度变形根据圆柱壳体半无矩理论和中线不伸长假定11，计算得到的椭圆波发生器作用下的柔轮筒体的轴向位移为w()=w0()-w0(/4)（1）其中，w0()=-12k00(aba2sin2+b2cos2-rm)dd式中，k为长径比，k=l/（2rm）；rm为柔轮筒体中性层极径；a、b分别为齿圈变形后中性层的长半轴、短半轴；为筒底极角；l为柔轮筒长；为柔轮齿圈极角；为柔轮轴向方向的法线转角。柔轮筒体的轴向位移使得筒底产生对称的挠度变形。在长轴位置处，向筒底方向弯曲；在短轴位置处，向杯口方向弯曲；在45位置处，挠度变形接近于0。沿极径方向，在筒底固定端处的挠度变形为0；随极径增大，挠度变形逐渐增大；在筒底边缘处的挠度变形达到最大值。按照中心固支圆板的对称弯曲变形模型，求解得到的装配状态下筒底的挠度变形为w1=f(r)w()（2）对于筒底挠度变形中关于极径的函数f（r）满足应力调和方程4f=0，对应力调和方程求通解得到函数f的表达式为f(r)=0+1r2r2m+2lnr+3r2r2mlnr（3）根据柔轮筒体与筒底的轴向位移连续条件及力平衡条件进行求解12。求解0、1、2、3等未知数所用到的边界条件为1）筒底圆环中心处为柔轮固定的位置，该处的挠度为0，筒底径向方向曲面的斜率为0。2）筒底与柔轮筒体连接边缘处的挠度变形与柔轮筒体的轴向位移相同，周向弯矩M为0。1.2筒底装配应力的理论计算挠度变形使得柔轮筒底产生了径向弯矩Mr和周向弯矩M以及转矩Mr和转矩Mr，引起图1所示的沿r方向的径向正应力和沿方向的周向正应力，分别为r和；径向和周向剪应力分别为r和r13。图1筒底变形力矩图Fig.1Deformation moment diagram of the bottom18第2期李义福，等：超短筒谐波齿轮柔轮筒底负载应力研究图 1中，t为筒底厚度；r为筒底任意位置处极径；T为转矩；Te为支反转矩。在极坐标系下，柔轮筒底装配状态下的正应力和剪应力分别为 r=-Et2(1-2)w2fr2+(wrfr+fr22w2)=-Et2(1-2)w2fr2+(wrfr+fr22w2)r=-Et2(1+)(1rfrw-fr2w)（4）式中，E为弹性模量；为泊松比。2 负载应力的计算2.1负载剪应力根据薄板圆盘受转矩作用下的静力学分析，转矩使柔轮产生的剪应力为层内应力，在同一极径处的筒底中心固支圆板上，切应力相等14。筒底任意位置处的剪应力为1=T2r2t（5）柔轮筒底为中心固定的圆盘，筒底受转矩作用产生的切应力与柔轮筒底装配状态下的挠度变形使得柔轮筒底产生的剪应力r方向相同（图1），则柔轮筒底的负载剪应力为2=r+1=-Et2(1+)1rf(r)rw()-f(r)r2w()+T2r2t（6）2.2负载等效应力根据Mises屈服准则，代入负载应力公式后求得的等效应力为eqv=12(r-)2+2r+2+622（7）负载等效应力与柔轮长径比 k、筒底的厚度 t、筒底的极径r、筒底的极角和转矩T有关。3 有限元仿真验证为验证本文方法，选取型号为CSG25-120的谐波齿轮减速器柔轮，对计算得到的应力结果进行有限元验证。建立长径比为0.3的柔轮有限元参数化模型（图2），模型主要数据如表1所示。为了缩短运行时间，采用壳单元SHELL63建立柔轮整体模型和椭圆凸轮波发生器模型。柔轮筒底的固定端为筒底凸台外缘，筒底和筒体连接处无倒圆。定义面面接触，固定柔轮筒底的凸台外径，求解获得柔轮筒底的应力。3.1装配应力的有限元验证为反映柔轮筒底装配应力随角度和极径的变化规律，提取筒底0、30、45和90下径向正应力和周向正应力，并与式（4）的理论计算结果对比，变化曲线分别如图3（a）和图3（b）所示。筒底剪应力在0和 90位置处的剪应力都接近于 0；提取 0、20和45下筒底剪应力如图3（c）所示。其中，横坐标极径15 mm表示固定端，30 mm表示筒底边缘。由图3可以看出，理论计算的柔轮筒底装配状态下的应力分布总体与有限元数值计算结果一致，表明本文理论计算方法的有效性。柔轮筒底的径向正应力和周向正应力从固定端到22 mm附近，理论计算与有限元结果吻合良好；在0、90路径上，柔轮筒体的轴向位移最大，从22 mm到筒底边缘处差异较大，这是由于筒底边缘处与柔轮筒体圆角连接，理论计算无法作为一个整体分析，因此，没有考虑柔轮筒底和筒体连接处的应力集中，有限元的解更接近于实际值。在有限元模型中，建立了筒底和筒体连接处倒圆半径为0.4 mm和无倒圆两种模型，在筒底边缘处应力值相差小于15%，在筒底固定端到筒底靠近边缘的位置应力值相差小于5%，表明了用图2壳单元有限元模型Fig.2Finite element model of the shell element表1柔轮主要参数Tab.1Main parameters of the flexspline齿圈中性层极径rm/mm30.685齿圈变形后中性层的长半轴a/mm31.03508.563 1齿圈宽l1/mm9齿圈变形后中性层的短半轴b/mm30.335135.812 1筒底固定端极径r0/mm15齿圈径向最大位移u0/mm0.352-4.329 4筒体和筒底厚度t/mm1k=0.3的柔轮筒长l/mm18.4113-8.339 419第48卷圆板模型计算柔轮筒底应力的有效性。图3中，径向正应力和周向正应力的最大值发生在长、短轴处，45处正应力最小为0；剪应力在45附近达到最大值，长、短轴处最小，接近于0。径向正应力和周向正应力随着筒底极径的增大逐渐减小，剪应力随着筒底极径的增大逐渐增大。径向正应力的最大值为 210 MPa；周向正应力和剪应力的最大值在 6570 MPa，约为径向正应力的 1/3。这表明径向正应力是装配状态下柔轮筒底的主要应力。3.2负载剪应力的有限元验证分别施加额定转矩 87 Nm 和瞬间容许最大转矩 395 Nm，在有限元模型的柔轮筒底上提取负载剪应力的有限元应力云图，与式（6）理论计算结果的应力云图做对比，如图4和图5所示。由图4可以看出，额定转矩作用下的柔轮筒底剪应力在45达到最大值，长、短轴处的剪应力较小；随极径的变化不明显。由图5可以看出，瞬间容许最（a）径向正应力（b）周向正应力（c）剪应力图3筒底装配应力随极径的变化曲线Fig.3Variation curves of assembly stress at the barrel bottom with pole diameters（a）理论（b）有限元图4额定转矩作用下的筒底剪应力云图Fig.4Nephogram of the shear stress at the barrel bottom under the rated torque（a）理论（b）有限元图5瞬间容许最大转矩下的筒底剪应力云图Fig.5Nephogram of shear stress at the barrel bottom under the instantaneous maximum allowable torque20第2期李义福，等：超短筒谐波齿轮柔轮筒底负载应力研究大转矩作用下的负载剪应力在筒底固定端最大；随极径的增大，负载应力逐渐减小，从0到90负载应力变化不明显。由图4和图5可以看出，柔轮筒底的剪应力理论值与有限元结果的最大偏差小于7%。在未装配柔轮筒底负载转矩下，最大剪应力在柔轮筒底固定端。随负载转矩增大，筒底剪应力增大，扭转剪应力逐渐成为主要应力。因此，最大值逐渐向筒底固定端靠近。图4和图5显示，0至90的剪应力分布关于45对称。为了更准确地表达额定转矩和瞬间容许最大转矩下剪应力随极径的变化关系，提取有限元模型上0、20和45位置处的筒底负载剪应力随极径变化结果，并与式（6）计算结果比较，如图6所示。由图 6可以看出，额定转矩作用下，长轴处筒底剪应力随极径的增大逐渐减小，从60 MPa减小到10 MPa左右；在 20和 45位置处负载应力先增大后减小，变化幅值不明显。瞬间容许最大转矩作用下，从固定端到筒底边缘，剪应力随筒底极径的增大而减小。长轴位置处剪应力从 260 MPa 减小到 84 MPa左右，减小约67.69%；20位置处剪应力从270 MPa减小到124 MPa左右，减小约54.07%；45位置处剪应力从 270 MPa 减小到 148 MPa 左右，减小约45.19%。3.3等效应力的有限元验证在额定转矩和瞬间容许最大转矩作用下，利用式（7）计算得到等效应力随角度和极径的变化规律，与有限元模型中相同位置处的等效应力做对比，等效应力云图分别如图7和图8所示。（a）理论（b）有限元图7筒底额定转矩等效应力云图Fig.7Nephogram of equivalent stress at the barrel bottom under the rated torque（a）理论（b）有限元图8筒底瞬间最大容许转矩等效应力云图Fig.8Nephogram of equivalent stress at the barrel bottom under the instantaneous maximum allowable torque（a）筒底0（b）筒底20（c）筒底45图6筒底负载剪应力随极径的变化规律Fig.6Variation law of load shear stress at the barrel bottom with the polar diameters21第48卷由图7可以看出，额定转矩作用下，长、短轴处的等效应力在筒底固定端处最大，在筒底的边缘处最小；筒底固定端的等效应力随角度增大先减小后增大，筒底边缘处等效应力随角度增大先增大后减小。由图8可以看出，瞬间容许最大转矩作用下，筒底固定端的等效应力最大，随极径的增大逐渐减小，随角度变化不明显。图7和图8显示，等效应力关于45对称。为反映等效应力随极径的变化趋势，用式（7）分别计算0、20和45位置的等效应力，并提取有限元模型相同位置的等效应力（图9）。由图9可以看出，额定转矩作用下，负载等效应力在不同角度位置处，从筒底固定端到筒底边缘随极径的变化规律各异，最大等效应力发生在筒底固定端的长、短轴附近；0和20位置处等效应力随极径的增大分别减小48%和35%左右；但在45位置处等效应力随极径的增大先增大后减小；瞬间容许最大转矩作用下，各极角位置的筒底等效应力都随极径增大逐渐减小，0、20和45位置处等效应力随极径的增大分别减小 72%、61%和 59%，最大等效应力发生在筒底固定端的长、短轴附近，随着极径的增大，在长、短轴位置处减小较快，在45位置处减小较缓，主要应力为筒底转矩作用下的剪应力。负载工况下，筒底的最大负载应力位置在筒底固定端，因此，减小固定端的应力可以有效增加柔轮筒底耐久度。有限元验证证明了柔轮筒底负载应力计算方法的有效性。本文提出的等厚度柔轮筒底应力的计算方法，设定厚度变化规律，同样适用于变厚度筒底的理论分析。4 结论1）基于力学方法建立了筒底的负载应力计算模型，提出了筒底负载应力和等效应力的计算方法。将柔轮筒底简化为中心固支圆板的弯曲对称模型，求解圆板在负载作用下的剪应力，并与柔轮筒底装配剪应力叠加获得柔轮筒底的负载剪应力；基于Mises屈服准则，对柔轮筒底的负载等效应力进行了理论研究。2）装配状态下的超短筒柔轮筒底正应力随筒底极径的增大而减小，剪应力随极径的增大而增大；径向正应力为最大应力，周向正应力和剪应力的最大值约为径向正应力的1/3；径向正应力为柔轮筒底装配应力的主要应力。3）额定转矩作用下，柔轮筒底剪应力在45处达到最大值，在长、短轴处的剪应力较小；随转矩的增大，筒底剪应力逐渐增大，且最大值逐渐转移到筒底固定端。4）瞬间容许最大转矩作用下，最大等效应力发生在筒底固定端的长、短轴附近，且随极径的增大，在长、短轴位置减小较快，在45位置减小较缓；主要应力为筒底转矩作用下的剪应力。5）有限元模型结果验证了理论计算模型的有效性，由于理论计算无法考虑筒体与筒底连接处倒圆的影响，在柔轮筒底的边缘处，有限元模型结果更能够反映柔轮实际应力状态。（a）筒底0（b）筒底20（c）筒底45图9筒底等效应力随极径的变化曲线Fig.9Variation curves of the equivalent stress at the barrel bottom with the polar diameters22第2期李义福，等：超短筒谐波齿轮柔轮筒底负载应力研究参考文献1陈博，闫恒，张建荣，等.筒形柔轮的结构优化与有限元分析 J.机械制造，2021，59（8）：21-24.CHEN Bo，YAN Heng，ZHANG Jianrong，et al.Structural optimization and finite element analysis of cylindrical flexspline J.Machinery，2021，59（8）：21-24.2吴灿，陶孟仑，陈定方，等.谐波减速器柔轮疲劳寿命及其力学性能分析 J.机械传动，2022，46（1）：115-119.WU Can，TAO Menglun，CHEN Dingfang，et al.Analysis on fatigue life and mechanical property of flexspline of 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