函数的间断点.doc

函数间断点求法两个基本步骤
1、间断点（不连续点）的判断
在做间断点的题目时，首要任务是将间断点的定义熟记于心。下面我们一起看一下教材上间断点的定义：

2、间断点类型的判断
找出函数的间断点后，然后判断间断点的类型，主要通过间断点的左右极限情况来划分：
（1）第一类间断点：在间断点处的左右极限都存在．可以分为以下两种：
①可去间断点：左右极限存在且相等；
②跳跃间断点：左右极限存在但不相等．
（2）第二类间断点：在间断点处的极限至少有一个不存在．经常使用到的，有以下两种形式的第二类间断点：
①无穷间断点：在间断点的极限为无穷大．
②振荡间断点：在间断点的极限不稳定存在．

▪间断点：
是f(x)的间断点，f(x)在点处的左右极限都存在为第一类间断点.
f(x)至少有一个不存在，则是f(x)的第二类间断点.
第一类间断点中
第二类间断点：无穷间断点，振荡间断点等.

下面通过一道具体的真题，说明函数间断点的求法：

函数的间断点
一、 函数的间断点
设函数在点的某去心邻域内有定义．在此前提下，如果函数有下列三种情形之一：
1．在没有定义；
2．虽在有定义，但不存在；
3．虽在有定义，且存在，但；
则函数在点为不连续，而点称为函数的不连续点或间断点．
下面我们来观察下述几个函数的曲线在点的情况，给出间断点的分类：
②

①

在连续． 在间断，极限为2．
③
④

在间断，极限为2． 在间断，
左极限为2，右极限为1．
⑥

在 间断

⑤

在间断，极限不存在．

像②③④这样在点左右极限都存在的间断，称为第一类间断，其中极限存在的②③称作第一类间断的可补间断，此时只要令，则在函数就变成连续的了；④被称作第一类间断中的跳跃间断．⑤⑥被称作第二类间断，其中⑤也称作无穷间断，而⑥称作震荡间断．
就一般情况而言，通常把间断点分成两类：如果是函数的间断点，但左极限及右极限都存在，那么称为函数的第一类间断点．不是第一类间断点的任何间断点，称为第二类间断点．在第一类间断点中，左、右极限相等者称为可去间断点，不相等者称为跳跃间断点．无穷间断点和振荡间断点显然是第二类间断点．
　　例1　确定a、b使在处连续．
解：在处连续
因为；；
所以时，在处连续．
　　例2　求下列函数的间断点并进行分类
1、
分析：函数在处没有定义，所以考察该点的极限．
解：因为 ，但在处没有定义
所以 是第一类可去间断点．
2、
分析：是分段函数的分段点，考察该点的极限．
解：因为 ，而
所以 是第一类可去间断点．
总结：只要改变或重新定义在处的值，使它等于，就可使函数在可去间断点处连续．
3、
分析：是分段函数的分段点，且分段点左右两侧表达式不同，考察该点的左、右极限．
解：因为 ；
所以 是第一类跳跃间断点．
4、
分析：函数在处没有定义，且左、右极限不同，所以考察该点的单侧极限．
解：因为 ；
所以 是第一类跳跃间断点．
5、
解：因为
所以 是第二类无穷间断点
6、
解： 极限不存在
所以 是第二类振荡间断点
7、求的间断点，并将其分类．
解：间断点：
当时，因，故是可去间断点．
当时，因，故是无穷间断点．
小结与思考：
本节介绍了函数的连续性，间断点的分类．
1、求
分析：通过极限运算，得到一个关于x的函数，找出分段点，判断．

解：因为；
所以是第一类跳跃间断点
因为；；
所以是连续点．