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第1.1章 数与式
1.1.1 绝对值
初中要求
1.借助数轴理解绝对值的意义，掌握求绝对值的方法，知道|a|的含义(这里a 表示有理数)
高中要求
1会求含绝对值的方程与不等式；
2 理解含绝对值的函数.
1.绝对值的概念
在数轴上，一个数所对的点与原点的距离叫做该数的绝对值.
绝对值的代数意义：正数的绝对值是它的本身，负数的绝对值是它的相反数，零的绝对值仍是零．即
|a|=&a， &a>0&0， &a=0&-a，& a<0
2. 绝对值的性质
(1)a≥0，a≥a， a≥-a；
(2)a=b⇔a=b或a=-b；
(3)a2=|a2=a2，ab=a∙b，ab=ab(b≠0)；
(4)三角不等式：a+b≤a+|b|，当且仅当a，b同号或其中一个为0时取等号.
3.解含绝对值的不等式
|x|<a(a>0)的解集是-a<x<a．
|x|>a(a>0)的解集是x<-a 或 x>a．(从几何的角度思考)
【题型1】 绝对值的几何意义
【典题1】 若x-y-22+2x+y-3=0，则x= ，y= .
【典题2】同学们都知道，|7-(-4)|表示7与-4之差的绝对值，实际上也可理解为7与-4两数在数轴上所对的两点之间的距离．|7-4|也可理解为7与4两数在数轴上所对的两点之间的距离．试探索：
(1)求|7-(-4)|= ．
(2)找出所有符合条件的整数x，使得|x-(-6)|+|x-2|=8这样的整数是 ．
(3)由以上探索猜想对于任何有理数x，|x-1|+|x-5|是否有最小值？如果有写出最小值请尝试说明理由．如果没有也要请尝试说明理由．
变式练习
1. 若x+y-2与|x-y-4|互为相反数，则2x-y= .
2.a、b、c三个数在数轴上位置如图所示，且|a|=|b|
(1)求出a、b、c各数的绝对值；
(2)比较a，-a、-c的大小；
(3)化简|a+b|+|a-b|+|a+c|+|b-c|．
3.设a=|x+1|，b=|x-1|，c=|x+3|，求a+2b+c的最小值。
【题型2】解含绝对值的方程
【典题1】 解方程：2x-1=x+1.
【典题2】 方程x2-3|x|+2=0解的个数 ( )
A. 1 B.2 C.3 D.4
变式练习
1. 解方程：x-3=2.
2.解方程：2x-1=x+1.
3.解方程：x-1+x+2=5.
【题型3】 解含绝对值的不等式
【典题1】解不等式3x+1<2
【典题2】解不等式2x-1<x+2.
【典题3】解不等式x-1>|x+2|.
变式练习
1.不等式x-2<3的解集是 .
2.若关于x的不等式kx-1≤5的解集是-3≤x≤2，则k的值是 ．
3. 解不等式x-1<x+2.
【题型4】含绝对值的函数
对于自变量x不同的取值范围有不同的解析式，这样的函数叫做分段函数.
比如狄利克雷函数函数y=1， x为有理数 0， x为无理数，y=x-1，&x≤0x2，&x>0等.
【典题1】画y=x+1+2x-3的函数图像，并求其最小值.
变式练习
1.对于任意实数x，若不等式|x+1|-|x-2|>k恒成立，则k的取值范围是 .
1. 下列叙述正确的是 ( )
A.若a=b，则a=b B. 若a>b，则a>b
C.若a<b，则a<b D. 若a=|b|，则a=±b
2.以下不等式中，与不等式1-x≥3同解的不等式是 ( )
A. 1-x≤±3 B. 1-x≤3
C. -3≤1-x≤3 D. x-1≥3 或 x-1≤-3
3.方程x2-2x-3=0解的个数 ( )
A. 1 B.2 C.3 D.4
4. a，b，c是∆ABC的三边，化简a+b-c+a-b-c= .
5.计算a|a|+b|b|+c|c|+abc|abc| 的值为 .
6.当x=x+2时，则代数式2x2020+5x-7= .
7.方程|x-4|+x-4=0的解的个数是 个.
8.不等式x-1>2的解集是 .
9.解方程：x-1+2x+1=5.
10.解不等式：|x-1|+|x-3|>4．
11.画出分段函数y=x+2+|x-3|的图像，并求其最小值.
12.结合数轴与绝对值的知识回答下列问题：
(1)数轴上表示4和1的两点之间的距离是 ；表示-3和2两点之间的距离是 ；一般地，数轴上表示数m和数n的两点之间的距离等于|m-n|．
(2)如果|x+1|=3，那么x= ；
(3)若|a-3|=2，|b+2|=1，且数a、b在数轴上表示的数分别是点A、点B，则A、B两点间的最大距离是，最小距离是 ．
(4)若数轴上表示数a的点位于-4与2之间，则|a+4|+|a-2|= ．
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