第26讲-复数(精讲)(新高考通用)原卷版.docx

【一轮复习讲义】2024年高考数学高频考点题型归纳与方法总结（新高考通用）
第26讲 复数（精讲）
题型目录一览
①复数的有关概念
②复数的四则运算
③复数的模长
④复数相等和共轭复数
⑤复数的几何意义
⑥复数的三角形式
一、知识点梳理

一、复数的概念
①复数的概念：形如a＋bi(a，b∈R)的数叫做复数，a，b分别是它的实部和虚部，叫虚数单位，满足
（1）当且仅当b＝0时，a＋bi为实数；
（2）当b≠0时，a＋bi为虚数；
（3）当a＝0且b≠0时，a＋bi为纯虚数．其中，两个实部相等，虚部互为相反数的复数互为共轭复数．
②两个复数相等（两复数对应同一点）
③复数的模：复数的模，其计算公式
二、复数的加、减、乘、除的运算法则
1、复数运算
（1）
（2）

其中，叫z的模；是的共轭复数．
（3）．
实数的全部运算律（加法和乘法的交换律、结合律、分配律及整数指数幂运算法则）都适用于复数．
2、复数的几何意义
（1）复数对应平面内的点；
（2）复数对应平面向量；
（3）复平面内实轴上的点表示实数，除原点外虚轴上的点表示虚数，各象限内的点都表示复数．
（4）复数的模表示复平面内的点到原点的距离．
三、复数的三角形式
（1）复数的三角表示式
一般地，任何一个复数都可以表示成形式，其中是复数的模；是以轴的非负半轴为始边，向量所在射线（射线）为终边的角，叫做复数的辐角．叫做复数的三角表示式，简称三角形式．
（2）辐角的主值
任何一个不为零的复数的辐角有无限多个值，且这些值相差的整数倍．规定在范围内的辐角的值为辐角的主值．通常记作，即．复数的代数形式可以转化为三角形式，三角形式也可以转化为代数形式．
（3）三角形式下的两个复数相等
两个非零复数相等当且仅当它们的模与辐角的主值分别相等．
（4）复数三角形式的乘法运算
①两个复数相乘，积的模等于各复数的模的积，积的辐角等于各复数的辐角的和，即
．
（5）复数三角形式的除法运算
两个复数相除，商的模等于被除数的模除以除数的模所得的商，商的辐角等于被除数的辐角减去除数的辐角所得的差，即．
【常用结论】
①当时，．
②

二、题型分类精讲

题型一 复数的有关概念
策略方法 解决复数概念问题的方法及注意事项
(1)求一个复数的实部与虚部，只需将已知的复数化为代数形式z＝a＋bi(a，b∈R)，则该复数的实部为a，虚部为b．
(2)复数是实数的条件：①z＝a＋bi∈R⇔b＝0(a，b∈R)；②z∈R⇔z＝；③z∈R⇔z2≥0．
(3)复数是纯虚数的条件：①z＝a＋bi是纯虚数⇔a＝0且b≠0(a，b∈R)；②z是纯虚数⇔z＋＝0(z≠0)；③z是纯虚数⇔z2＜0．

【典例1】（单选题）已知i为虚数单位，若复数是纯虚数，则实数a等于（    ）
A． B． C． D．2
【题型训练】
一、单选题
1．（2023春·贵州黔东南·高三校考阶段练习）复数的虚部为（    ）
A． B． C．2 D．16
2．（2023秋·广东惠州·高三统考阶段练习）已知复数满足，则的虚部是（    ）
A．2 B．2i C．1 D．i
3．（2023·湖南·校联考模拟预测）复数z满足，则z的实部是（    ）
A．－1 B．1 C．－3 D．3
4．（2023·辽宁辽阳·统考二模）复数，则复数的实部和虚部分别是（    ）
A．3，2 B．3，2i C．1，2 D．1，2i
5．（2023·陕西安康·陕西省安康中学校考模拟预测）设复数的实部与虚部互为相反数，则（    ）
A． B． C．2 D．3
6．（2023·江苏无锡·辅仁高中校考模拟预测）已知复数是纯虚数，则的值为（    ）
A． B．12 C． D．3
7．（2023·江苏盐城·盐城中学校考模拟预测）若复数是纯虚数，则（    ）
A．-2 B．2 C．-1 D．1

题型二 复数的四则运算
策略方法 复数代数形式运算问题的解题策略
(1)复数的加、减、乘法：复数的加、减、乘法类似于多项式的运算，可将含有虚数单位i的看作一类同类项，不含i的看作另一类同类项，分别合并即可．
(2)复数的除法：除法的关键是分子分母同乘以分母的共轭复数，使分母实数化．解题中要注意把i的幂写成最简形式．

【典例1】（单选题）若复数满足（为虚数单位），则（    ）
A． B． C． D．
【题型训练】
一、单选题
1．（2023春·湖南邵阳·高三统考学业考试）若复数（是虚数单位），则z=（    ）
A． B． C． D．
2．（2023·陕西商洛·镇安中学校考模拟预测）已知为虚数单位，则（    ）
A． B． C． D．
3．（2023·全国·高三专题练习）（    ）
A． B． C． D．
4．（2023春·重庆万州·高三重庆市万州第二高级中学校考阶段练习）若，则（    ）
A． B． C． D．
5．（2023·内蒙古赤峰·赤峰二中校联考模拟预测）若复数，则（    ）
A． B． C． D．
6．（2023·全国·高三专题练习）若复数，则（    ）
A． B． C． D．
7．（2023·新疆喀什·校考模拟预测）已知，则（    ）.
A． B． C． D．0
8．（2023·福建泉州·校联考模拟预测）若复数所对应的点在第四象限，且满足，则（    ）
A． B． C． D．

题型三 复数的模长
策略方法

【典例1】（单选题）已知复数满足，则（    ）
A． B． C． D．5
【题型训练】
一、单选题
1．（2023春·河北石家庄·高三石家庄二中校考阶段练习）已知复数，则（    ）
A． B．2 C． D．10
2．（2023秋·山西大同·高三统考阶段练习）已知复数满足，则（    ）
A． B． C． D．
3．（2023·重庆沙坪坝·重庆八中校考二模）若，，则（    ）
A． B． C．2 D．10
4．（2023·湖南长沙·周南中学校考二模）若复数，则（　  ）
A． B． C．4 D．5
5．（2023·山东菏泽·山东省鄄城县第一中学校考三模）已知为虚数单位，且复数满足，则（    ）
A．1 B．2 C． D．
6．（2023·四川·校联考模拟预测）（    ）
A．1 B． C． D．2
7．（2023·黑龙江·黑龙江实验中学校考三模）已知复数满足（其中为虚数单位），则复数的虚部为（    ）
A． B． C． D．
8．（2023·广东东莞·统考模拟预测）复数满足，则（    ）
A． B．
C． D．
9．（2023·全国·高三专题练习）已知复数，则（    ）
A． B．10 C． D．2
10．（2023·湖北武汉·统考三模）设复数满足为纯虚数，则（    ）
A． B． C． D．
11．（2023·江苏盐城·统考三模）已知，，虚数是方程的根，则（    ）
A． B． C．2 D．
12．（2023·福建漳州·统考模拟预测）复数满足，则（    ）
A． B． C． D．2

题型四 复数相等和共轭复数
策略方法 解决与集合的新定义有关问题的一般思路
(1)在只含有z的方程中，z类似于代数方程中的x，可直接求解；
(2)在z，，|z|中至少含有两个的复数方程中，可设z＝a＋bi，a，b∈R，变换方程，利用两复数相等的充要条件得出关于a，b的方程组，求出a，b，从而得出复数z．
(3)求一个复数的共轭复数，只需将此复数整理成标准的代数形式，实部不变，虚部变为相反数，即得原复数的共轭复数．复数z1＝a＋bi与z2＝c＋di共轭⇔a＝c，b＝－d(a，b，c，d∈R)．

【典例1】（单选题）已知为虚数单位，复数，其中a，，则（    ）
A．， B．， C．， D．，
【典例2】（单选题）若，则（    ）
A． B． C． D．
【题型训练】
一、单选题
1．（2023·陕西咸阳·武功县普集高级中学校考模拟预测）已知复数，若的共轭复数为，则（    ）
A． B．5 C． D．10
2．（2023·陕西西安·校考模拟预测）已知，则的值为（    ）
A． B．0 C．1 D．2
3．（2023·四川成都·四川省成都列五中学校考三模）已知复数z满足，则（    ）
A．1 B． C． D．2
4．（2023春·云南昆明·高三昆明一中校考阶段练习）已知复数，，则（   ）
A． B． C．1 D．2
5．（2023·山西大同·统考模拟预测）复数，则（    ）
A． B． C． D．
6．（2023春·安徽阜阳·高三安徽省临泉第一中学校考专题练习）已知复数，则（    ）
A． B． C． D．
7．（2023·全国·高三专题练习）已知i是虚数单位，设复数z的共轭复数为，则（    ）
A． B． C． D．
8．（2023·甘肃金昌·永昌县第一高级中学统考模拟预测）若复数满足，其中为虚数单位，则（    ）
A． B． C． D．
9．（2023·江西鹰潭·贵溪市实验中学校考模拟预测）已知复数，则的虚部为（    ）
A． B． C． D．
10．（2023·江西·统考模拟预测）已知i为虚数单位，若复数，则（    ）
A． B． C． D．
11．（2023·全国·高三专题练习）已知，则（    ）
A． B． C．0 D．1
12．（2023·陕西咸阳·统考模拟预测）若，其中，则（     ）
A． B． C． D．
13．（2023·全国·高三专题练习）已知复数是复数的共轭复数，则（    ）
A． B． C．4 D．2
14．（2023·广东广州·广州市从化区从化中学校考模拟预测）已知复数满足，则的共轭复数的虚部为（    ）
A．2 B． C．4 D．
15．（2023·江西·江西师大附中校考三模）已知复数满足（为虚数单位），则复数的虚部为（    ）
A．3 B． C． D．
16．（2023·山东烟台·统考三模）已知复数满足，则（    ）
A．1 B． C． D．2
17．（2023·河南郑州·统考模拟预测）已知（a，，i为虚数单位），则复数（    ）
A．2 B． C． D．6
18．（2023春·湖南·高三校联考阶段练习）复数，（为虚数单位），则（    ）
A． B． C． D．

题型五 复数的几何意义
策略方法 与复数几何意义相关的问题的一般解法

【典例1】（单选题）在复平面中，复数（为虚数单位）对应的点位于（    ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【题型训练】
一、单选题
1．（2023·黑龙江齐齐哈尔·齐齐哈尔市实验中学校考三模）已知复数，其中为虚数单位，则复数在复平面内所对应的点位于（    ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2．（2023秋·四川内江·高三期末）复数在复平面内对应的点所在的象限为（    ）
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
3．（2023·江苏·金陵中学校联考三模）已知复数z满足，则复数z在复平面内所对应的点位于（    ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
4．（2023·广东汕头·统考三模）已知复数z的共轭复数，则复数z在复平面内对应的点位于（    ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
5．（2023春·广东茂名·高三统考阶段练习）已知，则复数z在复平面内对应的点位于（    ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
6．（2023·河南开封·校考模拟预测）已知复数（是虚数单位），则在复平面内对应的点位于（    ）
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
7．（2023·陕西西安·陕西师大附中校考模拟预测）已知复数满足（其中为虚数单位），则复数在复平面上对应的点位于（    ）
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
8．（2023·吉林通化·梅河口市第五中学校考模拟预测）若复数，则复数在复平面内对应的点在（    ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
9．（2023·河南·襄城高中校联考三模）若复数在复平面内对应的点位于第二象限，则实数m的取值范围是（    ）
A． B．
C． D．
10．（2023·湖南常德·常德市一中校考模拟预测）已知复数与在复平面内对应的点关于实轴对称，则（    ）
A． B． C． D．
11．（2023·重庆万州·统考模拟预测）已知，则复数z在复平面上对应的点在（    ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
12．（2023·湖北武汉·华中师大一附中校考模拟预测）复数满足在复平面内对应的点为，则（    ）
A． B． C． D．
13．（2023·河南洛阳·洛宁县第一高级中学校考模拟预测）在复平面内，复数对应的点为，则（    ）
A．2 B．1 C． D．
14．（2023·河北唐山·唐山市第十中学校考模拟预测）已知，其中a，b为实数，则在复平面内复数对应的点位于（    ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

题型六 复数的三角形式
策略方法
一般地，任何一个复数都可以表示成形式，其中是复数的模；是以轴的非负半轴为始边，向量所在射线（射线）为终边的角，叫做复数的辐角．叫做复数的三角表示式，简称三角形式．

【典例1】（单选题）把复数化三角形式为（    ）
A． B．
C． D．
【题型训练】
一、单选题
1．（2023·全国·高三专题练习）欧拉公式（e为自然对数的底数，为虚数单位）由瑞士数学家Euler（欧拉）首先发现.它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，被称为“数学中的天桥”，则（    ）
A． -1 B．1 C．- D．
2．（2023·全国·高三专题练习）复数的辐角主值为（    ）
A． B． C． D．
3．（2023春·广东揭阳·高三校考阶段练习）欧拉是世纪数学界最杰出的人物之一，他不但为数学界作出贡献，更把数学推至几乎整个物理领域，其中欧拉公式的诸多公式中，(为自然对数的底数，为虚数单位)被称为“数学中的天桥”，将复数､指数函数､三角函数联系起来了.当时，可得恒等式（    ）
A． B． C． D．
4．（2023·全国·高三专题练习）已知复数的辐角为，的辐角为，则复数等于（    ）
A． B． C． D．
5．（2023·吉林·统考模拟预测）若复数（，），则把这种形式叫做复数z的三角形式，其中r为复数z的模，为复数z的辐角，则复数的三角形式正确的是（    ）
A． B．
C． D．
6．（2023·河南·统考模拟预测）欧拉公式把自然对数的底数e、虚数单位i、三角函数联系在一起，充分体现了数学的和谐美．若复数z满足，则的虚部为（    ）
A． B． C．1 D．
7．（2023·广东·校联考模拟预测）棣莫弗公式（为虚数单位）是由法国数学家棣莫弗（1667－1754）发现的，根据棣莫弗公式可知，已知复数，则的值是（    ）
A． B． C． D．
8．（2023·安徽安庆·安徽省桐城中学校考二模）复数与下列复数相等的是（    ）
A． B．
C． D．
9．（2023·全国·高三专题练习）设，，则（    ）
A． B． C． D．
10．（2023·全国·高三专题练习）棣莫弗公式（其中i为虚数单位）是由法国数学家棣莫弗（1667-1754年）发现的，根据棣莫弗公式可知，复数在复平面内所对应的点位于（    ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限