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第四章 数列
4.4 数学归纳法
4.4.2 数学归纳法的简单应用
一、教学目标
1、正确理解数学归纳法原理，培养不完全归纳法下的归纳、猜想与证明思维体系；
2、通过数学归纳法原理证明简单的猜想，如等式、不等式命题等.
二、教学重点、难点
重点：数学归纳法原理
难点：数学归纳法原理的应用.
三、学法与教学用具
1、学法：学生在老师的引导下，通过阅读教材，自主学习、思考、交流、讨论和概括，从而完成本节课的教学目标.
2、教学用具：多媒体设备等
四、教学过程
（一）创设情景，揭示课题
【回顾】
数学归纳法(mathematical induction)
（1）归纳奠基
证明当 时命题成立
（2）归纳递推
以“当时命题成立”为条件，
推出“当时命题也成立”.
由（1）（2）可知，命题对任何都成立.
【用途】数学归纳法用于解决关于正整数的猜想与命题.
（二）阅读精要，研讨新知
【例题研讨】阅读领悟课本例2、例3、例4（用时约为3-5分钟，教师作出准确的评析.）
例2用数学归纳法证明： ①
证明：（1）当时，①式的左边，右边, 所以①式成立.
（2） 假设当时，①式成立，即
所以时，
即当时，①式也成立.
由（1）（2）可知，①式对任何都成立.
例3已知数列满足，试猜想数列的通项公式，并用数学归纳法加以证明.
解：由，可得
由可得，同理可得
归纳上述结果，猜想 ①
下面用数学归纳法证明这个猜想.
（1）当时，①式的左边，右边, 猜想成立.
（2） 假设当时，①式成立，即
那么
即当时，猜想也成立.
由（1）（2）可知，猜想对任何都成立.
例4 设为正实数，为大于1的正整数，若数列
的前项和为，试比较与的大小，并用数学归纳法证明你的结论.
解法1：由已知可得
当时，,由，可得；
当时，,由，可得
由此，我们猜想，当且时，.
下面用数学归纳法证明这个猜想.
（1） 当时，由上述过程知，不等式成立.
（2） 假设当,且时，不等式成立，即，
由，可得，所以
于是
所以，当时， 不等式也成立.
由（1）（2）可知，不等式对任何大于1的正整数都成立.
解法2：显然，所给数列是等比数列，公比为，于是
当时，,由，可得；
当时，,由，可得
由此，我们猜想，当且时，.
下面用数学归纳法证明这个猜想.
（1） 当时，由上述过程知，不等式成立.
（2） 假设当,且时，不等式成立，即，
由，知
所以
又，所以
所以，当时，不等式也成立.
由（1）（2）可知，不等式对任何大于1的正整数都成立.
【小组互动】完成课本练习1、2、3、4，同桌交换检查，老师答疑.
【练习答案】
（三）探索与发现、思考与感悟
1. 设数列的前项和为,且对任意都有.
（1）求；
（2）猜想的表达式并予以证明.
解：（1）由已知，当时，，所以.
又.
（2）猜想.下面用数学归纳法证明:
①当时, ，猜想正确；
②假设当时,猜想正确,即,
那么,
即时,猜想也成立,
由①②可知，猜想对任何都成立.
2. 已知的三个内角分别对应于三边，其中三边长都是有理数.
（1）求证：是有理数；
（2）求证：对任意正整数是有理数.
解：（1）由为有理数及余弦定理知 是有理数.
（2）用数学归纳法证明和都是有理数.
①当时，由（1）知是有理数，从而有也是有理数.
②假设当时，和都是有理数.
当时，由，
，
由①和归纳假设，知和都是有理数.
即当时，结论成立.
由①、②可知，对任意正整数是有理数.
3. 用数学归纳法证明：对一切大于1的自然数，不等式成立．
证明：（1）当时，左边，右边，左边右边，不等式成立
（2）假设时不等式成立，即
那么，
即时不等式也成立．
由（1）（2）可知，对一切大于1的正整数不等式都成立.
（四）归纳小结，回顾重点
数学归纳法(mathematical induction)
（1）归纳奠基
证明当 时命题成立
（2）归纳递推
以“当时命题成立”为条件，
推出“当时命题也成立”.
由（1）（2）可知，命题对任何都成立.
（五）作业布置，精炼双基
1.完成课本习题4.4 4、5、6、7、8、9、10
2.阅读课本《小结》
3.逐步完成 复习参考题4
五、教学反思：（课后补充，教学相长）
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