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第04讲 空间向量及其运算的坐标表示
1．了解空间直角坐标系，能在空间直角坐标系中写出所给定点、向量的坐标．
2．掌握空间两点间距离公式.
3．会用向量的坐标解决一些简单的几何问题．
1空间向量的直角坐标系
(1) 空间直角坐标系中的坐标
在空间直角坐标系O−xyz中，对空间任一点A，存在唯一的有序实数组(x, y, z)，使 OA=xi+y j+z k，有序实数组(x, y, z)叫作向量A在空间直角坐标系中的坐标，记作 A(x, y, z)，x叫横坐标，y叫_________，z叫_________.
(2) 空间向量的直角坐标运算律
① 若a=(a1, a2, a3)，b=(b1, b2, b3)，
则a+b=a1+b1, a2+b2, a3+b3，a−b=a1−b1, a2−b2, a3−b3，
λa=(λa1, λa2, λa3) (λ∈R)，
a⋅ b=a1 b1+a2 b2+a3 b3，
a ||b ⇒ a1=λb1, a2=λb2, a3=λb3(λ∈ R)，
a⊥b=a1 b1+a2 b2+a3 b3=0，
② 若Ax1, y1, z1, Bx2, y2, z2 ，则 AB=_________.
③ 模长公式
若a=(a1, a2, a3)，则|a|=a⋅ a=a12+a22+a32.
④ 夹角公式
cos<a, b>=a⋅ ba⋅b=a1 b1+a2 b2+a3 b3a12+a22+a32 b12+b22+b32
∆ABC中,AB⋅ AC>0⇒ A为锐角,AB⋅ AC<0⇒ A为钝角.
⑤ 两点间的距离公式
若A(x1, y1, z1), B(x2, y2, z2)
则|AB|=AB2=x2−x12+y2−y12+z2−z12
或dAB=x2−x12+y2−y12+z2−z12.
2 建立直角坐标系的方法
(1) 利用共顶点的互相垂直的三条棱构建直角坐标系
(2) 利用线面垂直关系构建直角坐标系
(3) 利用面面垂直关系构建直角坐标系
3 确定空间直角坐标系中点坐标的方法
求点的坐标和设点坐标的方法是一致的，常见方法具体如下
(1) 射影法
看所求点分别在x,y,z轴的投影对应的数值.
如求点P横坐标x，过点P作PP1⊥平面xoy，再过点P1作P1P2⊥x轴，看点P2对应数值即是x；
或直接构造长方体OP，即求出线段P1P3、P1P2、、PP1长度，再注意下正负号可得点B坐标.
(2) 公式法
对中点、n等分点、重心等点可用公式求解；
若点Ax1,y1,z1,Bx2,y2,z2,Cx3,y3,z3，
则线段AB的中点坐标(x1+x22,y1+y22,z1+z22)；三角形ABC的重心(x1+x2+x33,y1+y2+y33,z1+z2+z33)；
点P在线段AB上且AP=λPB，则P(x1+λx21+λ,y1+λy21+λ,z1+λz21+λ).
(3) 向量法
(i) 利用平行、垂直关系求某向量的坐标，再求点坐标；
(ii) 利用三角形法则或平行四边形法则，求出某向量的坐标，再求点坐标；
(iii) 三点共线问题：如若点Ax1,y1,z1,Bx2,y2,z2，若点C在线段AB上，则可设AC=λAB，利用待定系数法Cx,y,z求出x,y,z！
(4) 几何法：把空间问题转化为平面问题，常见于利用相似三角形的性质.
(5) 待定系数法：设点P(x,y,z)，利用已知条件求出x,y,z.
(6) 函数法：常用于设动点坐标；
动点P(a,b,c)在定直线AB上，把AB投影到空间坐标系中某个平面，如投影平面xoy，得到投影直线A'B'方程，从而达到动点P投影P'(a,b)中a,b的关系.
以上的方法其实也是相通的，也还存在其他一些灵活的处理方法(比如平移法等)，都需要理解再灵活运用.
【题型 1 建立直角坐标系的方法】
利用共顶点的互相垂直的三条棱构建直角坐标系
【典题1】 如图，已知直四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AA1=2，底面ABCD是直角梯形，∠A为直角，AB∥CD，AB=4，AD=2，DC=1，求异面直线BC1与DC所成角的余弦值．
利用线面垂直关系构建直角坐标系
【典题2】 如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，AB⊥侧面BB1C1C，E为棱CC1上异于C、C1的一点，EA⊥EB1．已知AB=2，BB1=2,BC=1，∠BCC1=π3．求二面角A－EB1－A1的平面角的正切值．
利用面面垂直关系构建直角坐标系
【典题3】 如图，在四棱锥V－ABCD中，底面ABCD是正方形，侧面VAD是正三角形，平面VAD⊥底面ABCD．求面VAD与面VDB所成的二面角的余弦值．
【点拨】
① 同一道题目中建系的方法不是唯一，是优是劣取决于关键点的坐标是否好求；
② 建系最根本的想法是找到两两垂直的三线，多关注题中有垂直关系的量，
(1) 垂直关系：长方体模型、等腰三角形的三线合一、菱形对角线相互垂直等；
(2) 若有线面垂直，则可考虑该面为平面xOy、xOz、yOz之一；
(3) 若有面面垂直，则可考虑两面为平面xOy、xOz、yOz其中两个.
③ 若是分别以OA、OB、OC所所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系，则要先证明OA、OB、OC三线两两垂直，需要严谨些，不能想当然.
巩固练习
1.如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，A1B1=A1C1，F为B1C1的中点，D，E分别是棱BC，CC1上的点，且AD⊥BC，如何建立空间直角坐标系呢？
2 .如图，已知四棱锥P－ABCD的底面ABCD为等腰梯形，AB∥DC，AC⊥BD，AC与BD相交于点O，且顶点P在底面上的射影恰为O点，如何建立空间直角坐标系呢？
3 .如图，三棱锥V－ABC的侧棱长都相等，底面ABC与侧面VAC都是以AC为斜边的等腰直角三角形，如何建立空间直角坐标系呢？
【题型 2 确定空间直角坐标系中点坐标的方法】
情况1 求点的坐标
【典题1】 在平行六面体ABCD−A1B1C1D1中，底面ABCD是矩形，AB=4， AD=2， 平行六面体高为23，顶点D在底面A1B1C1D1的射影O是C1D1中点，设△AB1D1的重心G，建立适当空间直角坐标系并写出下列点的坐标.
(1) A1 、 B1 、A、 D1；
(2) G；
(3) B；
(4)若N为DD1上点，且ON⊥ DD1写出N坐标；
【点拨】
(1)射影法：看所求点分别在x,y,z轴的投影对应的数值；
一般地，点在平面xOy、xOz、yOz或易得点在x、y、z轴的投影均适合射影法；
② 公式法：对中点、n等分点、重心等点可用公式求解；
③ 向量法：常用于涉及到平行、垂直、共线等向量关系中的点.
各方法之间也是相通的，需要理解再灵活运用.
【典题2】 如图，矩形ABCD中，2BC=CD，E为CD的中点，以BE为折痕把四边形ABED折起，使A达到P的位置，且PC⊥BC, M，N，F分别为PB，BC，EC的中点．建系求点P的坐标.
情况2 设点坐标
【典题3】 长方形ABCD中，AB=2AD，M是CD中点(图1)，将∆ADM沿AM折起，使得AD⊥BM(图2)在图2中
(1)求证：平面ADM⊥平面ABCM；
(2)在线段BD上是否存点E，使得二面角E−AM−D的余弦值为55，说明理由．
【点拨】
① 本题在处理“点E在线段BD上”这一条件时，想设点Ea,b,c找到a,b,c的关系，介绍了向量法和函数法，而向量法引入变量λ表示a,b,c，而函数法变量是a，用其表示b,c便可；
② 有时也可用几何法相似求解，
比如在方法2中求E(a,b,c)中b、c的关系，
如下图，过点D''、E分别作D''H⊥x轴，EG⊥x轴，
由∆D''HB''~∆EGB''得D''HEG=B''HB''G⇒1c=32(1−b)⇒c=−23b+23.
巩固练习
1 (★★) 一张平行四边形的硬纸ABC0D中，AD=BD=1，AB=2.沿它的对角线BD折起，使点C0到达平面外C点的位置.若cos∠CAB=34，建系求点C的坐标.
【答案】 ，如图建系，则C12, 1, 32 .
2(★★) 四棱锥S−ABCD中，AB∥CD，BC⊥CD，侧面SAB为等边三角形，AB=BC=2，CD=SD=1.建系求点S的坐标.
【答案】 ，如图建系，则S(1,12,32).
3(★★) 在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD垂直于底面ABCD，PD=DC,E是PC的中点，F在PB上，若EF⊥PB于点F，试求点F的坐标.
一、单选题
1．（2022·山西·校联考二模）已知，，且，则的值是（ ）
A．6 B．5 C．4 D．3
2．（2022·江苏南通·校联考模拟预测）已知正六棱柱的底面边长为1，是正六棱柱内（不含表面）的一点，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题
3．（2022·浙江·校联考模拟预测）我国近代数学家苏步青主要从事微分几何学和计算几何学等方面的研究，在仿射微分几何学和射影微分几何学等研究方面取得了出色成果．他的主要成就之一是发现了四次代数锥面：对于空间中的点P（x，y，z），若其坐标满足关于x，y， z的四次代数方程式，称点P的轨迹为四次代数曲面．若点K（1，k，0）是四次曲面：上的一点，则k＝___．
4．（2022·上海杨浦·上海市控江中学校考三模）设正四面体在空间直角坐标系中点的坐标为，集合{y|存在，使得}，则集合A的元素个数可能为__________种.（写出所有可能的值）
5．（2023·浙江金华·浙江金华第一中学校考三模）已知，，是空间两两垂直的单位向量，，且，则的最小值为________．
6．（2021·上海静安·统考二模）如下图，以长方体的顶点D为坐标原点，过D的三条棱所在的直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，若的坐标为，则的坐标为_________.
7．（2022·上海·统考二模）已知点，，C为线段AB的中点，则向量的坐标为______．
一、单选题
1．（2022秋·广东梅州·高二校联考阶段练习）在空间直角坐标系中，点关于原点对称点的坐标为（ ）
A． B．
C． D．
2．（2022·高二课时练习）在空间直角坐标系 中，若 轴上点 到两点 ， 的距离相等，则点的坐标为 （ ）
3．（2023春·福建宁德·高二校联考期中）已知，，，若，，三向量共面，则实数等于（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
4．（2019秋·辽宁大连·高二校联考期末）设是边长为的正方体，与相交于点，则有
A． B．
C． D．
5．（2018·高三单元测试）已知，则x等于( )
A．(0,3，－6) B．(0,6，－20)
C．(0,6，－6) D．(6,6，－6)
6．（2018·高二课时练习）在棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中,AC1和BD1相交于点O,则有( )
A．=2a2 B．a2
C．a2 D．=a2
二、多选题
7．（2023·全国·高二专题练习）如图，在正三棱柱中，已知的边长为2，三棱柱的高为的中点分别为，以为原点，分别以的方向为轴､轴､轴的正方向建立空间直角坐标系，则下列空间点及向量坐标表示正确的是（ ）
A． B．
C． D．
8．（2021·高二课时练习）（多选）正方体的棱长为2，M为的中点，下列命题中正确的是（ ）
A．与成60°角
B．若，面交于点E，则
C．P点在正方形边界及内部运动，且，则P点的轨迹长等于
D．E，F分别在上，且，直线与，所成角分别是，，则
三、填空题
9．（2012春·浙江宁波·高二统考期中）已知，，设在线段上的一点满足，则向量的坐标为________．
10．（2023秋·湖南益阳·高二统考期末）如下图，以长方体的顶点D为坐标原点，过D的三条棱所在的直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，若的坐标为，则的坐标为_________.
11．（2017·高一课时练习）已知点关于坐标平面的对称点为，点关于坐标平面的对称点为，点关于轴的对称点为，则点的坐标为________．
12．（2021·高二课时练习）已知，，，，点在直线上运动，当取最小值时，点的坐标是______
四、解答题
13．（2021·高二课时练习）已知，，．求：
（1）；
（2）．
14．（2020秋·上海杨浦·高二复旦附中校考阶段练习）在平面直角坐标系中，已知点
（1）证明：存在点使得，并求的坐标；
（2）过点的直线将四边形分成周长相等的两部分，求该直线的方程.
15．（2019秋·海南三亚·高二校考期中）若.
（1）若，求实数k的值；
（2）若，求实数k的值；
16．（2021·高二课时练习）已知空间三点A(0,2,3)，B(－2,1,6)，C(1，－1,5)．
(1)若，且分别与，垂直，求向量的坐标；
(2)若∥，且，求点P的坐标．
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