第13讲-直线与圆、圆与圆的位置关系(原卷版).docx

第13讲 直线与圆、圆与圆的位置关系

1.能根据给定直线、圆的方程,判断直线与圆、圆与圆的位置关系.
2.能用直线和圆的方程解决一些简单的数学问题与实际问题.

1.直线与圆的位置关系
(1) 三种位置关系

(2) 根据d与r的关系判断(d为圆心到直线的距离，r为圆的半径.)
u 相离⇔ 公共点 ⇔ d>r;
u 相切⇔ 公共点 ⇔ d=r;
u 相交⇔ 公共点 ⇔ d<r.

(3) 联立方程求判别式的方法
联立直线方程与圆的方程A x+B y+C=0 x2+y2+D x+E y+F=0求解，通过解的个数来判断：
u 当Δ>0 时，直线与圆有 ，直线与圆相交；
u 当Δ=0 时，直线与圆 ，直线与圆相切；
u 当Δ<0 时，直线与圆 ，直线与圆相离.
(4) 圆上一点到圆外一直线的距离
若直线l与圆⊙O相离，圆上一点P到直线l的距离为PE，d为圆心O到直线l的距离，
r为圆半径，则PEmin=P1F=d−r，PEmax=P2F=d+r.

2.圆与圆的位置关系
设圆O1:(x-a1)2+(y-b1)2=r12(r1>0)，圆O2:(x-a2)2+(y-b2)2=r22(r2>0).
位置
关系
方法
公切线
条数
几何法:圆心距d与r1,r2的关系
代数法:联立两圆方程组成方程组的解的情况
外离
d>
无解
4
外切
d=
一组实数解
3
相交
|r1-r2|<d<
两组不同的实数解
2
内切
d=|r1-r2|(r1≠r2)
一组实数解
1
内含
0≤d<|r1-r2|(r1≠r2)
无解
0

1.圆的切线方程常用结论
(1)过圆x2+y2=r2(r>0)上一点P(x0,y0)的圆的切线方程为x0x+y0y=r2.
(2)过圆x2+y2=r2外一点M(x0,y0)作圆的两条切线,则两切点所在直线方程为x0x+y0y=r2.
2.当两圆外切时,两圆有一条内公切线,该公切线垂直于两圆圆心的连线;当两圆内切时,两圆有一条外公切线,该公切线垂直于两圆圆心的连线.
无论两圆外切还是内切,将两圆方程(方程等号右边是0的形式),左右两边直接作差,消去x2,y2得到两圆的公切线方程.
3.两圆相交时公共弦的性质
圆C1:x2+y2+D1x+E1y+F1=0 (D12+E12-4F1>0)与C2:x2+y2+D2x+E2y+F2=0 (D22+E22-4F2>0)相交时:
(1)将两圆方程直接作差,消去x2,y2得到两圆公共弦所在直线方程;
(2)两圆圆心的连线垂直平分公共弦;
(3)x2+y2+D1x+E1y+F1+λ(x2+y2+D2x+E2y+F2)=0(λ∈R)表示过两圆交点的圆系方程(不包括C2).

【题型 1直线与圆的位置关系】

【典题】（1） 求过点P(−1,4)，圆x−22+y−32=1的切线l的方程． 

【典题】（2） 若圆C：x2+y2−2x+2y=2与直线x−y+a=0有公共点，则a的取值范围是　　 ．

【典题】（3）已知圆C：(x−3)2+(y−3)2=3，过直线3x−y−6=0上的一点P作圆C的两条切线PA，PB，切点分别为A，B，则cos∠APB的最小值为　 ．

【典题】（4） 已知两点A(−1,0)、B(0,2)，若点P是圆x−12+y2=1上的动点，则△ABP面积的最大值和最小值之和为　　 ．

巩固练习
1. 已知过点P(2,2)的直线l与圆x−12+y2=5相切，则直线l的斜率为(　　)
A．1 B．12 C．2 D．−12

2. 点M(x0,y0)在圆x2+y2=R2外，则直线x0x+y0y=R2与圆的位置关系是(　　)
A．相切 B．相交 C．相离 D．不确定

3. 已知圆C：x2+y2−2y=0，P为直线l：x−y−2=0上任一点，过点P作圆C的切线PT(T为切点)，则|PT|最小值是　 　．

4. 【多选题】已知点P在圆x−52+y−52=16上，点A(4,0),B(0,2)，则(　　)
A．点P到直线AB的距离小于10 B．点P到直线AB的距离大于2
C．当∠PBA最小时，|PB|=32 D．当∠PBA最大时，|PB|=32

5. 直线x+y+a=0与半圆y=−1−x2有两个交点,则a的值是　 　．

6.若圆x2+y2−2x−2y=0上至少有三个不同点到直线l：y=kx的距离为22，则k的取值范围　 　．

7.已知P(x,y)是圆x−12+y−22=r2(r>0)上任意一点，若|3x−4y|+|3x−4y+16|是定值，则实数r的取值范围是　 　．

【题型 2 圆与圆的位置关系】
【典题】已知两圆x2+y2-2x+10y-24=0和x2+y2+2x+2y-8=0.
(1)判断两圆公切线的条数;
(2)求公共弦所在的直线方程以及公共弦的长度.

知识点加深：
（1）本题中,若两圆相交于A,B两点,不求交点,求线段C1C2的垂直平分线所在的直线方程.

（2） 本例中的两圆若相交于两点A,B,求经过两点A,B且圆心在直线x+y=0上的圆的方程.

巩固练习
2.若圆C1:(x+1)2+y2=2与圆C2:x2+y2-4x+6y+m=0内切,则实数m等于(　　)

A.-8 B.-19 C.-5 D.6

3.已知圆O1:x2-2ax+y2+a2-1=0与圆O2:x2+y2=4有且仅有两条公切线,则正数a的取值范围为(　　)

A.(0,1) B.(0,3) C.(1,3) D.(3,+∞)

6.若圆C:x2+(y-4)2=18与圆D:(x-1)2+(y-1)2=R2的公共弦长为62,则圆D的半径为(　　)

A.5 B.25 C.26 D.27

9.(2022·天津一模)已知圆M与圆C:x2+y2+10x+10y=0相切于原点,且过点A(0,-6),则圆M的标准方程为　　　　　　. 

一、单选题
1．（2004·湖北·高考真题）两个圆与的公切线有且仅有（　　）
A．1条 B．2条 C．3条 D．4条

2．（2005·辽宁·高考真题）若直线按向量平移后与圆相切，则c的值为（    ）
A．8或 B．6或 C．4或 D．2或

3．（2002·北京·高考真题）圆与直线的位置关系是（    ）
A．相交 B．相切 C．相离 D．不能确定
4．（2004·安徽·高考真题）若直线与圆有两个不同的交点，则a的范围是（    ）
A． B． C． D．

5．（2006·湖南·高考真题）圆上的点到直线的最大距离与最小距离的差是（    ）
A．36 B．18 C． D．

6．（2008·山东·高考真题）已知圆的方程为，设该圆过点的最长弦和最短弦分别为AC和BD，则四边形ABCD的面积为（    ）
A． B．
C． D．

7．（2015·山东·统考高考真题）“圆心到直线的距离等于圆的半径”是“直线与圆相切”的（    ）
A．充分没必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

8．（2002·全国·高考真题）直线与圆相切，则的值为（    ）
A． B． C． D．

二、多选题
9．（2021·全国·统考高考真题）已知直线与圆，点，则下列说法正确的是（    ）
A．若点A在圆C上，则直线l与圆C相切 B．若点A在圆C内，则直线l与圆C相离
C．若点A在圆C外，则直线l与圆C相离 D．若点A在直线l上，则直线l与圆C相切

三、填空题
10．（2023·全国·统考高考真题）已知直线与交于A，B两点，写出满足“面积为”的m的一个值 ．

11．（2005·北京·高考真题）若圆与直线相切，且其圆心在y轴的左侧，则m的值为 ．

12．（2002·北京·高考真题）已知P是直线上的动点，是圆的两条切线，A，B是切点，C是圆心，那么四边形面积的最小值为 ．

13．（2022·天津·统考高考真题）若直线与圆相交所得的弦长为，则 ．

14．（2022·全国·统考高考真题）设点，若直线关于对称的直线与圆有公共点，则a的取值范围是 ．

15．（2022·全国·统考高考真题）写出与圆和都相切的一条直线的方程 ．

16．（2021·天津·统考高考真题）若斜率为的直线与轴交于点，与圆相切于点，则 ．

一、单选题
1．过圆上一点作圆的两条切线，切点分别为，若，则（    ）
A．1 B． C． D．

2．若圆上存在点，直线上存在点，使得，则实数的取值范围为（    ）
A． B． C． D．

3．若圆心在x轴上，半径为2的圆C位于y轴左侧，且与直线相切，则圆C的方程是（    ）
A． B．
C． D．

4．过作圆 :的两条切线，切点分别为两点，则两点间的距离为（ ）
A． B． C． D．

5．已知圆上有三个点到直线的距离等于1，则的值为（    ）
A． B． C． D．1

6．已知是直线上的动点，是圆的切线，是切点，是圆心，那么四边形PACB面积的最小值是（    ）
A． B． C． D．

二、多选题
7．若圆上恰有相异两点到直线的距离等于，则的取值可以是（    ）
A． B． C． D．

8．以下四个命题表述正确的是（    ）
A．一定表示圆
B．圆上有且仅有4个点到直线的距离都等于1
C．圆上有且仅有2个点到直线的距离都等于1，则
D．圆与圆相交，交线方程为

三、填空题
9．已知直线：与圆相切，则的值是 .

10．已知点和圆，自点P引圆的割线，所得弦长为，则割线所在的直线方程为 .

11．若抛物线在点（1,2）处的切线也与圆相切，则实数的值为 .

12．如图，在边长为的正三角形内部的两圆，圆与圆外切，且圆与两边相切，圆与两边相切，则两圆的周长之和的最小值为 ．

四、解答题
13．在下列所给的三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并加以解答．
①过（－1，2）；②与直线平行；③与直线垂直．
问题：已知直线过点M（3，5），且______．
(1)求的方程；
(2)若与圆相交于点A、B，求弦AB的长．

14．已知圆内有一点，过点P作直线l交圆C于A、B两点．
（1）当l经过圆心C时，求直线l的方程；
（2）当弦AB最短时，求直线l的方程．

15．已知圆经过点和点，且圆心在直线上.
(1)求圆的标准方程；
(2)若过点的直线与圆相交于，两点，且，求直线的方程.

16．已知圆和直线相切于点.
(1)求圆的标准方程及直线的一般式方程；
(2)已知直线经过点，并且被圆截得的弦长为，求直线的方程.