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第四章 抛体运动
章末总结
【要点归纳】
一、曲线运动的合力、轨迹、速度之间的关系
1．轨迹特点：轨迹在速度方向和合力方向之间，且向合力方向一侧弯曲．
2．合力的效果：合力沿切线方向的分力改变速度的大小，沿径向的分力改变速度的方向，如下图所示的两个情景．

(1)当合力方向与速度方向的夹角为锐角时，物体的速率将增大；
(2)当合力方向与速度方向的夹角为钝角时，物体的速率将减小；
(3)当合力方向与速度方向垂直时，物体的速率不变．
二、小船渡河和牵连速度问题的分析
1．小船渡河过程中，随水漂流和划行这两个分运动互不干扰，各自独立而且具有等时性．因此只要分运动时间最短，则合运动时间最短，即船头垂直指向对岸渡河时间最短，tmin＝.航程最短，则要求合位移最小．当v水<v船时，合运动的速度可垂直于河岸，最短航程为河宽．当v水>v船时，船不能垂直到达河岸，但仍存在最短航程，当v船与v合垂直时，航程最短，xmin＝d.
2．跨过定滑轮拉绳(或绳拉物体)运动的速度分解
物体运动的速度为合速度v，物体速度v在沿绳方向的分速度v1就是使绳子拉长或缩短的速度，物体速度v的另一个分速度v2就是使绳子摆动的速度，它一定和v1垂直．
三、抛体运动的规律及应用
1．平抛运动的研究方法及其规律
(1)研究方法：根据运动的合成与分解，可将平抛运动分解为水平方向的匀速直线运动和竖直方向的自由落体运动来进行研究．
(2)平抛运动规律
①

位移：若以初速度v0水平抛出，以抛出点为坐标原点，水平方向为x轴，竖直方向为y轴，如图所示，则经时间t的位移为
时间t内物体的位移为s＝＝
tan θ＝＝
②速度某点的瞬时速度为v＝＝
tan α＝＝
③平抛运动轨迹是抛物线由(a)(b)两式消去t得y＝x2
④飞行时间由(b)式得t＝ ＝
物体做平抛运动的飞行时间t仅由抛出点的高度h决定，与抛出时的初速度v0无关．
⑤水平位移x＝v0t＝v0
物体做平抛运动的水平位移x由v0和高度h共同决定．在h一定时，x仅由v0决定．
⑥速度变化量：Δv＝gΔt.

平抛运动的物体在任意一段时间内的速度变化量方向竖直向下，其中v0、Δv、v三个矢量经过平移可构成直角三角形，如图所示．
⑦平抛运动速度偏向角与位移偏向角的关系
位移偏向角θ：tan θ＝＝
速度偏向角α：tan α＝＝
所以tan α＝2tan θ
2．抛体运动规律的比较
内容运动形式项目
平抛运动
斜抛运动
定义
将物体以一定的水平初速度抛出，物体只在重力作用下的运动
将物体以倾斜的初速度抛出，物体只在重力作用下的运动
分运动
及规律
(1)水平方向：物体做匀速直线运动，vx＝v0，x＝v0t
(2)竖直方向：初速度为零，物体做自由落体运动
vy＝gt，y＝
v合＝
tan α＝＝
位移l＝
tan θ＝＝
(1)水平方向：物体做匀速直线运动
vx＝v0cos α
x＝v0tcos α
(2)竖直方向：初速度不为零，物体做匀变速直线运动
vy＝v0sin α±gt
y＝v0tsin α±
v合＝
运动轨迹
由x＝v0t，y＝消去t得y＝，因g和v0为常数，所以轨迹为抛物线

轨迹也是抛物线

四、利用平抛运动的轨迹解题
平抛运动的轨迹是一条抛物线，已知抛物线上的任意一段，就可求出水平初速度和抛出点，其他物理量也就迎刃而解了．设图4为某小球做平抛运动的一段轨迹，在轨迹上任取两点A和B，分别过A点作竖直线，过B点作水平线，两直线相交于C点，然后过BC的中点D作垂线交轨迹于E点，过E点再作水平线交AC于F点，则小球经过AE和EB的时间相等，设为单位时间T.

由竖直方向上的匀变速直线运动得FC－AF＝gT2，所以T＝ ＝
由水平方向上的匀速直线运动得v0＝＝EF
由于小球从抛出点开始在竖直方向上做自由落体运动，在连续相等的时间内满足h1∶h2∶h3∶…＝1∶3∶5∶….因此，只要求出的值，就可以知道AE和EB是在哪个单位时间段内．
【考点整合】
【考点一】 小船过河问题
【典型例题1】 如图所示，河水由西向东流，河宽为800 m，河中各点的水流速度大小为v水，各点到较近河岸的距离为x，v水与x的关系为v水＝x(m/s)(x的单位为m)，让小船船头垂直河岸由南向北渡河，小船划水速度大小恒为v船＝4 m/s，则下列说法正确的是(　　)

A．小船渡河的轨迹为直线
B．小船在河水中的最大速度是5 m/s
C．小船在距南岸200 m处的速度小于在距北岸200 m处的速度
D．小船渡河的时间是160 s
【解析】 小船在南北方向上为匀速直线运动，在东西方向上先加速，到达河中间后再减速，小船的合运动是曲线运动，选项A错误；当小船运动到河中间时，东西方向上的分速度最大，此时小船的合速度最大，最大值vm＝5 m/s，选项B正确；小船在距南岸200 m处的速度等于在距北岸200 m处的速度，选项C错误；小船的渡河时间t＝200 s，选项D错误。
【答案】 B
【考点二】 运动的合成与分解
【典型例题2】 手持滑轮把悬挂重物的细线拉至如图所示的实线位置，然后滑轮水平向右匀速移动，运动中始终保持悬挂重物的细线竖直，则重物运动的速度(　　)

A．大小和方向均不变 B．大小不变，方向改变
C．大小改变，方向不变 D．大小和方向均改变
【解析】 滑轮向右运动，使水平部分的细线延长，重物上升，所以重物同时参与了两个分运动：随滑轮向右匀速运动和向上由于细线缩短的匀速运动。因此两个方向上的匀速运动合成为重物的运动，也是匀速的，故A正确，B、C、D错误。
【答案】 A
【考点三】 抛体运动问题
【典型例题3】 如图所示，一演员表演飞刀绝技，由O点先后抛出完全相同的3把飞刀，分别依次垂直打在竖直木板M、N、P三点上．假设不考虑飞刀的转动，并可将其视为质点，已知O、M、N、P四点距离水平地面高度分别为h、4h、3h、2h，以下说法正确的是(　　)

A．3把飞刀在击中木板时动能相同
B．到达M、N、P三点的飞行时间之比为1∶∶
C．到达M、N、P三点的初速度的竖直分量之比为∶∶1
D．设到达M、N、P三点，抛出飞刀的初速度与水平方向夹角分别为θ1、θ2、θ3，则有θ1＞θ2＞θ3
【解析】 将运动逆向看，可视为3个平抛运动且到达O点时水平位移相等．由H＝gt2得t＝ ，则到达M、N、P三点的飞行时间之比为∶∶1，B错误．在水平方向有l＝vMt1＝vNt2＝vPt3，由Ek＝mv2知3把飞刀在击中木板时打在M点处的动能最小，打在P点处的动能最大，A错误．由vy＝gt可知到达M、N、P三点的初速度的竖直分量之比为∶∶1，C正确．作出抛体运动的轨迹，可知θ1＞θ2＞θ3，D正确．
【答案】 CD
【考点四】 两抛体运动的距离关系问题
【典型例题4】 如图所示，在距地面80 m高的水平面上做匀加速直线运动的飞机上每隔1 s依次放下a、b、c三物体，抛出点a、b与b、c间距分别为45 m和55 m，分别落在水平地面上的A、B、C处．

求：(1)飞机飞行的加速度；
(2)刚放下b物体时飞机的速度大小；
(3)b、c两物体落地点BC间距离．
【解析】 (1)飞机水平方向上，由a经b到c做匀加速直线运动，由Δx＝aT2得，a＝＝＝10 m/s2.
(2)因位置b对应a到c过程的中间时刻，故有vb＝＝50 m/s.
(3)设物体落地时间为t，由h＝gt2得：t＝ ＝4 s，BC间距离为：BC＝bc＋vct－vbt，
又vc－vb＝aT，得：BC＝bc＋aTt＝95 m.
【答案】 (1)10 m/s2　(2)50 m/s　(3)95 m
【考点五】 两抛体空中相遇问题
【典型例题5】 如图所示，小球从O点的正上方离地h高处的P点以v1的速度水平抛出，同时在O点右方水平地面上S点以速度v2向左上方斜抛一小球，v2与水平方向的夹角为θ(图中未标出)，两小球恰在O、S连线的中点正上方相遇．若不计空气阻力，则在两小球从抛出到相遇的过程中，下列说法正确的是(　　)

A．斜抛球水平速度分量比平抛球水平速度分量小
B．两小球初速度大小关系为v1＝v2
C．两小球速度对时间的变化率相同
D．两小球相遇点一定在距离地面h高度处
【解析】 由于两小球恰在O、S连线的中点正上方相遇，说明它们的水平位移大小相等，又由于运动的时间相同，所以它们在水平方向上的速度相同，即v2cos θ＝v1，所以v2>v1，故选项A、B错误；两小球都只受到重力作用，都做匀变速运动，加速度相同，故选项C正确；根据题意只能求出两小球运动时间相同，但不知道斜抛球竖直方向初速度的具体值，所以不能判断出两小球相遇点距离地面的高度，故选项D错误．
【答案】 C
【考点六】 抛体与直线运动物体的相遇问题
【典型例题6】 如图所示，在水平地面上固定一倾角的光滑斜面，在距斜面底端的正上方高度h=4.5m处以大小v0=6m/s的速度沿水平方向抛出一小球A，同时在斜面底端有一小球B以某一初速度沿斜面上滑，小球A落到斜面上时恰好与小球B相碰。忽略空气阻力，取重力加速度大小g=10m/s2，sin37°=0.6，cos37°=0.8。下列判断正确的是（　　）

A．小球A在空中运动的时间为0.6s
B．小球A与小球B碰前瞬间A球的速度大小为10m/s
C．小球B与小球A碰前瞬间B球的速度大小为5.7m/s
D．小球B上滑的初速度大小为8m/s
【解析】 A．小球A做平抛运动，由几何关系可知，解得t=0.6s，A正确；
B．由A选项得，所以小球A与小球B碰前瞬间的速度大小为，B错误；
CD．小球B与小球A碰撞前的位移，小球B沿斜面上滑时有，解得v1=9.3m/s，小球B与小球A碰前瞬间的速度大小gtsin37°，解得v2=5.7m/s，C正确，D错误。故选AC。
【答案】 AC
【考点七】 抛体多过程的相遇问题
【典型例题7】 如图所示，相距l的两小球A、B位于同一高度h(l、h均为定值)．将A向B水平抛出的同时，B自由下落．A、B与地面碰撞前后，水平分速度不变，竖直分速度大小不变、方向相反．不计空气阻力及小球与地面碰撞的时间，则(　　)

A．A、B在第一次落地前能否相碰，取决于A的初速度
B．A、B在第一次落地前若不碰，此后就不会相碰
C．A、B不可能运动到最高处相碰
D．A、B一定能相碰
【解析】 由题意知A做平抛运动，即水平方向做匀速直线运动，竖直方向为自由落体运动；B为自由落体运动，A、B竖直方向的运动相同，二者与地面碰撞前运动时间t1相同，且t1＝，若第一次落地前相碰，只要满足A运动时间t＝＜t1，即v＞，所以选项A正确；
因为A、B在竖直方向的运动同步，始终处于同一高度，且A与地面相碰后水平速度不变，所以A一定会经过B所在的竖直线与B相碰．碰撞位置由A球的初速度决定，故选项B、C错误，选项D正确．
【答案】 AD
【考点八】 斜抛问题
【典型例题8】 车手要驾驶一辆汽车飞越宽度为d的河流．在河岸左侧建起如图所示高为h、倾角为α的斜坡，车手驾车从左侧冲上斜坡并从顶端飞出，接着无碰撞地落在右侧高为H、倾角为θ的斜坡上，顺利完成了飞越．已知h＞H，当地重力加速度为g，汽车可看成质点，忽略车在空中运动时所受的空气阻力．根据题设条件可以确定(　　)

A．汽车在左侧斜坡上加速的时间t
B．汽车离开左侧斜坡时的动能Ek
C．汽车在空中飞行的最大高度Hm
D．两斜坡的倾角满足α＜θ
【解析】 设汽车从左侧斜坡飞出时的速度大小为v，飞出后，汽车水平方向以vcos α做匀速直线运动，竖直方向以vsin α为初速度做竖直上抛运动，则汽车从飞出到最高点的过程中，竖直方向有Hm－h＝，汽车无碰撞地落在右侧斜坡上，说明车落在斜坡上时速度方向与斜坡平行，故汽车落在斜坡上时的速度大小为v′＝，对汽车从最高点到右侧斜坡的过程，竖直方向有Hm－H＝，联立以上三式，解得Hm＝，选项C正确；因为h＞H，汽车落在右侧斜坡上时，竖直方向的分速度v′y大于从左侧斜坡飞出时竖直方向的分速度vy，但水平方向分速度大小相同，故tan α＝＜＝tan θ，所以α＜θ，选项D正确；因汽车的质量未知，故汽车离开左侧斜坡时的动能无法求解，选项B错误；因汽车在左侧斜坡运动过程的初速度及加速度均未知，故运动时间无法求解，选项A错误．
【答案】 CD