立-体-几-何.doc

第七章　立 体 几 何
第一节空间点、直线、平面之间的位置关系

1．四个公理
公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内．
作用：可用来证明点、直线在平面内．
公理2：如果两个平面有一个公共点，那么它们还有其他公共点，这些公共点的集合是经过这个公共点的一条直线．
作用：①可用来确定两个平面的交线；②判断或证明多点共线；③判断或证明多线共点．
公理3：经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面．
作用：①用来确定一个平面；②证明点线共面．
推论1：经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面；
推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面；
推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面．
公理3及它的三个推论是确定点、线共面的依据．
公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行．
作用：判断空间两条直线平行的依据．
2．空间直线的位置关系
(1)位置关系的分类：

(2)异面直线所成的角：
①定义：设a，b是两条异面直线，经过空间中任一点O作直线a′∥a，b′∥b，把a′与b′所成的锐角(或直角)叫做异面直线a与b所成的角(或夹角)．
②范围：.
(3)定理：
空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补．
3．空间直线与平面，平面与平面之间的位置关系

图形语言
符号语言
公共点
直线与平面
相交

a∩α＝A
1个
平行

a∥α
0个
在平面内

a⊂α
无数个
平面与平面
平行

α∥β
0个
相交

α∩β＝l
无数个

1．异面直线易误解为“分别在两个不同平面内的两条直线为异面直线”，实质上两异面直线不能确定任何一个平面，因此异面直线既不平行，也不相交．
2．直线与平面的位置关系在判断时最易忽视“线在面内”．
[试一试]
1．设α和β为不重合的两个平面，给出下列命题：
(1)若α内的两条相交直线分别平行于β内的两条直线，则α平行于β；
(2)若α外一条直线l与α内的一条直线平行，则l和α平行；
(3)设α和β相交于直线l，若α内有一条直线垂直于l，则α和β垂直；
(4)直线l与α垂直的充分必要条件是l与α内的两条直线垂直．
上述命题中，真命题的序号是________(写出所有真命题的序号)．
解析：由面面平行的判定定理可知，(1)正确．
由线面平行的判定定理可知，(2)正确．
对(3)来说，l只垂直于α和β的交线l，得不到l是α的垂线，故也得不出α⊥β.
对(4)来说，l只有和α内的两条相交直线垂直，才能得到l⊥α.
也就是说当l垂直于α内的两条平行直线的话，l不垂直于α.
答案：(1)(2)
2．若直线a⊥b，且直线a∥平面α，则直线b与平面α的位置关系是________．
解析：b与α相交或b⊂α或b∥α都可以．
答案：b与α相交或b⊂α或b∥α

1．求异面直线所成角的方法
(1)平移法：即选点平移其中一条或两条直线使其转化为平面角问题，这是求异面直线所成角的常用方法．
(2)补形法：即采用补形法作出平面角．
2．证明共面问题的两种途径
(1)首先由条件中的部分线(或点)确定一个平面，再证其他线(或点)在此平面内；
(2)将所有条件分为两部分，然后分别确定平面，再证明这两个平面重合．
3．证明共线问题的两种途径
(1)先由两点确定一条直线，再证其他点都在这条直线上；
(2)直接证明这些点都在同一条特定直线上．
4．证明共点问题的常用方法
先证其中两条直线交于一点，再证其他直线经过该点．
[练一练]
(2014·镇江期末)如图，在多面体ABC­DEFG中，AB，AC，AD两两垂直，平面ABC∥平面DEFG，平面BEF∥平面ADGC，AB＝AD＝DG＝2，AC＝EF＝1.
(1)证明：四边形ABED是正方形；
(2)判断B，C，F，G是否四点共面，并说明理由；
(3)连结CF，BG，BD，求证：CF⊥平面BDG.
解：(1)证明：
⇒AB∥DE.
同理AD∥BE，则四边形ABED是平行四边形．
又AD⊥AB，AD＝AB，所以四边形ABED是正方形．
(2)取DG的中点P，连结PA，PF.
在梯形EFGD中，PF∥DE且PF＝DE.
又AB∥DE且AB＝DE，所以AB∥PF且AB＝PF，所以四边形ABFP为平行四边形，则AP∥BF.
在梯形ACGD中，AP∥CG，所以BF∥CG，
所以B，C，F，G四点共面．
(3)证明：同(1)中证明方法知四边形BFGC为平行四边形．
又有AC∥DG，EF∥DG，从而AC∥EF.
⇒BE⊥EF.
又BE＝AD＝2，EF＝1，故BF＝.而BC＝，故四边形BFGC为菱形，所以CF⊥BG.
连结AE，又由AC∥EF且AC＝EF知CF∥AE.
在正方形ABED中，AE⊥BD，故CF⊥BD.
⇒CF⊥平面BDG.

考点一
平面的基本性质及应用
1．(2013·南京、盐城三模)已知m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面．给出下列命题：
(1)若m⊂α，m⊥β，则α⊥β；
(2)若m⊂α，α∩β＝n，α⊥β，则m⊥n；
(3)若m∥α，m⊂β，α∩β＝n，则m∥n.
其中真命题是________(填序号)．
解析：(2)中，m∥n，m与n相交都有可能．
答案：(1)(3)
2．下列命题：
①经过三点确定一个平面；
②梯形可以确定一个平面；
③两两相交的三条直线最多可以确定三个平面；
④如果两个平面有三个公共点，则这两个平面重合．
其中正确命题有________个．
解析：对于①，未强调三点不共线，故①错误；②正确；对于③，三条直线两两相交，如空间直角坐标系，能确定三个平面，故③正确；对于④，未强调三点共线，则两平面也可能相交，故④错误．
答案：2
3．如图，已知：E，F，G，H分别是正方体ABCD ­A1B1C1D1的棱AB，BC，CC1，C1D1的中点，证明：EF，HG，DC三线共点．

证明：连结C1B，HE，GF，如图所示．由题意知HC1綊EB，

∴四边形HC1BE是平行四边形，
∴HE∥C1B.
又C1G＝GC，CF＝BF，
故GF綊C1B，
∴GF∥HE，且GF≠HE，
∴HG与EF相交，设交点为K，则K∈HG.
又HG⊂平面D1C1CD，
∴K∈平面D1C1CD.
∵K∈EF，EF⊂平面ABCD，
∴K∈平面ABCD.
∵平面D1C1CD∩平面ABCD＝DC，
∴K∈DC，∴EF，HG，DC三线共点．
[备课札记]　　

[类题通法]
1．证明共点问题的关键是先确定点后，再证明此点在第三条直线上，这个第三条直线应为前两条直线所在平面的交线，可以利用公理3证明．
2．证明过程中要注意符号语言表达准确，公理成立的条件要完善．
考点二
空间两直线的位置关系
[典例]　(1)已知直线a和平面α，β，α∩β＝l，a⊄α，a⊄β，且a在α，β内的射影分别为直线b和c，则直线b和c的位置关系是________．
[解析]　依据题意，b，c分别为a在α，β内的射影，可判断b，c相交、平行或异面均可．
[答案]　相交、平行或异面
(2)已知空间四边形ABCD中，E，H分别是边AB，AD的中点，F，G分别是边BC，CD的中点．
①求证：BC与AD是异面直线；
②求证：EG与FH相交．
[证明]　①假设BC与AD共面，不妨设它们所共平面为α，则B，C，A，D∈α.
所以四边形ABCD为平面图形，这与四边形ABCD为空间四边形相矛盾．所以BC与AD是异面直线．
②如图，连结AC，BD，则EF∥AC，HG∥AC，因此EF∥HG；同理EH∥FG，则EFGH为平行四边形．
又EG，FH是▱EFGH的对角线，
所以EG与HF相交．
[备课札记]　　

[类题通法]
1．异面直线的判定常用的是反证法，先假设两条直线不是异面直线，即两条直线平行或相交，由假设的条件出发，经过严格的推理，导出矛盾，从而否定假设肯定两条直线异面．此法在异面直线的判定中经常用到．
2．客观题中，也可用下述结论：过平面外一点和平面内一点的直线，与平面内不过该点的直线是异面直线．
[针对训练]
若直线l不平行于平面α，且l⊄α，则下列结论正确的是________．(填写序号)
①α内的所有直线与l异面
②α内不存在与l平行的直线
③α内存在唯一的直线与l平行
④α内的直线与l都相交
解析：如图，设l∩α＝A，α内直线若经过A点，则与直线l相交；若不经过点A，则与直线l异面．

答案：②

[课堂练通考点]
1．(2014·泰州期末)在空间中，用a，b，c表示三条不同的直线，γ表示平面，给出下列四个命题：
(1)若a∥b，b∥c，则a∥c；
(2)若a⊥b，b⊥c，则a⊥c；
(3)若a∥γ，b∥γ，则a∥b；
(4)若a⊥γ，b⊥γ，则a∥b.
其中真命题的序号为________．
解析：根据公理4“平行于同一条直线的两条直线互相平行”知(1)是正确的；根据线面垂直性质定理“同垂直一个平面的两条直线平行”知(4)是正确的；(2)(3)均不恒成立．故填(1)(4)．
答案：(1)(4)
2．已知m，n，l是三条直线， α，β是两个平面，下列命题中，正确命题的序号是________．
(1)若l垂直于α内两条直线，则l⊥α；
(2)若l平行于α，则α内有无数条直线与l平行；
(3)若m∥β，m⊂α，n⊂β，则m∥n；
(4)若m⊥α，m⊥β，则α∥β.
解析：(1)中只有当两条直线相交时，l⊥α才成立，所以(1)不正确；若l∥α，则过l任作平面β与α相交，则交线必与l平行，由于β的任意性，故(2)正确；(3)m与n可以平行可以异面，故(3)不正确；(4)正确．
答案：(2)(4)
3．(2013·南通三模)已知直线l，m，n，平面α，m⊂α，n⊂α，则“l⊥α”是“l⊥m，且l⊥n”的________条件(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”之一)．
解析：当l⊥α时，有l⊥m且l⊥n；当l⊥m且l⊥n时，由于m，n不一定相交，故l不一定垂直于α.
答案：充分不必要
4．设a，b，c是空间的三条直线，下面给出四个命题：
①若a⊥b，b⊥c，则a∥c；
②若a，b是异面直线，b，c是异面直线，则a，c也是异面直线；
③若a和b相交，b和c相交，则a和c也相交；
④若a和b共面，b和c共面，则a和c也共面．
其中真命题的个数是________．
解析：∵a⊥b，b⊥c，
∴a与c可以相交、平行、异面，故①错．
∵a，b异面，b，c异面，则a，c可能异面、相交、平行，故②错．
由a，b相交，b，c相交，则a，c可以异面、相交、平行，故③错．
同理④错，故真命题的个数为0.
答案：0
5．(2014·苏州调研)设α，β为两个不重合的平面，m，n为两条不重合的直线，给出下列四个命题：
(1)若m⊥n，m⊥α，n⊄α，则n∥α；
(2)若α⊥β，α∩β＝m，n⊂α，n⊥m，则n⊥β；
(3)若m⊥n，m∥α，n∥β，则α⊥β；
(4)若n⊂α，m⊂β，α与β相交且不垂直，则n与m不垂直．其中所有真命题的序号是________．
解析：(1)(2)正确；(3)错误，α，β相交或平行；(4)错误，n与m可以垂直，不妨令n＝α∩β，则在β内存在m⊥n.
答案：(1)(2)
[课下提升考能]
第Ⅰ组：全员必做题
1．(2013·苏锡常镇、连云港、徐州六市调研(一))已知l，m是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，有下列四个命题：
(1)若l⊂β，且α⊥β，则l⊥α；
(2)若l⊥β，且α∥β，则l⊥α；
(3)若l⊥β，且α⊥β，则l∥α；
(4)若α∩β＝m，且l∥m，则l∥α.
则所有正确命题的序号是________．
解析：对于(1)，若l⊂β，且α⊥β，则l⊥α或l∥α或l与α相交；对于(3)(4)，还可能l⊂α；故(1)(3)(4)错误．
答案：(2)
2．(2013·南京三模)已知l，m，n是三条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，下列命题：
(1)若l∥m，n⊥m，则n⊥l；
(2)若l∥m，m⊂α，则l∥α；
(3)若l⊂α，m⊂β，α∥β，则l∥m；
(4)若α⊥γ，β⊥γ，α∩β＝l，则l⊥γ.
其中真命题是________(写出所有真命题的序号)．
解析：(2)错误在于可能l⊂α；(3)错误在于可能l与m为异面直线．
答案：(1)(4)
3．(2014·广州模拟)若空间中有两条直线，则“这两条直线为异面直线”是“这两条直线没有公共点”的________条件(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”之一)．
解析：若两直线为异面直线，则两直线无公共点，反之不一定成立．
答案：充分不必要
4．(2014·南京、盐城一模)下列四个命题：
(1)过平面外一点有且只有一条直线与该平面垂直；
(2)过平面外一点有且只有一条直线与该平面平行；
(3)如果两个平行平面和第三个平面相交，那么所得的两条交线平行；
(4)如果两个平面垂直，那么经过第一个平面内一点且垂直于第二个平面的直线必在第一个平面内．
其中所有真命题的序号是________．
解析：由有关定理、公理易知(1)(3)(4)正确．
答案：(1)(3)(4)
5．(2013·扬州三调)在所有棱长都相等的三棱锥P­ABC中，D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，下列四个命题：
(1)BC∥平面PDF；
(2)DF∥平面PAE；
(3)平面PDF⊥平面ABC；
(4)平面PDF⊥平面PAE.
其中正确命题的序号为________．
解析：由条件可证BC∥DF，则BC∥平面PDF，从而(1)正确；因为DF与AE相交，所以(2)错误；取DF中点M(如图)，则PM⊥DF，且可证PM与AE不垂直，所以(3)错误；而DM⊥PM，DM⊥AM，则DM⊥平面PAE.又DM⊂平面PDF，故平面PDF⊥平面PAE，所以(4)正确．综上所述，正确命题的序号为(1)(4)．
答案：(1)(4)
6．(2013·南通二模)设α，β是空间两个不同的平面， m，n是平面α及β外的两条不同直线．从“①m⊥n；②α⊥β；③n⊥β；④m⊥α”中选取三个作为条件，余下一个作为结论，写出你认为正确的一个命题：________(填序号)．
解析：因为当n⊥β，m⊥α时，平面α及β所成的二面角与直线m，n所成的角相等或互补，所以若m⊥n，则α⊥β，从而由①③④⇒②；同理若α⊥β，则m⊥n，从而有②③④⇒①.
答案：①③④⇒②或②③④⇒①
7.(2014·苏州调研)如图，AB为圆O的直径，点C在圆周上(异于点A，B)，直线PA垂直于圆O所在的平面，点M是线段PB的中点．有以下四个命题：
(1)PA∥平面MOB；
(2)MO∥平面PAC；
(3)OC⊥平面PAC；
(4)平面PAC⊥平面PBC.
其中正确的是________(填序号)．
解析：(1)因为PA在平面MOB内，所以(1)错误；
(2)因为MO∥PA，MO⊄平面PAC，PA⊂平面PAC，所以MO∥平面PAC；
(3)因为PA垂直于圆O所在的平面，所以PA⊥BC.
又BC⊥AC，AC∩PA＝A，所以BC⊥平面PAC.
因为空间内过一点作已知平面的垂线有且只有一条，所以OC⊥平面PAC不成立，(3)错误；
(4)由(3)知BC⊥平面PAC，且BC⊂平面PBC，所以平面PAC⊥平面PBC.
正确命题的序号是(2)(4)．
答案：(2)(4)
8．过正方体ABCD ­A1B1C1D1的顶点A作直线l，使l与棱AB，AD，AA1所成的角都相等，这样的直线l可以作________条．
解析：如图，连结体对角线AC1，显然AC1与棱AB，AD，AA1所成的角都相等，所成角的正切值都为.联想正方体的其他体对角线，如连结BD1，则BD1与棱BC，BA，BB1所成的角都相等，
∵BB1∥AA1，BC∥AD，
∴体对角线BD1与棱AB，AD，AA1所成的角都相等，同理，体对角线A1C，DB1也与棱AB，AD，AA1所成的角都相等，过A点分别作BD1，A1C，DB1的平行线都满足题意，故这样的直线l可以作4条．
答案：4
9.如图，平行六面体ABCD ­A1B1C1D1中既与AB共面又与CC1共面的棱有________条．
解析：依题意，与AB和CC1都相交的棱有BC；与AB相交且与CC1平行有棱AA1，BB1；与AB平行且与CC1相交的棱有CD，C1D1.故符合条件的有5条．
答案：5
10.如图是正四面体的平面展开图，G，H，M，N分别为DE，BE，EF，EC的中点，在这个正四面体中，
①GH与EF平行；
②BD与MN为异面直线；
③GH与MN成60°角；
④DE与MN垂直．
以上四个命题中，正确命题的序号是________．
解析：还原成正四面体知GH与EF为异面直线，BD与MN为异面直线，GH与MN成60°角，DE⊥MN.
答案：②③④
11．如图为正方体表面的一种展开图，则图中的四条线段AB，CD，EF，GH在原正方体中互为异面的对数为________对．
解析：平面图形的翻折应注意翻折前后相对位置的变化，则AB，CD，EF和GH在原正方体中，显然AB与CD，EF与GH，AB与GH都是异面直线，而AB与EF相交，CD与GH相交，CD与EF平行．故互为异面的直线有且只有3对．
答案：3
12．如图所示，正方体的棱长为1，B′C∩BC′＝O，则AO与A′C′所成角的度数为________．
解析：∵A′C′∥AC，
∴AO与A′C′所成的角就是∠OAC.
∵OC⊥OB，AB⊥平面BB′CC′，
∴OC⊥AB.又AB∩BO＝B，
∴OC⊥平面ABO.
又OA⊂平面ABO，∴OC⊥OA.
在Rt△AOC中，OC＝，AC＝，
sin∠OAC＝＝，
∴∠OAC＝30°.即AO与A′C′所成角的度数为30°.
答案：30°
第Ⅱ组：重点选做题
1．(2013·苏锡常镇、连云港、徐州六市调研(二))在矩形ABCD中，对角线AC与相邻两边所成的角为α，β，则有cos2α＋cos2β＝1.类比到空间中的一个正确命题是：在长方体ABCD­A1B1C1D1中，对角线AC1与相邻三个面所成的角为α，β，γ，则________．
解析：设长方体的棱长分别为a，b，c，如图所示，所以AC1与下底面所成角为∠C1AC，记为α，所以cos2α＝＝，同理cos2 β＝，cos2γ＝，所以cos2α＋cos2β＋cos2γ＝2.
答案：cos2α＋cos2β＋cos2γ＝2
2．如图，平面ABEF⊥平面ABCD，四边形ABEF与四边形ABCD都是直角梯形，∠BAD＝∠FAB＝90°，BC綊AD，BE綊FA，G，H分别为FA，FD的中点．
(1)求证：四边形BCHG是平行四边形；
(2)C，D，F，E四点是否共面？为什么？
解：(1)证明：由题设知，FG＝GA，FH＝HD，
所以GH綊AD.又BC綊AD，
故GH綊BC.
所以四边形BCHG是平行四边形．
(2)C，D，F，E四点共面．理由如下：
由BE綊AF，G是FA的中点知，BE綊GF，
所以EF綊BG.
由(1)知BG∥CH，所以EF∥CH，故EC、FH共面．
又点D在直线FH上，所以C，D，F，E四点共面．
第二节直线、平面平行的判定与性质

1．直线与平面平行的判定定理和性质定理

文字语言
图形语言
符号语言
判定定理
平面外一条直线与这个平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行(线线平行⇒线面平行)

l∥α
性质定理
一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行(简记为“线面平行⇒线线平行”)

l∥b
2．平面与平面平行的判定定理和性质定理

文字语言
图形语言
符号语言
判定定理
一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行(简记为“线面平行⇒面面平行”)

α∥β
性质定理
如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行

a∥b

1．直线与平面平行的判定中易忽视“线在面内”这一关键条件．
2．面面平行的判定中易忽视“面内两条相交线”这一条件．
3．如果一个平面内有无数条直线与另一个平面平行，易误认为这两个平面平行，实质上也可以相交．
[试一试]
1．下列说法中正确的是________(填序号)．
①一条直线如果和一个平面平行，它就和这个平面内的无数条直线平行；②一条直线和一个平面平行，它就和这个平面内的任何直线无公共点；③过直线外一点，有且仅有一个平面和已知直线平行；④如果直线l和平面α平行，那么过平面α内一点和直线l平行的直线在α内．
解析：由线面平行的性质定理知①④正确；由直线与平面平行的定义知②正确；③错误，因为经过一点可作一直线与已知直线平行，而经过这条直线可作无数个平面．
答案：①②④
2．设l，m，n表示不同的直线，α，β，γ表示不同的平面，给出下列四个命题：
①若m∥l，且m⊥α，则l⊥α；
②若m∥l，且m∥α，则l∥α；
③若α∩β＝l，β∩γ＝m，γ∩α＝n，则l∥m∥n；
④若α∩β＝m，β∩γ＝l，γ∩α＝n，且n∥β，则l∥m.
其中正确命题的个数是________．
解析：易知①正确；②错误，l与α的具体关系不能确定；③错误，以墙角为例即可说明；④正确，可以以三棱柱为例说明．
答案：2

1．转化与化归思想——平行问题中的转化关系

2．判断线面平行的两种常用方法
面面平行判定的落脚点是线面平行，因此掌握线面平行的判定方法是必要的，判定线面平行的两种方法：
(1)利用线面平行的判定定理；
(2)利用面面平行的性质，即当两平面平行时，其中一平面内的任一直线平行于另一平面．
[练一练]
1．a、b、c为三条不重合的直线，α、β、γ为三个不重合的平面，现给出四个命题
①⇒α∥β　　　　　 ②⇒α∥β
③⇒a∥α ④⇒α∥a
其中正确的命题是________(填序号)．
解析：②正确．①错在α与β可能相交．③④错在a可能在α内．
答案：②
2．如图所示，在正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，E、F、G、H分别是棱CC1、C1D1、D1D、DC的中点，N是BC的中点，点M在四边形EFGH及其内部运动，则M满足条件______时，有MN∥平面B1BDD1.
解析：由平面HNF∥平面B1BDD1知，当M点满足在线段FH上有MN∥平面B1BDD1.
答案：M∈线段FH

考点一
线面平行、面面平行的基本问题
1．有互不相同的直线m，n，l和平面α，β，给出下列四个命题：
①若m⊂α，l∩α＝A，A∉m，则l与m不共面；
②若m，l是异面直线，l∥α，m∥α，且n⊥l，n⊥m，则n⊥α；
③若m，n是相交直线，m⊂α，m∥β，n⊂α，n∥β，则α∥β；
④若l∥α，m∥β，α∥β，则l∥m.
其中真命题有________个．
解析：由异面直线的判定定理，易知①是真命题；由线面平行的性质知，存在直线l′⊂α，m′⊂α，使得l∥l′，m∥m′，∵m，l是异面直线，∴l′与m′是相交直线，又n⊥l，n⊥m，∴n⊥l′，n⊥m′，故n⊥α，②是真命题；由线面平行的性质和判定知③是真命题；满足条件l∥α，m∥β，α∥β的直线m，l或相交或平行或异面，故④是假命题．
答案：3
2．(2014·济宁模拟)过三棱柱ABC ­A1B1C1的任意两条棱的中点作直线，其中与平面ABB1A1 平行的直线共有________条．
解析：过三棱柱ABC ­A1B1C1的任意两条棱的中点作直线，记AC，BC，A1C1，B1C1的中点分别为E，F，E1，F1，则直线EF，E1F1，EE1，FF1，E1F，EF1均与平面ABB1A1平行，故符合题意的直线共6条．
答案：6
[备课札记]　　

[类题通法]
解决有关线面平行、面面平行的基本问题要注意
(1)判定定理与性质定理中易忽视的条件，如线面平行的判定定理中条件线在面外易忽视．
(2)结合题意构造或绘制图形，结合图形作出判断．
(3)举反例否定结论或用反证法推断命题是否正确．
考点二
直线与平面平行的判定与性质

[典例]　(2013·新课标卷Ⅱ)如图，直三棱柱ABC ­A1B1C1中，D，E分别是AB，BB1的中点．
(1)证明：BC1∥平面A1CD；
(2)设AA1＝AC＝CB＝2，AB＝2，求三棱锥C ­A1DE的体积．
[解]　(1)证明：连结AC1交A1C于点F，则F为AC1中点．
又D是AB中点，连结DF，则BC1∥DF.
因为DF⊂平面A1CD，BC1⊄平面A1CD，所以BC1∥平面A1CD.
(2)因为ABC ­A1B1C1是直三棱柱，所以AA1⊥CD.由已知AC＝CB，D为AB的中点，所以CD⊥AB.又AA1∩AB＝A，于是CD⊥平面ABB1A1.
由AA1＝AC＝CB＝2，AB＝2得
∠ACB＝90°，CD＝，A1D＝，DE＝，A1E＝3，
故A1D2＋DE2＝A1E2，即DE⊥A1D.
所以VC ­A1DE＝××××＝1.
[备课札记]　　

在本例条件下，线段BC1上是否存在一点M使得DM∥平面A1ACC1？
解：存在．当M为BC1的中点时成立．
证明如下：连结DM，在△ABC1中，
D，M分别为AB，BC1的中点
∵DM綊AC1，又DM⊄平面A1ACC1
AC1⊂平面A1ACC1，∴DM∥平面A1ACC1.
[类题通法]
证明线面平行的关键点及探求线线平行的方法
(1)证明直线与平面平行的关键是设法在平面内找到一条与已知直线平行的直线；
(2)利用几何体的特征，合理利用中位线定理、线面平行的性质，或者构造平行四边形、寻找比例式证明两直线平行；
(3)注意说明已知的直线不在平面内，即三个条件缺一不可．
[针对训练]
如图，已知四棱锥P ­ABCD的底面为直角梯形，AB∥CD，∠DAB＝90°，PA⊥底面ABCD，且PA＝AD＝DC＝AB＝1，M是PB的中点．
(1)求证：AM＝CM；
(2)若N是PC的中点，求证：DN∥平面AMC.
证明：(1)∵在直角梯形ABCD中，AD＝DC＝AB＝1，
∴AC＝，BC＝，
∴BC⊥AC，又PA⊥平面ABCD，BC⊂平面ABCD，
∴BC⊥PA，又PA∩AC＝A，
∴BC⊥平面PAC，∴BC⊥PC.
在Rt△PAB中，M为PB的中点，则AM＝PB，
在Rt△PBC中，M为PB的中点，
则CM＝PB，∴AM＝CM.
(2)如图，连结DB交AC于点F，
∵DC綊AB，∴DF＝FB.
取PM的中点G，连结DG，FM，
则DG∥FM，
又DG⊄平面AMC，FM⊂平面AMC，
∴DG∥平面AMC.
连结GN，则GN∥MC，GN⊄平面AMC，
MC⊂平面AMC.
∴GN∥平面AMC，
又GN∩DG＝G，
∴平面DNG∥平面AMC，
又DN⊂平面DNG，
∴DN∥平面AMC.

考点三
平面与平面平行的判定与性质
[典例]　(2013·陕西高考)如图，四棱柱ABCD ­A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，O是底面中心， A1O⊥底面ABCD，AB＝AA1＝.

(1)证明：平面 A1BD∥平面CD1B1；
(2)求三棱柱ABD ­A1B1D1的体积．
[解]　(1)证明：由题设知，BB1綊DD1，
∴四边形BB1D1D是平行四边形，
∴BD∥B1D1.
又BD⃘平面CD1B1，
∴BD∥平面CD1B1.
∵A1D1綊B1C1綊BC，
∴四边形A1BCD1是平行四边形，
∴A1B∥D1C.
又A1B⃘平面CD1B1，
∴A1B∥平面CD1B1.
又∵BD∩A1B＝B，
∴平面A1BD∥平面CD1B1.
(2)∵A1O⊥平面ABCD，
∴A1O是三棱柱ABD ­A1B1D1的高．
又∵AO＝AC＝1，AA1＝，
∴A1O＝＝1.
又∵S△ABD＝××＝1，
∴VABD ­A1B1D1＝S△ABD×A1O＝1.
[备课札记]　　

[类题通法]
判断面面平行的常用方法
(1)利用面面平行的判定定理；
(2)面面平行的传递性(α∥β，β∥γ⇒α∥γ)；
(3)利用线面垂直的性质(l⊥α，l⊥β⇒α∥β)．
[针对训练]
如图，在直四棱柱ABCD ­A1B1C1D1中，底面是正方形，E，F，G分别是棱B1B，D1D，DA的中点．求证：

(1)平面AD1E∥平面BGF；
(2)D1E⊥AC.
证明：(1)∵E，F分别是B1B和D1D的中点，
∴D1F綊BE.
∴四边形BED1F是平行四边形，∴D1E∥BF；
又∵D1E⊄平面BGF，BF⊂平面BGF，
∴D1E∥平面BGF.
∵FG是△DAD1的中位线，∴FG∥AD1；
又AD1⊄平面BGF，FG⊂平面BGF，
∴AD1∥平面BGF.
又∵AD1∩D1E＝D1，∴平面AD1E∥平面BGF.
(2)连结BD，B1D1，∵底面是正方形，∴AC⊥BD.
∵D1D⊥AC，D1D∩BD＝D，∴AC⊥平面BDD1B1.
∵D1E⊂平面BDD1B1，∴D1E⊥AC.

[课堂练通考点]
1．已知直线a，b，平面α，则以下三个命题：
①若a∥b，b⊂α，则a∥α；
②若a∥b，a∥α，则b∥α；
③若a∥α，b∥α，则a∥b.
其中真命题的个数是________．
解析：对于①，若a∥b，b⊂α，则应有a∥α或a⊂α，所以①不正确；对于②，若a∥b，a∥α，则应有b∥α或b⊂α，因此②不正确；对于③，若a∥α，b∥α，则应有a∥b或a与b相交或a与b异面，因此③是假命题．综上，在空间中，以上三个命题都是假命题．
答案：0
2．下列四个正方体图形中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，P分别为其所在棱的中点，能得出AB∥平面MNP的图形的序号是________．

解析：对于图形①，平面MNP与AB所在的对角面平行，即可得到AB∥平面MNP；对于图形④，AB∥PN，即可得到AB∥平面MNP；图形②③无论用定义还是判定定理都无法证明线面平行．
答案：①④
3．(2014·南京学情调研)已知α，β为两个不同的平面，m，n为两条不同的直线， 下列命题：
(1)若m∥n，n∥α，则m∥α；
(2)若m⊥α，m⊥β，则α∥β；
(3)若α∩β＝n，m∥α，m∥β，则m∥n；
(4)若α⊥β，m⊥α，n⊥β，则m⊥n.
其中是真命题的是________(填序号)．
解析：对于(1)，由m∥n，n∥α得m∥α或m⊂α，故(1)错误；根据空间中直线与平面的平行、垂直关系进行一一判断．
答案：(2)(3)(4)
4.如图所示，在四面体ABCD中，M，N分别是△ACD，△BCD的重心，则四面体的四个面中与MN平行的是________．
解析：连结AM并延长，交CD于E，连结BN，并延长交CD于F，由重心性质可知，E，F重合为一点，且该点为CD的中点E，由＝＝，得MN∥AB.因此，MN∥平面ABC且MN∥平面ABD.
答案：平面ABC、平面ABD
5.如图，在三棱柱ABC ­A1B1C1中，E，F，G，H分别是AB，AC，A1B1，A1C1的中点，求证：
(1)B，C，H，G四点共面；
(2)平面EFA1∥平面BCHG.
证明：(1)∵GH是△A1B1C1的中位线，
∴GH∥B1C1.
又∵B1C1∥BC，∴GH∥BC.
∴B，C，H，G四点共面．
(2)∵E，F分别为AB，AC的中点，∴EF∥BC.
∵EF⊄平面BCHG，BC⊂平面BCHG，
∴EF∥平面BCHG.
∵A1G綊EB，∴四边形A1EBG是平行四边形．
∴A1E∥GB.