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几种计算技巧
准确是数值计算的基本要求，迅速是数值计算的较高追求。一些数值计算题，常因数字大、项数多、次数高而使问题表面复杂，通常都是计算与推理两兼的技巧题。进行复杂数值计算的常用技巧是：巧用运算律；凑整组合；裂项相消；反序相加；分解相约等。
★裂项相消
1. 模型
计算：

　观察：下列等式：
，， ，将以上三等式两边相加得：
＋＋＋＋＝1－＝.
⑴猜想：写出：___________________；
⑵应用：直接写出下列各式的计算结果：
①＋＋_____________；
②＋＋_____________；
⑶拓展：试在1，2，3，…，100这一百个自然数中，挑选10个数，使这10个数的倒数和等于1.（提示：利用②的结论）。

变式：
l
l

提炼：

2. 应用
l
l

3. 创新
　　观察下列各式：　　　

计算：3×(1×2+2×3+3×4+…+101×102)=　（　　）
A．101×102×103 B．100×101×102 C．99×100×101 D．98×99×100
l
l

★反序相加
1. 模型
计算：1+2+3+4++100
设s= 1+ 2+ 3 +4++100
则s=100+99+98+96++ 1 两边相加得：
2s=101+101+101+101++101 2s=101×100 s=101×100÷2=5050

变式：
l 12+15+18+21+24+27+30+33+36
l 1+2+3+4++
提炼：

其几何解释：
对于这个求和问题，如果采用纯代数的方法（首尾两头加），问题虽然可以解决，但在求和过程中，需对n的奇偶性进行讨论．
　　我国著名数学家华罗庚曾说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休”．数学中，数和形是两个最主要的研究对象，它们之间有着十分密切的联系，在一定条件下，数和形之间可以相互转化，相互渗透．
数形结合的基本思想，就是在研究问题的过程中，注意把数和形结合起来考察，斟酌问题的具体情形，把图形性质的问题转化为数量关系的问题，或者把数量关系的问题转化为图形性质的问题，使复杂问题简单化，抽象问题具体化，化难为易，获得简便易行的成功方案．
如果采用数形结合的方法，即用图形的性质来说明数量关系的事实，那就非常的直观．现利用图形的性质来求1＋2＋3＋4＋…＋n 的值，方案如下：如图，斜线左边的三角形图案是由上到下每层依次分别为1，2，3，…，n个小圆圈排列组成的．而组成整个三角形小圆圈的个数恰为所求式子1＋2＋3＋4＋…＋n的值．为求式子的值，现把左边三角形倒放于斜线右边，与原三角形组成一个平行四边形．此时，组成平行四边形的小圆圈共有n行，每行有（n＋1）个小圆圈，所以组成平行四边形小圆圈的总个数为n（n＋1）个，因此，组成一个三角形小圆圈的个数为，即1＋2＋3＋4＋…＋n＝．

（1）仿照上述数形结合的思想方法，设计相关图形，求1＋3＋5＋7＋…＋（2n－1）的值，其中 n 是正整数．（要求：画出图形，并利用图形做必要的推理说明）
（2）试设计另外一种图形，求1＋3＋5＋7＋…＋（2n－1）的值，其中n是正整数．（要求：画出图形，并利用图形做必要的推理说明）

2. 应用
l
l 15+17+19+…+2013
l
l ++

★错项相减
1. 模型
计算：　1+2+22+23+24++22013
（2013•张家界）阅读材料：求1+2+22+23+24+…+22013的值．
解：设S=1+2+22+23+24++22012+22013，将等式两边同时乘以2得：
　2S=　2+22+23+24+25++22012+22013+22014
将下式减去上式得2S﹣S=22014﹣1
即S=22014﹣1
即1+2+22+23+24+…+22013=22014﹣1
请你仿照此法计算：
（1）1+2+22+23+24+…+210
（2）1+3+32+33+34+…+3n（其中n为正整数）．

变式：
l
提炼：

除了用上述方法，还可用以下数形结合的方法来解。
几何解释：
构造面积为1的三角形或正方形，利用图形间的面积关系可得结果为。

2. 应用
l
l
l

注：
根据题目特点，灵活选择计算方法。
如