专题3-16-圆锥曲线中的定点、定值问题大题专项训练(30道)(举一反三)(原卷版).docx

专题3.16 圆锥曲线中的定点、定值问题大题专项训练（30道）
【人教A版2019选择性必修第一册】
姓名：___________班级：___________考号：___________
1．（2021秋•庐阳区校级期中）已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）上一点P（x0，2）到焦点F的距离|PF|＝2x0．
（1）求C的方程；
（2）点M、N在C上，且PM⊥PN，PD⊥MN，D为垂足．证明：存在定点Q，使得|DQ|为定值．

2．（2021秋•徐州期中）已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点F到双曲线x23-y2=1的渐近线的距离为1．
（1）求抛物线C的方程；
（2）若抛物线C上一点P到F的距离是4，求P的坐标；
（3）若不过原点O的直线l与抛物线C交于A、B两点，且OA⊥OB，求证：直线l过定点．

3．（2021•运城模拟）已知P（1，2）在抛物线C：y2＝2px上．
（1）求抛物线C的方程；
（2）A，B是抛物线C上的两个动点，如果直线PA的斜率与直线PB的斜率之和为2，证明：直线AB过定点．

4．（2021•洛阳模拟）设抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点为F，点P（4，m）（m＞0）是抛物线C上一点，且|PF|＝5．
（1）求抛物线C的方程；
（2）若A，B为抛物线C上异于P的两点，且PA⊥PB，记点A，B到直线y＝﹣4的距离分别为a，b，求证：ab为定值．

5．（2021秋•海曙区校级期中）设A，B为双曲线C：x2a2-y2b2=1（a＞0，b＞0）的左、右顶点，直线l过右焦点F且与双曲线C的右支交于M，N两点，当直线l垂直于x轴时，△AMN为等腰直角三角形．
（1）求双曲线C的离心率；
（2）若双曲线左支上任意一点到右焦点F点距离的最小值为3，
（ⅰ）求双曲线方程；
（ⅱ）已知直线AM，AN分别交直线x=a2于P，Q两点，当直线l的倾斜角变化时，以PQ为直径的圆是否过x轴上的定点，若过定点，求出定点的坐标；若不过定点，请说明理由．

6．（2021•上城区校级开学）已知椭圆：y24+x2=1，过椭圆左顶点A的直线l1交抛物线y2＝2px（p＞0）于B，C两点，且BC→=2CA→，经过点C点直线l2与椭圆交于D，E两点，且kl1=-2kl2．
（1）证明：直线l2过定点．
（2）求四边形ADBE的面积最大值及p的值．

7．（2021•凉山州模拟）已知椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，离心率为12，且经过点（﹣2，0）．
（1）求椭圆的方程；
（2）直线x﹣my﹣1＝0交椭圆于不同的两点A，B，是否存在一定点T（t，0）满足AT→•BT→为定值？若存在，求出定点T；若不存在，请说明理由．

8．（2021•九龙坡区校级开学）如图，已知抛物线y2＝2px（p＞0）上一点M（2，m）到焦点F的距离为3，直线l与抛物线交于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，且y1＞0，y2＜0，OA→•OB→=12（O为坐标原点）．
（1）求抛物线的方程；
（2）求证：直线l过定点．

9．（2021秋•广东月考）在平面直角坐标系xOy中，已知动点P到点F（2，0）的距离与它到直线x=32的距离之比为233．记点P的轨迹为曲线C．
（1）求曲线C的方程；
（2）过点F作两条互相垂直的直线l1，l2.l1交曲线C于A，B两点，l2交曲线C于S，T两点，线段AB的中点为M，线段ST的中点为N．证明：直线MN过定点，并求出该定点坐标．

10．（2021秋•河南月考）已知抛物线C：x2＝2py（p＞0）的焦点为F，且点F与圆M：（x+4）2+y2＝1上点的距离的最大值为17+1．
（1）求p；
（2）已知直线l：y＝kx+4与C相交于A，B两点，过点B作平行于y轴的直线BD交直线l'：y＝﹣4于点D．问：直线AD是否过y轴上的一定点？若过定点，求出该定点的坐标；若不过定点，试说明理由．

11．（2021•全国Ⅰ卷开学）已知双曲线C：x2a2-y2b2=1(a＞0，b＞0)的离心率为62，且该双曲线经过点P(3，22)．
（1）求双曲线C的方程；
（2）设斜率分别为k1，k2的两条直线l1，l2均经过点Q（2，1），且直线l1，l2与双曲线C分别交于A，B两点（A，B异于点Q），若k1+k2＝1，试判断直线AB是否经过定点，若存在定点，求出该定点坐标；若不存在，说明理由．

12．（2021•山东模拟）已知抛物线C：y2＝4x．
（1）若C与圆G：（x﹣4）2+y2＝13在第一象限内交于M，N两点，求直线MN的方程；
（2）直线l过点D（﹣1，0）交C于A，B两点，点B关于x轴的对称点为E，直线AE交x轴于点P，求证：P为定点．

13．（2021春•温州期中）已知抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点为F，且F为圆（x﹣1）2+y2＝16的圆心．过F点的直线l交抛物线于圆分别为A，C，D，B（从上到下）．
（1）求抛物线方程并证明|AC||BD|是定值；
（2）若△AOC，△BOD的面积比是4：1，求直线l的方程．

14．（2021•朝阳区校级四模）如图，已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，A（x1，y1），B（x2，y2），P（x3，y3），Q（x4，y4）四点都在抛物线上，直线AP与直线BQ相交于点F，且直线AB过定点E（0，﹣1）．
（1）求y1y3和y2y4的值；
（2）证明：
①1y1+1y2为定值；
②直线PQ斜率为定值，并求出该定值．

15．（2021•全国卷模拟）已知定点C（﹣3，0），D（3，0），动点M满足：直线MC，MD的斜率之积为-49．
（1）求动点M的轨迹方程；
（2）设M的轨迹为G．直线I过抛物线y2＝45x的焦点且与C相交于不同的两点A，B．在x轴上是否存在一个定点P（m，0），使得PA→⋅PB→的值为定值？若存在，写出P点的坐标；若不存在，说明理由．

16．（2021•天心区校级模拟）设A，B为双曲线C：x2a2-y2b2=1（a＞0，b＞0）的左、右顶点，直线l过右焦点F且与双曲线C的右支交于M，N两点，当直线l垂直于x轴时，△AMN为等腰直角三角形．
（1）求双曲线C的离心率；
（2）已知直线AM，AN分别交直线x=a2于P，Q两点，当直线l的倾斜角变化时，以PQ为直径的圆是否过定点，若过定点，求出定点的坐标；若不过定点，请说明理由．

17．（2021•贵州模拟）已知定点A（0，﹣1），B（0，1），曲线L上的任一点M都有AM→⋅AB→=|MB→|⋅|AB→|．
（1）求曲线L的方程；
（2）点Q（﹣2，﹣2），动直线l与曲线L交于C，D，与y轴交于点N，设直线CQ，DQ，NQ的斜率分别为k1，k2，k3，若1k1+1k2=2k3，证明：直线l恒过定点，并求出定坐标．

18．（2021•江苏模拟）已知双曲线C：x2a2-y2b2=1（a＞b＞0）的两个焦点为F1，F2，一条渐近线方程为y＝bx，且双曲线C经过点D（2，1）．
（1）求双曲线C的方程；
（2）设点P在直线x＝m（y≠±m，0＜m＜1，且m为常数）上，过点P作双曲线C的两条切线PA，PB，切点为A，B，求证：直线AB过某一个定点．

19．（2021秋•杭州期中）已知圆C的方程为：x2+（y+1）2＝r2（r＞0）．
（Ⅰ）已知过点M(12，-52)的直线l交圆C于A，B两点，若r＝1，|AB|=3，求直线l的方程；
（Ⅱ）如图，过点N（﹣1，1）作两条直线分别交抛物线y＝x2于点P、Q，并且都与动圆C相切，求证：直线PQ经过定点，并求出定点坐标．

20．（2021秋•嘉定区校级月考）已知双曲线C的中心在原点，D（1，0）是它的一个顶点．d→=（1，2）是它的一条渐近线的一个方向向量．
（1）求双曲线C的方程；
（2）设P（0，1），M为双曲线右支上动点，当|PM|取得最小时，求四边形ODMP的面积；
（3）若过点（﹣3，0）任意作一条直线与双曲线C交于A，B两点（A，B都不同于点D），求证：DA→•DB→为定值．

21．（2021秋•浙江期中）已知点P是曲线C上任意一点，点P到点F（1，0）的距离与到y轴的距离之差为1．
（1）求曲线C的方程；
（2）设直线l1，l2为曲线C的两条互相垂直切线，切点为A，B，交点为点M．
（ⅰ）求点M的轨迹方程；
（ⅱ）求证：直线AB过定点，并求出定点坐标．

22．（2021秋•河南月考）已知抛物线C：x2＝2py（p＞0）的焦点为F，且点F与圆M：（x+4）2+y2＝1上点的距离的最大值为17+1．
（1）求p；
（2）若O为坐标原点，直线l：y＝kx+4与C相交于A，B两点，问：OA→•（OF→-BF→）是否为定值？若为定值，求出该定值；若不为定值，试说明理由．

23．（2021春•徐汇区校级月考）过双曲线x2-y24=1的右支上的一点P作一直线l与两渐近线交于A、B两点，其中P是AB的中点．
（1）求双曲线的渐近线方程；
（2）若P纵坐标为2时，求直线l的方程；
（3）求证：|OA|•|OB|是一个定值．

24．（2021春•黔西南州期末）已知椭圆C：x2a2+y2=1（a＞1）的焦点与双曲线D：x22-y2t=1（t＞0）的焦点相同，且D的离心率为62．
（1）求C与D的方程；
（2）若P（0，1），直线l：y＝﹣x+m与C交于A，B两点，且直线PA，PB的斜率都存在．
①求m的取值范围；
②试问两直线PA，PB的斜率之积是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．

25．（2021•全国Ⅲ卷模拟）已知曲线C上的点都在y轴及其右侧，且C上的任一点P到y轴的距离比它到圆F：x2+y2﹣2x+1516=0的圆心的距离小1．
（1）求曲线C的方程；
（2）过点F分别作直线l1，l2，其中直线l1交曲线C于点A，B，直线l2交曲线C于点M，N，且直线AM过定点D（0，2），求证：直线BN的斜率为定值．

26．（2021春•湖南期末）设点P为双曲线E：x2a2-y2b2=1(a＞0，b＞0)上任意一点，双曲线E的离心率为3，右焦点与椭圆G：x2t+6+y2t+3=1(t＞0)的右焦点重合．
（1）求双曲线E的标准方程；
（2）过点P作双曲线两条渐近线的平行线，分别与两渐近线交于点A，B，求证：平行四边形OAPB的面积为定值，并求出此定值．

27．（2021•汕头二模）已知双曲线方程为x2a2-y2b2=1，F1，F2为双曲线的左、右焦点，离心率为2，点P为双曲线在第一象限上的一点，且满足PF1→•PF2→=0，|PF1||PF2|＝6．
（1）求双曲线的标准方程；
（2）过点F2作直线1交双曲线于A、B两点，则在x轴上是否存在定点Q（m，0）使得QA→⋅QB→为定值，若存在，请求出m的值和该定值，若不存在，请说明理由．

28．（2021秋•青羊区校级期中）已知椭圆C：x2a2+y2b2==1（a＞b＞0）与椭圆x2+2y2＝6的焦点相同，且椭圆C过点(-3，12)．
（1）求椭圆C的方程；
（2）是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆C恒有两个交点A，B，且OA⊥OB，（O为坐标原点），若存在，求出该圆的方程；若不存在，说明理由；
（3）P是椭圆C上异于上顶点A1，下顶点A2的任一点，直线PA1，PA2，分别交x轴于点N，M，若直线OT与过点M，N的圆G相切，切点为T．证明：线段OT的长为定值，并求出该定值．

29．（2021•辽宁模拟）已知双曲线C：x2a2-y2b2=1（a＞0，b＞0）的一个焦点坐标为（3，0），其中一条渐近线的倾斜角的正切值为22，O为坐标原点．
（1）求双曲线C的方程；
（2）直线l与x轴正半轴相交于一点D，与双曲线C右支相切（切点不为右顶点），且l分别交双曲线C的两条渐近线于M，N两点，证明：△MON的面积为定值，并求出该定值．

30．（2021秋•南岸区校级期中）已知椭圆C：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的离心率为63，两焦点与短轴两顶点围成的四边形的面积为42．
（1）若P为椭圆C上一点，且∠F1PF2＝60°，求△PF1F2的面积；
（2）我们称圆心在椭圆C上运动，半径为a2的圆是椭圆C的“卫星圆”，过原点O作椭圆C的“卫星圆”的两条切线，分别交椭圆C于A，B两点，若直线OA，OB的斜率存在，记为k1，k2．
①求证：k1•k2为定值；
②试问|OA|2+|OB|2是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．