2-3-2-基本不等式(讲+练)(原卷版).docx

第2.3章 一元二次函数、方程与不等式
2.3.2 基本不等式

高中要求
1掌握基本不等式a+b≥2ab（a>0 , b>0），探索并了解基本不等式的证明过程.
2 会用基本不等式解决简单的最大（小）问题.

基本不等式
若a>0 , b>0，则a+b≥2ab (当且仅当a=b时，等号成立).
① a+b2叫做正数a , b的算术平均数，ab叫做正数a , b的几何平均数.
② 基本不等式的几何证明
(当点D、O重合，即a=b时，取到等号)
③运用基本不等式求解最值时，牢记：一正，二定，三等.
一正指的是a>0 , b>0；二定指的是ab是个定值，三等指的是不等式中取到等号.

【题型1】 对基本不等式的理解
【典题1】 求函数y=x+1x(x<0)的最值.

【典题2】 求函数y=x+1x−1(x>1)的最值.

变式练习
1.已知a ,b为实数，且a⋅b≠0，则下列命题错误的是 ( )
A．若a>0 ,b>0，则a+b2≥ab　　　 B．若a+b2≥ab，则a>0 ,b>0
C．若a≠b，则a+b2>ab　　　　 　　D．若a+b2>ab，则a≠b
2.函数y=x+4x(x<0)的最大值为 .

【题型2】 基本不等式常见的解题方法
方法1 直接法
【典题1】 下列命题正确的是(　　)
A．函数y=x+1x的最小值为2 B．若a ,b∈R且ab>0，则ba+ab≥2
C．函数x2+2+1x2+2的最小值为2 D．函数y=2−3x−4x的最小值为2−43

变式练习
1.已知a≥0 ,b≥0，且a+b=2，则( )
A. ab≤12 B. ab≥12 C. a2+b2≥2 D. a2+b2≤3
2，已知x>0 ,y>0，且1x+9y=1，则xy的最小值为

方法2 凑项法
【典题1】函数y=3x+12x−1(x>1)的最小值是 .

变式练习
1.若x>0，则函数y=x+12x+1的最小值为 .

方法3 巧“1”法
【典题1】 若正数x ,y满足3x+1y=5，则3x+4y的最小值是 .

变式练习
1.已知a>0 ,b>0且a+b=1，则1a+2b的最小值为 .

2.若正数x ,y满足3x+1y=5，则3x+4y的最小值是 .

1.若b>a>0，则下列不等式中一定成立的是( )
A、a>a+b2>ab>b B、b>ab>a+b2>a
C、b>a+b2>ab>a D、b>a>a+b2>ab
2.已知实数x ,y，满足x2+y2=4，则xy的取值范围是( )
A．xy≤2 B．xy≥2 C．xy≤4 D．−2≤xy≤2
3.若x >0，则函数y=−x−1x (　　)
A．有最大值−2 B．有最小值−2
C．有最大值2 D．有最小值2
4.下列不等式正确的是(　　)
A．x2+3x2≥23 B．a2+b2≥4ab C．ab≥a+b2 D．a+4a≥4
5.下列命题中正确的是(　　)
A．若a，b∈R，则ba+ab≥2ba⋅ab=2 B．若x>0，则x+1x>2
C．若x<0，则x+4x≥−2x⋅4x=−4 D．若x∈R，则2x+2−x≥22x⋅2−x=2
6.若x>0，则x+4x的最小值为
7.已知a ,b∈R，如果ab=1，那么a+b的最小值为________；如果a+b=1，那么ab的最大值为________．
8.已知x>2，则y=x+1x−2的最小值是 ．
9.若正实数a ,b，满足a+b=1，则b3a+3b的最小值为
10.已知x，y∈R+，若x+y+xy=8，则xy的最大值为 .
11.设x>−1，求y=(x+5)(x+2)x+1的最小值.