专题2-5-点、线间的对称关系【六大题型】(举一反三)(原卷版).docx

专题2.5 点、线间的对称关系【六大题型】
【人教A版（2019）】

【题型1 点关于点的对称问题】 1
【题型2 直线关于点的对称问题】 3
【题型3 点关于直线的对称问题】 5
【题型4 直线关于直线的对称问题】 7
【题型5 光线反射问题】 8
【题型6 将军饮马问题】 12

【知识点1 点关于点的对称】
1．点关于点的对称

【题型1 点关于点的对称问题】
【例1】（2023·四川·高二专题练习）若A(4，0)与B点关于点(2，1)对称，则B点坐标为（    ）
A．(0,4) B．(0,2) C．(−2,4) D．(4,−2)
【变式1-1】（2023·江苏·高二专题练习）点A(1,2)关于点P(3,4)对称的点的坐标为 (5,6) ．
【变式1-2】（2023·全国·高二专题练习）点A（5，8），B（4，1），则A点关于B点的对称点C的坐标为 ．
【变式1-3】（2023·江西·高二阶段练习（理））已知点A(x,5)关于点(1,y)的对称点为(−2,−3)，则点P(x,y)到原点的距离是 .
【知识点2 直线关于点的对称】
1．直线关于点的对称

【题型2 直线关于点的对称问题】
【例2】（2023·全国·高三专题练习）直线l:x+2y−1=0关于点(1,−1)对称的直线l′的方程为（    ）
A．2x−y−5=0 B．x+2y−3=0 C．x+2y+3=0 D．2x−y−1=0
【变式2-1】（2022·高二课时练习）点P(1,2)在直线l上，直线l1与l关于点(0,1)对称，则一定在直线l1上的点为（  ）
A．(12,32) B．(−1,32) C．(−1,0) D．(12,0)
【变式2-2】（2023·全国·高三专题练习）直线2x+3y−6=0关于点−1,2对称的直线方程是（    ）
A．3x−2y−10=0 B．3x−2y−23=0
C．2x+3y−4=0 D．2x+3y−2=0
【变式2-3】（2022·全国·高二专题练习）直线ax+3y−9=0与直线x−3y+b=0关于原点对称，则a,b的值是
A．a=−1，b=−9 B．a=−1，b=9
C．a=1，b=−9 D．a=1，b=9
【知识点3 直线关于点的对称】
1．两点关于某直线对称

(4)几种特殊位置的对称：
点
对称轴
对称点坐标
P(a,b)
x轴
(a,-b)
y轴
(-a,b)
y=x
(b,a)
y=-x
(-b,-a)
x=m(m≠0)
(2m-a,b)
y=n(n≠0)
(a,2n-b)
【题型3 点关于直线的对称问题】
【例3】（2023·全国·高一专题练习）点P2,0关于直线l:x−y+3=0的对称点Q的坐标为（    ）．
A．−3,5 B．−1,−4 C．4,1 D．2,3
【变式3-1】（2023秋·吉林白城·高二校考期末）点P(2,0)关于直线l:x+y+1=0的对称点Q的坐标为（    ）
A．(−1,−3) B．(−1,−4) C．(4,1) D．(2,3)
【变式3-2】（2022秋·高二校考课时练习）已知点A（a+2，b+2）和B（b-a，-b）关于直线4x+3y=11对称，则a，b的值为（　　）.
A．a=-1，b=2 B．a=4，b=-2
C．a=2，b=4 D．a=4，b=2
【变式3-3】（2022·全国·高二专题练习）已知点A（1，﹣2），B（m，n），关于直线x+2y﹣2＝0对称，则m+n的值是（　　）
A．﹣2 B．3 C．5 D．7
【知识点4 直线关于直线的对称】

【题型4 直线关于直线的对称问题】
【例4】（2023·全国·高三专题练习）直线2x+3y+4=0关于y轴对称的直线方程为（    ）
A．2x+3y−4=0 B．2x−3y+4=0
C．2x−3y−4=0 D．3x+2y−4=0
【变式4-1】（2023·全国·高三专题练习）求直线x＋2y－1＝0关于直线x＋2y＋1＝0对称的直线方程（    ）
A．x＋2y－3＝0 B．x＋2y＋3＝0
C．x＋2y－2＝0 D．x＋2y＋2＝0
【变式4-2】（2022·全国·高三专题练习）如果直线y=ax+2与直线y=3x−b关于直线y=x对称，那么（    ）
A．a=13,b=6 B．a=13,b=−6 C．a=3,b=−2 D．a=3,b=6
【变式4-3】（2022·全国·高三专题练习）已知直线l1：ax−y+3=0与直线l2关于直线l：x+y−1=0对称，直线l2与直线l3：x+3y−1=0垂直，则a的值为（    ）
A．−13 B．13 C．3 D．−3
【题型5 光线反射问题】
【例5】（2023·全国·高三专题练习）一条光线从点A2,4射出，倾斜角为60∘，遇x轴后反射，则反射光线的直线方程为（    ）
A．3x−y+4−23=0 B．x−3y−2−43=0
C．3x+y+4−23=0 D．x+3y−2−43=0
【变式5-1】（2022秋·山东济南·高二统考期中）一条沿直线传播的光线经过点P−4,8和Q−3,6，然后被直线y=x−3反射，则反射光线所在的直线方程为（    ）
A．x+2y−3=0 B．2x+y−15=0
C．x−2y−5=0 D．x+2y+3=0
【变式5-2】（2022秋·河北邢台·高二统考阶段练习）如图，已知A4,0，B0,6，从点P2,0射出的光线经直线AB反射后再射到直线OB上，最后经直线OB反射后又回到点P，则光线所经过的路程长为（    ）

A．126513 B．813013 C．448113 D．163013
【变式5-3】（2023春·山东东营·高二校考开学考试）已知：A0,4，B0,−4，C4,0，E0,2，F0,−2，一束光线从F点出发射到BC上的D点经BC反射后，再经AC反射，落到线段AE上（不含端点），则FD斜率的取值范围是（    ）

A．−∞,−14 B．−14,0 C．−∞,−18 D．−18,0
【题型6 将军饮马问题】
【例6】（2023·全国·高三专题练习）唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在的位置为B(−2,0)，若将军从山脚下的点A(1,0)处出发，河岸线所在直线的方程为x+y=3，则“将军饮马”的最短总路程为（    ）
A．27 B．5 C．15 D．29
【变式6-1】（2022秋·河北石家庄·高二统考期中）唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河，“诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路最短？试求x2+1+x2−2x+5最小（    ）
A．5 B．10 C．1+5 D．2+2
【变式6-2】（2022秋·四川成都·高三校考阶段练习）唐代诗人李颀的诗《古从军行》开关两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，诗中隐含着一个有趣的数学问题—“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在的位置为B(−2,0)，若将军从山脚下的点A(3,0)处出发，河岸线所在直线方程为x+y=4，则“将军饮马”的最短总路程为（    ）
A．1453 B．37 C．1353 D．163
【变式6-3】（2022秋·安徽滁州·高二校考阶段练习）唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河．”诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在位置为B3,4，若将军从点A−2,0处出发，河岸线所在直线方程为y=x，则“将军饮马”的最短总路程为 （    ）
A．5 B．35 C．4 D．53