专题一 函数与导数.doc

专题一　函数与导数
第一讲　 　函数的图象与性质

一、选择题
1．(2015·重庆高考)函数f(x)＝log2(x2＋2x－3)的定义域是(　　)　　　　　　　　　　　　　　　　
A．[－3,1]
B．(－3,1)
C．(－∞，－3]∪[1，＋∞)
D．(－∞，－3)∪(1，＋∞)
2．(2015·广东高考)下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是(　　)
A．y＝x＋sin 2x B．y＝x2－cos x
C．y＝2x＋ D．y＝x2＋sin x
3．若loga2<0(a>0，且a≠1)，则函数f(x)＝loga(x＋1)的图象大致是(　　)

4．已知f(x)，g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数，且f(x)－g(x)＝x3＋x2＋1，则f(1)＋g(1)＝(　　)
A．－3 B．－1 C．1 D．3
5．(2015·唐山模拟)f(x)是R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝x3＋ln(1＋x)，则当x<0时，f(x)＝(　　)
A．－x3－ln(1－x) B．x3＋ln(1－x)
C．x3－ln(1－x) D．－x3＋ln(1－x)
6．定义在R上的偶函数f(x)满足f(x＋1)＝－f(x)，f(x)在[－3，－2]上为减函数，则有(　　)
A．f>f>f
B．f>f>f
C．f>f>f
D．f>f>f
7．(2015·杭州模拟)已知函数f(x)＝ex－1，g(x)＝－x2＋4x－3.若有f(a)＝g(b)，则b的取值范围为(　　)
A．[2－，2＋] B．(2－，2＋)
C．[1,3] D．(1,3)
8．已知f(x)是定义在R上的奇函数，若对于x≥0，都有f(x＋2)＝f(x)，且当x∈[0,2)时，f(x)＝ex－1，则f(2 015)＋f(－2 016)＝(　　)
A．1－e B．e－1 C．－1－e D．e＋1
9．(2015·唐山模拟)已知f(x)＝的值域为R，那么a的取值范围是(　　)
A．(－∞，－1] B.
C. D.
10．(2015·温州模拟)已知函数f(x)的图象如图所示，则f(x)的解析式可能是(　　)

A．f(x)＝x2－2ln|x|
B．f(x)＝x2－ln|x|
C．f(x)＝|x|－2ln|x|
D．f(x)＝|x|－ln|x|
11．(2015·武昌模拟) 如图，直线l和圆C，当l从l0开始在平面上绕点O按逆时针方向匀速转动(转动角度不超过90°)时，它扫过的圆内阴影部分的面积S是时间t的函数，这个函数的大致图象是(　　)

12．已知y＝f(x)是定义在R上的偶函数，对任意x恒有f(x＋6)＝f(x)＋f(3)，当x1，x2∈[0,3]且x1≠x2时，>0，给出下列命题：
①f(3)＝0；
②直线x＝－6是y＝f(x)的一条对称轴；
③y＝f(x)在(－9，－6)上为增函数；
④y＝f(x)在[－9,9]上有四个零点．
其中所有正确命题的序号为(　　)
A．①② B．②④ C．①②③ D．①②④
二、填空题
13．设函数f(x)＝x(ex＋ae－x)(x∈R)是偶函数，则实数a的值为________．
14．已知函数f(x)＝ax＋b(a>0，a≠1)的定义域和值域都是[－1,0]，则a＋b＝________.
15．(2015·四川高考)某食品的保鲜时间y(单位：小时)与储藏温度x(单位：℃)满足函数关系y＝ekx＋b(e＝2.718…为自然对数的底数，k，b为常数)．若该食品在0 ℃的保鲜时间是192小时，在22 ℃的保鲜时间是48小时，则该食品在33 ℃的保鲜时间是________小时．
16．已知函数y＝的图象与函数y＝kx－2的图象恰有两个交点，则实数k的取值范围是________．

答案
1．解析：选D　要使函数有意义，只需x2＋2x－3>0，即(x＋3)(x－1)>0，解得x<－3或x>1.故函数的定义域为(－∞，－3)∪(1，＋∞)．
2．解析：选D　A项，定义域为R，f(－x)＝－x－sin 2x＝－f(x)，为奇函数，故不符合题意；B项，定义域为R，f(－x)＝x2－cos x＝f(x)，为偶函数，故不符合题意；C项，定义域为R，f(－x)＝2－x＋＝2x＋＝f(x)，为偶函数，故不符合题意；D项，定义域为R，f(－x)＝x2－sin x，－f(x)＝－x2－sin x，因为f(－x)≠－f(x)，且f(－x)≠f(x)，故为非奇非偶函数．
3．解析：选B　由loga2<0，得0<a<1，故函数f(x)＝loga(x＋1)为减函数，故排除选项A、D.由图象平移可知f(x)＝loga(x＋1)的图象可由y＝logax的图象向左平移1个单位得到．
4．解析：选B　用“－x”代替“x”，得f(－x)－g(－x)＝(－x)3＋(－x)2＋1，又由题意知f(－x)＝－f(x)，g(－x)＝g(x)，f(x)＋g(x)＝－(－x3＋x2＋1)，令x＝1，得f(1)＋g(1)＝－1.
5．解析：选C　当x<0时，－x>0，又f(x)是R上的奇函数，所以f(x)＝－f(－x)＝－[(－x)3＋ln(1－x)]＝x3－ln(1－x)．
6．解析：选C　由f(x＋1＋1)＝－f(x＋1)＝f(x)，知f(x)的周期为2，所以f(x)在[－1,0]上为减函数，故偶函数f(x)在[0,1]上为增函数，而f＝f，f＝f＝f，所以f>f>f，即f>f>f.
7解析：选B　f(a)的值域为(－1，＋∞)，由－b2＋4b－3>－1，解得2－<b<2＋.
8．解析：选B　由f(x＋2)＝f(x)可知当x≥0时函数的周期是2.所以f(2 015)＝f(1)＝e－1，f(－2 016)＝－f(2 016)＝－f(0)＝0，所以f(2 015)＋f(－2 016)＝e－1.
9．解析：选C　要使函数f(x)的值域为R，需使∴∴－1≤a＜，故选C.

10．解析：选B　由函数图象可得，函数f(x)为偶函数，且x>0时，函数f(x)的单调性为先减后增，最小值为正，极小值点小于1，分别对选项中各个函数求导，并求其导函数等于0的正根，可分别得1，，2,1，由此可得仅函数f(x)＝x2－ln|x|符合条件．
11．解析：选C　当转动角度不超过45°时，阴影面积增加得越来越快，图象下凸；当转动角度超过45°时，阴影面积增加得越来越慢，图象上凸，故选C.
12．解析：选D　令x＝－3，得f(3)＝f(－3)＋f(3)，即f(－3)＝f(3)＝0，故①正确．由f(x＋6)＝f(x)，知函数y＝f(x)是周期为6的偶函数．又当x1，x2∈[0,3]且x1≠x2时，>0，故函数y＝f(x)在[0,3]上为增函数．作出函数y＝f(x)在区间[－9,9]上的大致图象，如图所示．由图形，可知函数y＝f(x)关于直线x＝－6对称，且f(－3)＝f(3)＝f(9)＝f(－9)＝0，y＝f(x)在(－9，－6)上单调递减，即①②④是正确的．

13．解析：设g(x)＝x，h(x)＝ex＋ae－x，因为函数g(x)＝x是奇函数，则由题意知，函数h(x)＝ex＋ae－x为奇函数，又函数f(x)的定义域为R，∴h(0)＝0，解得a＝－1.
答案：－1
14．解析：当a>1时，函数f(x)单调递增，则无解；当0<a<1时，函数f(x)单调递减，则解得故a＋b＝－.
答案：－
15．解析：由已知条件，得192＝eb，∴b＝ln 192.
又∵48＝e22k＋b＝e22k＋ln 192＝192e22k＝192(e11k)2，
∴e11k＝＝＝.
设该食品在33 ℃的保鲜时间是t小时，则t＝e33k＋ln 192＝192e33k＝192(e11k)3＝192×3＝24.
答案：24
16．解析：根据绝对值的意义，y＝＝
在直角坐标系中作出该函数的图象，如图中实线所示．根据图象可知，当0<k<1或1<k<4时有两个交点．
答案：(0,1)∪(1,4)

第二讲　 　基本初等函数、函数与方程及函数的应用

一、选择题
1．函数y＝的定义域为(　　)　　　　　　　　　　　　　　　　
A. B.
C．(1，＋∞) D.∪(1，＋∞)
2．设a＝，b＝，c＝，则a，b，c的大小关系是(　　)
A．a>c>b B．a>b>c C．c>a>b D．b>c>a
3．已知函数f(x)＝－log2x，在下列区间中，包含 f(x)零点的区间是(　　)
A．(0,1) B．(1,2) C．(2,4) D．(4，＋∞)
4．(2015·辽宁五校联考)一个人以6米/秒的速度去追赶停在交通灯前的汽车，当他离汽车25米时交通灯由红变绿，汽车开始变速直线行驶(汽车与人前进方向相同)，汽车在时间t内的路程为s＝t2米，那么，此人(　　)
A．可在7秒内追上汽车
B．可在9秒内追上汽车
C．不能追上汽车，但期间最近距离为14米
D．不能追上汽车，但期间最近距离为7米
5．已知a>b>1,0<x<1，以下结论中成立的是(　　)
A.x>x B．xa>xb C．logx a>logx b D．loga x>logb x
6．设1<x<2，则，2，的大小关系是(　　)
A.2<<
B.<2<
C.2<<
D.<2<
7．某公司在甲乙两地销售一种品牌车，利润(单位：万元)分别为L1＝5.06x－0.15x2和L2＝2x，其中x为销售量(单位：辆)．若该公司在这两地共销售15辆车，则能获得的最大利润为(　　)
A．45.606万元 B．45.6万元
C．45.56万元 D．45.51万元
8．(2015·成都三诊)已知函数f(x)＝ln x－2[x]＋3，其中[x]表示不大于x的最大整数(如[1.6]＝1，[－2.1]＝－3)，则函数f(x)的零点个数是(　　)
A．1 B．2 C．3 D．4

9．(2015·长沙模拟)奇函数f(x)、偶函数g(x)的图象分别如图1、图2所示，方程f(g(x))＝0，g(f(x))＝0的实根个数分别为a 、b，则a＋b等于(　　)

　 　　 　图1　　　　　　　　　　图2
A．14 B．10 C．7 D．3
10．(2015·济南模拟)已知x0是函数f(x)＝2x＋的一个零点．若x1∈(1，x0)，x2∈(x0，＋∞)，则(　　)
A．f(x1)<0，f(x2)<0
B．f(x1)<0，f(x2)>0
C．f(x1)>0，f(x2)<0
D．f(x1)>0，f(x2)>0
11．(2015·唐山模拟)函数f(x)＝e－x，g(x)＝|ln x|，若x1，x2都满足f(x)＝g(x)，则(　　)
A．x1·x2>e B．1<x1·x2<e C．0<x1·x2< D.<x1·x2<1

12．(2015·绵阳模拟)已知函数f(x)＝给出如下三个命题：
①f(x)在[，＋∞)上是减函数；
②f(x)≤在R上恒成立；
③函数y＝f(x)图象与直线y＝－ 有两个交点．
其中真命题的个数为(　　)
A．3个 B．2个 C．1个 D．0个
二、填空题
13．(2015· 徐州、连云港、宿迁联考)设函数f(x)＝则f(f(－1))的值为________．
14．(2015·威海模拟)函数f(x)＝－x＋1的零点个数为________．
15．若正数a，b满足2＋log2a＝3＋log3b＝log6(a＋b)，则＋的值为________．
16．(2015·苏锡常镇模拟)已知函数f(x)＝|x3－4x|＋ax－2恰有2个零点，则实数a的取值范围为________．
答案
1．解析：选A　使函数有意义需满足解得<x<1.
2．解析：选A　比较b与c，考察函数y＝x，∵0<<1，∴指数函数y＝x在R上是减函数，∵>，
∴<，即b<c，比较a与c，考察函数y＝x，∵>0，∴幂函数y＝x在第一象限是增函数，
∴>，即a>c，∴a>c>b.
3．解析：选C　因为f(1)＝6－log21＝6>0，f(2)＝3－log22＝2>0，f(4)＝－log24＝－<0，所以函数f(x)的零点所在区间为(2,4)．
4．解析：选D　s＝t2，车与人的间距d＝(s＋25)－6t＝t2－6t＋25＝(t－6)2＋7.当t＝6时，d取得最小值7.故选D.
5．解析：选D　∵a>b>1,0<x<1，∴0<<<1，∴x<x，故A不成立；∵a>b>1,0<x<1，∴xa<xb，故B不成立；∵a>b>1,0<x<1，∴logx a<logx b，故C不成立；∵a>b>1,0<x<1，∴loga x>logb x，故D成立．
6．解析：选A　∵1<x<2，∴0<<1，∴2<，又＝·>，∴2<<.
7．解析：选B　设在甲地销售x辆车，则在乙地销售15－x辆车．获得的利润为y＝5.06x－0.15x2＋2(15－x)＝－0.15x2＋3.06x＋30，当x＝－＝10.2时，y最大，但x∈N，所以当x＝10时，ymax＝－15＋30.6＋30＝45.6(万元)．
8．解析：选B　设g(x)＝ln x，h(x)＝2[x]－3，当0<x<1时，h(x)＝－3，作出图象，两函数有一个交点即一个零点；当2≤x<3时，h(x)＝1，ln 2≤g(x)<ln 3，此时两函数有一交点，即有一零点，共两个零点．
9．解析：选B　由图得f(g(x))＝0⇒g(x)＝0或g(x)＝±1，g(x)＝0有3个解，g(x)＝1有2个解，g(x)＝－1有2个解，因此a＝7，由于－1≤f(x)≤1，则g(f(x))＝0⇒f(x)＝0，而f(x)＝0有3个解，因此b＝3，所以a＋b＝10.
10．解析：选B　方程的根与函数的零点的联系为：方程f(x)＝0有实根⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有交点⇔函数y＝f(x)有零点．当x>1时，y＝是增函数；y＝2x也是增函数．所以f(x)是增函数，因为f(x0)＝0且x1<x0，x2>x0，所以f(x1)<0，f(x2)>0.
11．解析：选D　若x1，x2是函数f(x)＝e－x－|ln x|的两个零点，则x1，x2是函数y＝e－x和y＝|ln x|的图象交点的横坐标，画函数y＝e－x和y＝|ln x|的图象如图所示，由图可得即－1<ln(x1x2)<1，即<x1x2<e，又因为－ln x1>ln x2，所以ln(x1x2)<0，得x1x2<1，综上<x1x2<1.

12．解析：选B　当x<0时，函数f(x)＝ex＋x－1显然是增函数；当x≥0时，函数f(x)＝－x3＋2x，f′(x)＝－x2＋2且f(0)＝0，所以函数在[0，)上单调递增，在[，＋∞)上单调递减，f(x)极大值＝f()＝，由此画出函数大致图象．故①，③正确．
13．解析：由于f(－1)＝4－1＝，故f(f(－1))＝f＝log2＝－2.
答案：－2
14．解析：令f(x)＝0，即x2－2x＋＝x－1，则函数h(x)＝x2－2x＋和函数g(x)＝x－1的交点个数即为函数f(x)的零点个数，如图所示，h(x)与g(x)有两个交点，所以函数f(x)的零点个数为2.

答案：2
15．解析：设2＋log2a＝3＋log3b＝log6(a＋b)＝k，可得a＝2k－2，b＝3k－3，a＋b＝6k，所以＋＝＝＝108.
答案：108
16． 解析：令f(x)＝|x3－4x|＋ax－2＝0，则有|x3－4x|＝2－ax，可知函数y＝|x3－4x|与y＝2－ax恰有2个交点，如图所示，此时两函数有交点3个，此时－a＝1或－a＝－1，解得a＝－1或a＝1，而要满足两函数的图象恰好有2个交点，则必有a<－1或a>1.

答案：(－∞，－1)∪(1，＋∞)

第三讲　 　导数的简单应用

一、选择题
1．(2015·丰台模拟)直线y＝x＋4与曲线y＝x2－x＋1所围成的封闭图形的面积为(　　)　　　　　　　　　　　　　　　　
A. B. C. D.
2．设函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c∈R)．若x＝－1为函数f(x)ex的一个极值点，则下列图象不可能为y＝f(x)图象的是(　　)

3．若f(x)的定义域为R，f′(x)>2恒成立，f(－1)＝2，则f(x)>2x＋4的解集为(　　)
A．(－1,1) B．(－1，＋∞)
C．(－∞，－1) D．(－∞，＋∞)
4．已知常数a，b，c都是实数，f(x)＝ax3＋bx2＋cx－34的导函数为f′(x)，f′(x)≤0的解集为{x|－2≤x≤3}，若f(x)的极小值等于－115，则a的值是(　　)
A．－ B. C．2 D．5
5．(2015·江西八校联考)已知定义域为R的奇函数f(x)的导函数f′(x)，当x≠0时，f′(x)＋>0，若a＝sin 1·f(sin 1)，b＝－3f(－3)，c＝ln 3f(ln 3)，则下列关于a，b，c的大小关系正确的是(　　)
A．b>c>a B．a>c>b C．c>b>a D．b>a>c
二、填空题
6．(2015·乌鲁木齐市诊断)已知a≥0，函数f(x)＝(x2－2ax)ex，若f(x)在[－1,1]上是单调减函数，则a的取值范围是________．
7．函数f(x)＝x2ex在区间(a，a＋1)上存在极值点，则实数a的取值范围为________．
8.(2015·盐城模拟)若函数f(x)＝－ln x＋ax2＋bx－a－2b有两个极值点x1，x2，其中－ <a<0，b>0，且f(x2)＝x2>x1，则方程2a[f(x)]2＋bf(x)－1＝0的实根个数为________．

三、解答题
9．已知函数f(x)＝＋－ln x－，其中a∈R，且曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线垂直于直线y＝x.
(1)求a的值；
(2)求函数f(x)的单调区间与极值．
10．(2015·日照模拟)已知函数f(x)＝cos，g(x)＝ex·f′(x)，其中e为自然对数的底数．
(1)求曲线y＝g(x)在点(0，g(0))处的切线方程；
(2)若对任意x∈，不等式g(x)≥x·f(x)＋m恒成立，求实数m的取值范围；
(3)试探究当x∈时，方程g(x)＝x·f(x)的解的个数，并说明理由．
11．(2015·重庆高考)设函数f(x)＝(a∈R)．
(1)若f(x)在x＝0处取得极值，确定a的值，并求此时曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程；
(2)若f(x)在[3，＋∞)上为减函数，求a的取值范围．
12．已知函数f(x)＝x·ln x，g(x)＝ax3－x－.
(1)求f(x)的单调递增区间和最小值；
(2)若函数y＝f(x)与函数y＝g(x)的图象在交点处存在公共切线，求实数a的值．
答案
1．解析：选C　因为x＋4＝x2－x＋1的解为x＝－1或x＝3，所以封闭图形的面积为S＝[x＋4－(x2－x＋1)]dx＝(－x2＋2x＋3)dx＝－x3＋x2＋3x＝.
2．解析：选D　设F(x)＝f(x)·ex，则F′(x)＝ex[f′(x)＋f(x)]．因为x＝－1是F(x)的一个极值点，所以F′(－1)＝0，得出f′(－1)＋f(－1)＝0，在选项D中，观察图象得f(－1)>0，f′(－1)>0，所以f(－1)＋f′(－1)>0与f′(－1)＋f(－1)＝0矛盾．
3．解析：选B　构造函数F(x)＝f(x)－2x，则F′(x)＝f′(x)－2>0，所以函数F(x)在定义域上单调递增，又F(－1)＝f(－1)＋2＝4，所以f(x)>2x＋4的解集为(－1，＋∞)．
4．解析：选C　依题意得f′(x)＝3ax2＋2bx＋c≤0的解集是[－2,3]，于是有3a>0，－2＋3＝－，－2×3＝，b＝－，c＝－18a，函数f(x)在x＝3处取得极小值，于是有f(3)＝27a＋9b＋3c－34＝－115，－a＝－81，a＝2.
5．解析：选A　令g(x)＝xf(x)，则g′(x)＝f(x)＋xf′(x)，∵当x≠0时，f′(x)＋>0，
∴当x>0时，g′(x)>0，∴当x>0时，函数g(x)单调递增，∵函数f(x)是奇函数，∴g(x)＝xf(x)为偶函数，
∴b＝－3f(－3)＝3f(3)，
又∵1<ln 3<2,0<sin 1<1，∴3>ln 3>sin 1，
∴3f(3)>ln 3f(ln 3)>sin 1·f(sin 1)，
即b>c>a.
6．解析：f ′(x)＝ex[x2＋2(1－a)x－2a]，
∵f(x)在[－1,1]上单调递减，∴f′(x)≤0在[－1,1]上恒成立，
令g(x)＝x2＋2(1－a)x－2a，则∴a≥.
答案：
7．解析：函数f(x)＝x2ex的导数为y′＝2xex＋x2ex＝xex·(x＋2)，令y′＝0，则x＝0或x＝－2，当x∈(－2,0)时f(x)单调递减，当x∈(－∞，－2)和x∈(0，＋∞)时f(x)单调递增，∴0和－2是函数的极值点，因为函数f(x)＝x2ex在区间( a，a＋1)上存在极值点，所以a<－2<a＋1或a<0<a＋1⇒－3<a<－2或－1<a<0.
答案：(－3，－2)∪(－1,0)
8. 解析：由于函数f(x)＝－ln x＋ax2＋bx－a－2b有两个极值点x1，x2，那么f′(x)＝－＋2ax＋b＝＝＝0，可得x1＋x2＝－，x1x2＝－，而关于f(x)的方程2a[f(x)]2＋bf(x)－1＝0有两个根，则f(x)＝x1或f(x)＝x2，而f(x2)＝x2>x1，大致图象如图，那么根据对应的图形，数形结合可得f(x)＝x1有三个实根，f(x)＝x2有两个实根，故方程2a·[f(x)]2＋bf(x)－1＝0的实根个数为5个．
答案：5
9．解：(1)对f(x)求导得f′(x)＝－－，
由f(x)在点(1，f(1))处的切线垂直于直线y＝x，
知f′(1)＝－－a＝－2，解得a＝.
(2)由(1)知f(x)＝＋－ln x－，
则f′(x)＝，
令f′(x)＝0，解得x＝－1或x＝5，
因x＝－1不在f(x)的定义域(0，＋∞)内，故舍去．
当x∈(0,5)时，f′(x)<0，故f(x)在(0,5)内为减函数；当x∈(5，＋∞)时，f′(x)>0，故f(x)在(5，＋∞)内为增函数．由此知函数f(x)在x＝5时取得极小值f(5)＝－ln 5.
10．解：(1)依题意得，f(x)＝sin x，g(x)＝ex·cos x，g(0)＝e0cos 0＝1，
g′(x)＝excos x－exsin x，g′(0)＝1，
所以曲线y＝g(x)在点(0，g(0))处切线方程为
y＝x＋1.
(2)不等式恒成立等价于对任意x∈，m≤[g(x)－x·f(x)]min.
设h(x)＝g(x)－x·f(x)，x∈.
则h′(x)＝excos x－exsin x－sin x－xcos x＝(ex－x)·cos x－(ex＋1)sin x.
因为x∈，所以(ex－x)cos x≥0，
(ex＋1)sin x≤0，
所以h′(x)≥0，故h(x)在上单调递增，
因此当x＝－时，函数h(x)取得最小值h＝－；
所以m≤－，即实数m的取值范围是.
(3)设H(x)＝g(x)－xf(x)，x∈.
当x∈时，H′(x)＝ex(cos x－sin x)－sin x－xcos x<0，所以函数H(x)在上单调递减，故函数H(x)在上至多只有一个零点，
又H＝>0，H＝－<0，而且函数H(x)在上是连续不断的，
因此，函数H(x)在上有且只有一个零点．
11．解：(1)对f(x)求导得f′(x)
＝＝.
因为f(x)在x＝0处取得极值，
所以f′(0)＝0，即a＝0.
当a＝0时，f(x)＝，f′(x)＝，故f(1)＝，f′(1)＝，从而f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为y－＝(x－1)，化简得3x－ey＝0.
(2)由(1)知f′(x)＝，
令g(x)＝－3x2＋(6－a)x＋a，
由g(x)＝0解得x1＝，x2＝.
当x<x1时，g(x)<0，即f′(x)<0，故f(x)为减函数；
当x1<x<x2时，g(x)>0，即f′(x)>0，故f(x)为增函数；
当x>x2时，g(x)<0，即f′(x)<0，故f(x)为减函数．
由f(x)在[3，＋∞)上为减函数，知x2＝≤3，解得a≥－.故a的取值范围为.
12．解：(1)∵f′(x)＝ln x＋1，
由f′(x)>0，得x>，
∴f(x)的单调递增区间为.
又当x∈时，f′(x)<0，则f(x)在上单调递减，
当x∈时，f′(x)>0，则f(x)在上单调递增，
∴f(x)的最小值为f＝－.
(2)∵f′(x)＝ln x＋1，g′(x)＝3ax2－，
设公切点的横坐标为x0，则与f(x)的图象相切的直线方程为y＝(ln x0＋1)x－x0，与g(x)的图象相切的直线方程为y＝x－2ax－，
∴
解之得x0ln x0＝－，
由(1)知x＝，
∴a＝.

第四讲　 　导数的综合应用

1．(2015·上饶模拟)已知函数f(x)＝ex＋mx－2，g(x)＝mx＋ln x.
(1)求函数f(x)的单调区间；
(2)当m＝－1时，试推断方程：＝＋是否有实数解．
2．已知函数f(x)＝aln x＋1(a>0)．
(1)当a＝1且x>1时，证明：f(x)>3－；
(2)若对∀x∈(1，e)，f(x)>x恒成立，求实数a的取值范围．
3．(2015·菏泽模拟)已知函数f(x)＝(其中k∈R，e＝2.718 28…是自然对数的底数)，f′(x)为f(x)导函数．
(1)当k＝2时，其曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程；
(2)若x∈(0,1]时，f′(x)＝0都有解，求k的取值范围；
(3)若f′(1)＝0，试证明：对任意x>0，f′(x)<恒成立．
4．已知函数f(x)＝xln x，g(x)＝x3＋ax2－x＋2.
(1)求函数f(x)的单调区间；
(2)求函数f(x)在区间[t，t＋2](t>0)上的最小值；
(3)若对一切的x∈(0，＋∞)，2f(x)<g′(x)＋2恒成立，求实数a的取值范围．
5.(2015·银川模拟)定义在R上的函数f(x)满足f(x)＝·e2x－2＋x2－2f(0)·x，g(x)＝f－x2＋(1－a)x＋a.
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)求函数g(x)的单调区间；
(3)如果s、t、r满足|s－r|≤|t－r|，那么称s比t更靠近r.当a≥2且x≥1时，试比较和ex－1＋a哪个更靠近ln x，并说明理由．
6.(2015·山东省实验诊断)已知函数f(x)＝.
(1)求函数f(x)的单调区间；
(2)若函数f(x)在区间(t>0)上不是单调函数，求实数t的取值范围；
(3)如果当x≥1时，不等式f(x)≥恒成立，求实数a的取值范围．
答案
1．解：(1)由题意可得：f′(x)＝ex＋m.
当m≥0时，f′(x)>0，
所以当m≥0时，函数f(x)的单调增区间为R.
当m<0时，令f′(x)>0，即ex＋m>0，可得：x>ln(－m)；
令f′(x)<0时，即ex＋m<0，可得：x<ln(－m)．
所以当m<0时，函数f(x)的单调增区间为(ln(－m)，＋∞)，
单调减区间为(－∞，ln(－m))．
(2)当m＝－1时，g(x)＝－x＋ln x(x>0)，
易得：g′(x)＝－1.
令g′(x)>0，可得：0<x<1；
令g′(x)<0，可得：x>1.
故g(x)在x＝1处取得极大值，亦即最大值．
即g(x)≤g(1)＝－1，
∴|g(x)|≥1.
令h(x)＝＋，
所以h′(x)＝.
令h′(x)>0，可得：0<x<e，
令h′(x)<0，可得：x>e.
故h(x)在x＝e处取得极大值，亦即最大值．
∴h(x)≤h(e)＝＋<1.
所以方程＝＋无实数解．
2．解：(1)证明：要证f(x)>3－，即证ln x＋－2>0，
令m(x)＝ln x＋－2，
则m′(x)＝－＝>0.
所以m(x)在(1，＋∞)上单调递增，
所以m(x)>m(1)＝0，
所以ln x＋－2>0，
即f(x)>3－成立．
(2)由f(x)>x且x∈(1，e)可得a>，
令h(x)＝，h′(x)＝，
由(1)知ln x－1＋>1＋－＝>0，
所以h′(x)>0，函数h(x)在(1，e)上单调递增，
当x∈(1，e)时，h(x)<h(e)＝e－1，所以a≥e－1.
所以a的取值范围是[e－1，＋∞)．
3．解：(1)由f(x)＝得f′(x)＝，x∈(0，＋∞)，
所以曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线斜率为f′(1)＝－，
∵f(1)＝，
∴曲线y＝f(x)切线方程为y－＝－·(x－1)；
即y＝－x＋.
(2)由f′(x)＝0得k＝，令F(x)＝，
∵0<x≤1，∴F′(x)＝－<0，
所以F(x)在(0,1]上单调递减，又当x趋向于0时，F(x)趋向于正无穷大，故F(x)≥F(1)＝1，即k≥1.故k的取值范围为[1，＋∞)．
(3)由f′(1)＝0，得k＝1，
令g(x)＝(x2＋x)f′(x)，
所以g(x)＝(1－x－xln x)，x∈(0，＋∞)，
因此，对任意x>0，g(x)<e－2＋1等价于1－x－xln x<(e－2＋1)，
由h(x)＝1－x－xln x，x∈(0，＋∞)，得h′(x)＝－ln x－2，x∈(0，＋∞)．
因此，当x∈(0，e－2)时，h′(x)>0，h(x)单调递增；x∈(e－2，＋∞)时，h′(x)<0，h(x)单调递减．
所以h(x)的最大值为h(e－2)＝e－2＋1，故1－x－xln x≤e－2＋1.
设φ(x)＝ex－(x＋1)，
∵φ′(x)＝ex－1，所以x∈(0，＋∞)时φ′(x)>0，φ(x)单调递增，φ(x)>φ(0)＝0，
故x∈(0，＋∞)时，φ(x)＝ex－(x＋1)>0，即>1，
所以1－x－xln x≤e－2＋1<(e－2＋1)．
因此，对任意x>0，f′(x)<恒成立．
4．解：(1)f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝ln x＋1，
令f′(x)<0得0<x<；
令f′(x)>0得x>.
∴f(x)的单调递减区间是，单调递增区间为.
(2)(ⅰ)当0<t<t＋2<时，无解；
(ⅱ)当0<t<<t＋2，即0<t<时，
由(1)知，f(x)min＝f＝－；
(ⅲ)当≤t<t＋2，即≤t时，
f(x)在区间[t，t＋2]上单调递增，f(x)min＝f(t)＝tln t.
综上，f(x)min＝
(3)由2f(x)<g′(x)＋2，得2xln x<3x2＋2ax＋1.
∵x>0，∴a>ln x－x－，
设h(x)＝ln x－x－，
则h′(x)＝－＋＝－.
令h′(x)＝0，得x＝1，x＝－(舍)．
当0<x<1时，h′(x)>0，h(x)在(0,1)上单调递增；
当x>1时，h′(x)<0，h(x)在(1，＋∞)上单调递减．
∴当x＝1时，h(x)取得最大值，h(x)max＝－2，
∴a>－2.
∴a的取值范围是(－2，＋∞)．
5.解：(1)f′(x)＝f′(1)e2x－2＋2x－2f(0)，
所以f′(1)＝f′(1)＋2－2f(0)，即f(0)＝1.
又f(0)＝·e－2，
所以f′(1)＝2e2，所以f(x)＝e2x＋x2－2x.
(2)∵f(x)＝e2x－2x＋x2，
∴g(x)＝f－x2＋(1－a)x＋a＝ex＋x2－x－x2＋(1－a)x＋a＝ex－a(x－1)，
∴g′(x)＝ex－a.
①当a≤0时，g′(x)>0，函数f(x)在R上单调递增；②当a>0时，由g′(x)＝ex－a＝0得x＝ln a，
∴x∈(－∞，ln a)时，g′(x)<0，g(x)单调递减；
x∈(ln a，＋∞)时，g′(x)>0，g(x)单调递增．
综上，当a≤0时，函数g(x)的单调递增区间为(－∞，＋∞)；当a>0时，函数g(x)的单调递增区间为(ln a，＋∞)，单调递减区间为(－∞，ln a)．
(3)设p(x)＝－ln x，q(x)＝ex－1＋a－ln x，
∵p′(x)＝－－<0，∴p(x)在x∈[1，＋∞)上为减函数，又p(e)＝0，
∴当1≤x≤e时，p(x)≥0，当x>e时，p(x)<0.
∵q′(x)＝ex－1－，q″(x)＝ex－1＋>0，
∴q′(x)在x∈[1，＋∞)上为增函数，又q′(1)＝0，
∴x∈[1，＋∞)时，q′(x)≥0，∴q(x)在x∈[1，＋∞)上为增函数，
∴q(x)≥q(1)＝a＋1>0.
①当1≤x≤e时，|p(x)|－|q(x)|＝p(x)－q(x)＝－ex－1－a，
设m(x)＝－ex－1－a，则m′(x)＝－－ex－1<0，
∴m(x)在x∈[1，＋∞)上为减函数，
∴m(x)≤m(1)＝e－1－a，
∵a≥2，∴m(x)<0，
∴|p(x)|<|q(x)|，
∴比ex－1＋a更靠近ln x.
②当x>e时，
|p(x)|－|q(x)|＝－p(x)－q(x)＝－＋2ln x－ex－1－a<2ln x－ex－1－a，
设n(x)＝2ln x－ex－1－a，则n′(x)＝－ex－1，
n″(x)＝－－ex－1<0，
∴n′(x)在x>e时为减函数，
∴n′(x)<n′(e)＝－ee－1<0，
∴n(x)在x>e时为减函数，
∴n(x)<n(e)＝2－a－ee－1<0，
∴|p(x)|<|q(x)|，
∴比ex－1＋a更靠近ln x.
综上在a≥2，x≥1时，比ex－1＋a更靠近ln x.
6.解：(1)f′(x)＝－(x>0)，
解f′(x)>0，得0<x<1；解f′(x)<0，得x>1；
所以f(x)在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减．
(2)因为函数f(x)在区间(t>0)上不是单调函数，所以解得<t<1.
故t的取值范围为.
(3)不等式f(x)≥恒成立，即≥a恒成立，
令g(x)＝，
则g′(x)＝＝，
令h(x)＝x－ln x，则h′(x)＝1－，
∵x≥1，∴h′(x)≥0，
∴h(x)在[1，＋∞)上单调递增，
∴h(x)min＝h(1)＝1>0，从而g′(x)>0，
所以g(x)在[1，＋∞)上单调递增，且g(x)min＝g(1)＝2，
所以a≤2.故a的取值范围为(－∞，2]．

高考大题专项练(一)　函数与导数

A组
1．(2015·东北三校联考)已知实数a为常数，函数f(x)＝xln x＋ax2.
(1)若曲线y＝f(x)在x＝1处的切线过点A(0，－2)，求实数a的值；
(2)若函数y＝f(x)有两个极值点x1，x2(x1<x2)．
①求证：－<a<0；
②求证：f(x1)<0，f(x2)>－.
2．(2015·长沙模拟)若函数f(x)是定义域D内的某个区间I上的增函数，且F(x)＝在I上是减函数，则称y＝f(x)是I上的“单反减函数”，已知
f(x)＝ln x，g(x)＝2x＋＋aln x(a∈R)．
(1)判断f(x)在(0,1]上是否是“单反减函数”；