第05讲-利用导数研究恒成立问题(学生版).docx

第05讲 利用导数研究恒成立问题
（核心考点精讲精练）

1. 4年真题考点分布
4年考情
考题示例
考点分析
关联考点
2023年新I卷，第19题,12分
利用导数研究不等式恒成立问题
含参分类讨论求函数的单调区间
2023年新Ⅱ卷，第22题,12分
利用导数研究不等式恒成立问题
利用导数求函数的单调区间
(不含参)
利用导数研究函数的零点
根据极值点求参数
2022年新Ⅱ卷，第22题,12分
利用导数研究不等式恒成立问题
含参分类讨论求函数的单调区间
裂项相消法求和
2020年新I卷，第21题,12分
利用导数研究不等式恒成立问题
求在曲线上一点处的切线方程
2020年新Ⅱ卷，第22题,12分
利用导数研究不等式恒成立问题
求在曲线上一点处的切线方程

2. 命题规律及备考策略
【命题规律】本节内容是新高考卷的必考内容，设题稳定，难度较大，分值为12分
【备考策略】1能用导数证明函数的单调性
2能求出函数的极值或给定区间的最值
3恒成立，恒成立，
【命题预测】导数的综合应用是高考考查的重点内容,也是高考压轴题之一近几年高考命题的趋势，是稳中求变、变中求新、新中求活，纵观近几年的高考题,导数的综合应用题考查多个核心素养以及综合应用能力,有一定的难度,一般放在解答题的最后位置，对数学抽象、数学运算、逻辑推理等多个数学学科的核心素养都有较深入的考查，需综合复习

知识讲解
1. 恒成立问题常见类型
假设为自变量，其范围设为，为函数；为参数，为其表达式，
（1）的值域为
①，则只需要
，则只需要
②，则只需要
，则只需要
（2）若的值域为
① ，则只需要
，则只需要（注意与（1）中对应情况进行对比）
② ，则只需要
，则只需要（注意与（1）中对应情况进行对比）
2. 恒成立问题的解决策略
①构造函数，分类讨论；
②部分分离，化为切线；
③完全分离，函数最值；
④换元分离，简化运算；
在求解过程中，力求“脑中有‘形’，心中有‘数’”.依托端点效应，缩小范围，借助数形结合，寻找临界.
一般地，不等式恒成立、方程或不等式有解问题设计独特，试题形式多样、变化众多，涉及到函数、不等式、方程、导数、数列等知识，渗透着函数与方程、等价转换、分类讨论、换元等思想方法，有一定的综合性，属于能力题，在提升学生思维的灵活性、创造性等数学素养起到了积极的作用，成为高考的一个热点．

考点一、利用导数解决函数恒成立问题

1．（2023·全国·统考高考真题）已知函数
(1)当时，讨论的单调性；
(2)若恒成立，求a的取值范围．
2．（2020·海南·高考真题）已知函数．
（1）当时，求曲线在点处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积；
（2）若不等式恒成立，求a的取值范围．
3．（2020·全国·统考高考真题）已知函数.
（1）当a=1时，讨论f（x）的单调性；
（2）当x≥0时，f（x）≥x3+1，求a的取值范围.

1．（2023·河北·模拟预测）已知函数.
(1)讨论函数的单调性；
(2)若存在实数，使得关于的不等式恒成立，求实数的取值范围.
2．（2023·江苏盐城·统考三模）已知函数.
(1)当时，求的单调递增区间；
(2)若恒成立，求的取值范围.
3．（2023·浙江杭州·统考二模）已知函数．
(1)讨论函数零点个数；
(2)若恒成立，求a的取值范围．
4．（2023·湖北荆门·荆门市龙泉中学校考模拟预测）设函数，且．
(1)求函数的单调性；
(2)若恒成立，求实数a的取值范围．
5．（2023·山东·山东省实验中学校联考模拟预测）已知函数，其中．
(1)讨论方程实数解的个数；
(2)当时，不等式恒成立，求的取值范围．

【基础过关】
1．（2023·重庆·统考模拟预测）已知函数，．
(1)当时，求在处的切线方程；
(2)若时，恒成立，求的取值范围．
2．（2023·安徽蚌埠·统考三模）已知函数.
（1）求函数的单调增区间；
（2）函数，当时，恒成立，求整数的最小值.
3．（2023·安徽滁州·校考一模）已知函数．
(1)当时，求函数的单调区间；
(2)当时，若关于x的不等式恒成立，试求a的取值范围．
4．（2023·辽宁鞍山·校联考一模）已知函数．
(1)求函数的单调区间；
(2)若对任意的，都有成立，求a的取值范围．
5．（2023·广东惠州·统考一模）已知函数．
(1)当时，求在处的切线方程；
(2)当时，不等式恒成立，求的取值范围．
6．（2023·湖南衡阳·校考模拟预测）已知函数，．
(1)当，求的单调递减区间；
(2)若在恒成立，求实数a的取值范围．
7．（2023·浙江宁波·统考一模）已知函数，．
(1)若，求曲线在点处的切线方程；
(2)若在上恒成立，求实数的取值范围．
8．（2023·江苏无锡·辅仁高中校考模拟预测）已知函数，．
(1)求函数的极值点；
(2)若恒成立，求实数的取值范围．
9．（2023·河北·校联考一模）已知函数．
(1)当时，求的单调区间；
(2)若，不等式恒成立，求实数a的取值范围．
10．（2023·安徽马鞍山·统考三模）已知函数
(1)当时，求函数的极值；
(2)当时，恒成立，求实数的取值范围．

【能力提升】
1．（2023·湖北武汉·华中师大一附中校考模拟预测）已知函数．
(1)求的零点个数；
(2)当时，恒成立，求的取值范围．
2．（2023·黑龙江齐齐哈尔·齐齐哈尔市实验中学校考三模）已知函数.
(1)当时，求函数的极值；
(2)若恒成立，求实数的取值范围.
3．（2023·海南·校考模拟预测）已知，函数.
(1)当时，求曲线在处的切线方程；
(2)若恒成立，求实数的取值范围.
4．（2023·山东·山东省实验中学校联考模拟预测）已知函数，其中．
(1)讨论方程实数解的个数；
(2)当时，不等式恒成立，求的取值范围．
5．（2023·江苏无锡·江苏省天一中学校考模拟预测）已知函数，.
(1)当时，证明：在上恒成立；
(2)判断函数的零点个数.
6．（2023·福建厦门·统考模拟预测）已知函数．
(1)当时，讨论在区间上的单调性；
(2)若，求的值．
7．（2023·广东·校联考模拟预测）已知函数
(1)当时，证明：；
(2)已知在上恒成立，求的取值范围.
8．（2023·山东菏泽·山东省鄄城县第一中学校考三模）已知函数．
(1)求函数的单调区间；
(2)若函数在上单调递增，求实数的取值范围；
(3)若，且在上恒成立，证明：．
9．（2023·河北沧州·校考模拟预测）已知函数.
(1)求函数的极值点个数；
(2)若不等式在上恒成立，求可取的最大整数值.
10．（2023·广东佛山·统考模拟预测）已知函数，其中.
(1)讨论函数极值点的个数；
(2)对任意的，都有，求实数的取值范围.

【真题感知】
1．（北京·高考真题）已知函数．
（Ⅰ）求曲线在点处的切线方程；
（Ⅱ）求证：当时，；
（Ⅲ）设实数使得对恒成立，求的最大值．
2．（天津·高考真题）已知函数，其中.
（1）曲线在点处的切线方程为，求函数的解析式；
（2）讨论函数的单调性；
（3）若对于任意的，不等式在上恒成立，求b的取值范围.
3．（江西·高考真题）已知函数f（x）＝x3＋ax2＋bx＋c在x＝－与x＝1时都取得极值
（1）求a、b的值与函数f（x）的单调区间
（2）若对，不等式恒成立，求c的取值范围.
4．（湖南·高考真题）函数，记 为的从小到大的第 个极值点．
（Ⅰ）证明：数列是等比数列；
（Ⅱ）若对一切恒成立，求 的取值范围．
5．（四川·高考真题）设函数f(x)=ax2-a-lnx，其中a ∈R.
（I）讨论f(x)的单调性；
（II）确定a的所有可能取值，使得在区间（1，+∞）内恒成立(e=2.718…为自然对数的底数)．
6．（天津·高考真题）已知函数，其中.
（Ⅰ）若曲线在点处的切线方程为，求函数的解析式；
（Ⅱ）讨论函数的单调性；
（Ⅲ）若对于任意的，不等式在上恒成立，求的取值范围.