把握问题本质 注重试题模型--一道解三角形的模拟题引发的解法探究及教学思考.pdf

解题技巧与方法 数学学习与研究 把握问题本质 注重试题模型把把把把把握握握握握问问问问问题题题题题本本本本本质质质质质 注注注注注重重重重重试试试试试题题题题题模模模模模型型型型型 一道解三角形的模拟题引发的解法探究及教学思考陈李艳（昆明市呈贡区第一中学，云南 昆明）【摘要】解三角形是高考的热点，可以说是必考点，那么掌握一些解三角形的基本方法及技巧是必需的因此，在教学中要注重引导学生学会寻找题目中隐藏的边角关系并进行转化，提炼出试题模型，挖掘问题的本质及解决这一类问题的通性通法，甚至实现一题多解文章通过深层次备课、调动学生学习积极性，提高教学效率、优化学生作业等角度促进学生进行深度学习，理解问题的本质，实现知识之间的迁移，优化认知结构，从而提高学生的逻辑推理素养、数学运算、数学建模素养等【关键词】解法探究；试题模型；教学质量；深度学习引 言高三的复习离不开解各式各样的题在教学中，教师会发现很多同学遇到刚做过的题型还是找不到解决方法，问题就在于学生只是表面会做而没有真正触及问题的本质，没有弄懂知识之间的联系、没有寻找出解决此类问题的通性通法所以教学中教师要提高备课效率、积极引导学生抓好课堂效率，优化学生作业，帮助学生提炼试题模型、发现解题规律，从不同的角度利用各个不同的知识分析、解决问题一、原题呈现题目（邯郸模拟）的内角，的对边分别为，已知 （）求；（）若，求 在 为 的中点；为 的角平分线，这两个条件中任选一个，补充在横线上第（）问对大部分学生来说问题不大，利用正弦定理进行边角转化，加辅助角公式就可以解决 在 中利用正弦定理得 因为 ，即又（，），则 ，所以 问题的重点在第（）问，学生通常面对这样的问题往往束手无策二、问题的本质及“试题模型”思考此题是新高考试题中的热点题型，属于中间状态不确定的结构不良的问题，已知 中的两边及夹角，利用正余弦定理可以求出 中剩余的元素问题的实质是已知三角形中的六个元素，求 中 边上的中线或 的角平分线的长在解决此问题时：首先应清楚解三角形的实质就是利用正、余弦定理、面积公式、两角和与差公式、三角恒等变换等对三角形的边、角的关系进行转化；其次无论是构造中线还是角平分线，角都从一个变成了三个，形成了“爪子模型”，有些边、角的大小没有改变，有些发生改变，但无论如何变，“爪子模型”的结构是不变的，只要掌握“爪子模型”的一些常见解决办法，实现边角之间的转换，问题就能找到突破点，进而解决问题三、利用正、余弦定理、面积公式等或“爪子模型”相关结论对第（）问的解法进行探究解法 （正余弦定理）中，已知两边 ，及夹角，满足余弦定理的使用条件，用余弦定理可求出第三边 ，（），（），就可以解决问题当然，在这里牢记正余弦定理及相应的变形可以解决的三角形模型，能够根据条件及目标，灵活地进行角之间的转化遇到角平分线要记住两个常用性质：角平分线上的点到角两边的距离相等；三角形角平分线与对边所成的两条线段与这个角的两边对应成比例选时，因为 为 的中点，所以 ，在 中由余弦定理得 解题技巧与方法 数学学习与研究 ，所以 选时，由角平分线第二定理得，所以，在 中，由余弦定理得 ，同样选择 也可以解决问题解法 （向量法）常说的“爪子模型”来源于平面向量三点共线定理，在 中，为边 上的一点，且，则，本题知道线段 与 的比值，还知道基的模及夹角，可以用向量进行求解，特别是在求中线时很方便向量法解决平面几何问题是很重要的一种办法，要记忆深刻，用的时候能想到选时，两边平方，得 ，得 选时，由角平分线第二定理得，两边平方，得 解法（利用邻角互补、余弦值互为相反数）“爪子模型”中角从一个变成了三个，出现 ，于 是 分 别 在 和 中用三边表示出两角的余弦值就可以求解即 ，代入数值，无论选还是选，可得到 的长其实在做题的时候经常会用到把同一个角的三角函数值用不同的三角形表示出来解决问题，例如利用椭圆、双曲线的焦点三角形求离心率，是一种很巧妙的方法，只是计算量相对要大些解法（面积法）“爪子模型”中，在 中，即 ，化简，得到张角定理 选时，用余弦定理得，从而求得（可用海伦公式，也可利用正余弦定理求解，面积法求角平分线的长比求中线长方便、快捷）选时，由张角定理得，求得 此方法在解决角平分线问题时有很大的优越性，方便、快捷解题中会发现中线问题经常可以用向量解决，而角平分线问题往往跟面积挂钩，所以解三角形时对条件的分析以及条件及目标关系的理解至关重要 图 解法（斯特瓦尔特定理），“爪子模型”中，（如图 所示）是 的边 上一点，则有 由此定理可以得到中线长定理和角平分线长定理，学生平时注重公式的记忆的话可以快速解决问题选时，用余弦定理得 ，当 为 的中点，代入斯特瓦尔特定理得到中线长定理：()代 入 数 据，得选时，用余弦定理得 ，为 的角平分线，由角平分线第二定理得，代入斯特瓦尔特定理得到角平分线长定理：，代入数据，得 其实中线长定理可以利用平行四边形四条边与对角线的关系得到：平行四边形对角线的平方和等于对角线的平方和解法 （几何法）选时，分别以，为邻边作平行四边形，设第四个顶点为，在 中，由余弦定理得 ，得 其实在初中求解中线的长常用倍长中线法和构造中位线的方法，在这里就不介绍选 时，过 作 于，解题技巧与方法 数学学习与研究 ，在 中，其实在解决平面几何问题时大家还是不要忘记初中常用的几何法，但是几何法往往需要添加辅助线，可能初中的学生更比高中生要熟悉几何法解法 （解析法）以 为坐标原点，所在直线为 轴建立直角坐标系，选时，三个顶点的坐标分别为（，），（，），（，），为 的中点，所以由中点坐标公式得，所以中线；选时，由角平分线第二定理得，点坐标为，所以 解析法是解决平面几何问题最重要的方法，在可以建系的条件下首选解析法，过程简洁，计算量大大减少以上的 种方法中解法 是用最常见的正余弦定理求解法，解法 是初中常用的几何法，其他方法都利用了“爪子模型”的特征其实无论是何种方法，平时都很常见，有的方法不止考查过一次，但是很大一部分学生在做完后不会认真进行反思、总结做题规律，记忆试题题型所以教师在教学中要有意识地引导学生，帮助学生养成归类、总结的习惯四、试题再分析上面试题中所求的 是中线或是角平分线，相对比较特殊，如果 是第三边上任意一点（与端点不重合），也是可以用相应的方法进行求解的题目 （云师大附中第 次月考）中，是 边上的一点，且满足，（）若 ，求；（），求 解 法 （向 量 法）若，所以 两边平方，得，于是 解法 （面积法），即，解得 于是 解法 （张角定理、等同面积法）若，由张角定理得，解得 于是 解法 若，同解法 得，设，则在 中；，即，联立解得 ，于是 解法（余弦定理）同解法 在直角三角形 中 ；在 中，由余弦定理得，联立解得 ，于是 结 语所以让学生在做题后进行解题规律、试题模型总结，对各种解法进行反思是高三数学复习中必不可少的环节通过一题多解，学生学会从多角度看问题，打破原有的思考问题的方式，发展思维能力，高层次的学习，发现解题规律，培养创新意识、满足个性化发展、提高逻辑推理素养、数学建模、数学运算素养等学生学习成绩的提高不仅需要学生主动地学，教师认真负责地教，同时需要学校、家长、社会的积极配合，只有在多方的努力下才能培养出创新型人才【参考文献】杨成武、孙中芳浅谈数学解题教学中的一题多解科技信息（学术研究），（）：王德昌培养九种意识，优化解题教学数学教学研究，（）：中华人民共和国教育部普通高中数学课程标准（版）北京：人民教育出版社，