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第八讲：定积分的概念与微积分基本定理的练习题答案
一、 单项选择题（每小题4分，共24分）
1．设初等函数在区间有定义，则在上一定 （C）
A．可导 B．可微
C．可积 D．不连续
解：初等函数在定义区间内必连续，连续必可积。
2．若连续，下列各式正确的是 （D）
A．
B．
C．
D．
解：　选D
3．下列关系式中正确的是 　（B）
A． B．
C． D．以上都不对
解：（1）在区间内：
（2）由比较定理： 选B
4．下列各式中，正确的是 　　（B）
A． B．
C． D．以上都不对
解：（1）令，，
（2）由估值定理：
5．下列函数在区间上可用牛顿——莱布尼兹公式的是 （A）
A． B． C． D．
解：，选A
6．设在上，
记，，，则有 （B）
A． B．
C． D．
解：
选B
二、填空题（每小题4分，共24分）
7．
解：原式=

8．设连续，且，则　　　　　　
解：

9．设连续，则
解：
=
10．设则

解：令，

，

11．设连续，且则　　　　　　　　
解：，令，故
12．设，则y的极小值为 　　　
解：（1）驻点，
（2）为极小值点，
（３）极小值
三、 计算题（每小题8分，共64分）
13．方程，确定，求
解：（1）
（2）当时，，
（3），
故有
14．设在连续，且满足，求
解：（1）在连续，令

（2）
故有

（3）
15．讨论方程在区间内实根的个数
解：（1）令

故至多有一实根
（2）在连续，且

由零点定理，至少有一实根
（3）综上所述：在有且仅有一个实根
16．设在连续，且在单调减少，讨论在区间的单调性
解：，由积分中值定理

在，，故在
单调减少
17．求
解：原式=
=
18．设其中为连续函数，求
解：

19．设，且可导，，求
解：（1）且
（2），，
由得，故有
20．若为连续的奇函数，判别的奇偶性
解：令

故为偶函数
同理：若为连续偶函数，则为奇函数
四、综合题（每小题10分，共20分）
21．设
讨论在处的连续性和可导性
解：（1）
且
故在处连续
（2）

，故在处可导
22．利用拉格郎日中值定理的推论，计算
之值，其中
解：（1）令

由拉格郎日中值定理的推论知：

（2）确定常数 C，

故有
五、证明题（每小题9分，共18分）
23．证明
证：（1）令
（2）。令
，驻点
（3），

（4）比较上述函数值大小：
，由估值定理知：
证毕
24．若在连续，且，又，证明在有且只有一实根
证：（1）在单调增，故在至多有一实根
（2）在连续，且
，
由零点定理知：在至少有一实根
（3）综上所述：在有且只有一实根 证毕
选作题：若为连续偶函数，判别的奇偶性，（a为常数）
解：（1）当时，

为奇函数
（2）时，

=偶函数+奇函数=非奇非偶函数

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