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齿轮传动的可靠性优化设计
摘要：主要目的是把可靠性优化设计和常规设计方法结合起来，说明优化设计在实际生产中的先进性和实用性。根据数学和可靠性设计理论建立齿轮传动的可靠性优化设计的数学模型，探讨其计算方法。结果可靠性优化设计优于常规设计方法，说明可靠性优化设计方法是一种更具有科学，更符合客观实际的设计方法。
关键词：可靠性 齿轮传动 优化设计 齿轮
0 引言
齿轮传动广泛应用于各种机械设备中，它是利用两齿轮的轮齿相互啮合传递动力和运动的机械传动，具有结构紧凑、效率高、寿命长等特点。齿轮传动的随机性是指其设计参数的随机性，先量变后质变，人们常常只注重“唯一性”、“正确性”，追求质变的同时却忽略了量变。采用可靠性优化设计可以使齿轮的随机参量取值更加合理，并使其结构更加规范。
直齿圆柱齿轮是机械传动常用零件，工作中它要承受交变载荷。齿轮设计、制造都很重要的。它是机械中重要的传动部件，它的质量，体积和成本在整个设备中占有很大比重。如果发生故障，会严重影响设备的正常运转，因此，齿轮传动质量的好坏直接影响整个机器性能，设计一个质量轻，结构可靠的齿轮传动必大受人们的欢迎。
通常齿轮传动的设计是将齿轮所受载荷，应力和强度都视为定值，按一定的强度条件进行设计或校核，这种常规设计安全系数一般比较保守，不仅造成材料的浪费，增加成本，往往由于一个参数的改变，而影响其他参数的确定，并且考虑齿轮传动的应力，强度及各几何参数的不确定性，引起的误差与实际不符，也不能保证绝对的安全。设计的齿轮传动质量差，可靠性低，承载能力小。因此，为了使齿轮传动设计既贴近实际工况，又有最优方案，提出将优化设计和可靠性设计理论有机结合起来的设计方法，该方法无论对缩小尺寸，减轻质量，提高承载能力和保证设计可靠性均有现实意义。可靠性设计方法认为作用在齿轮上的载荷和材料性能等都不是定值，而是随机变量，具有明显的离散性质，在数学上必须用分布函数来描述，由于齿轮的载荷和材料性能等都是随机变量，所以必须用概率统计的方法求解。齿轮可靠性设计认为齿轮存在一定的失效可能性，并且可以定量地回答齿轮在工作中的可靠程度，从而弥补常规设计的不足，它已成为质量保证，安全性保证，产品责任预防等不可缺少的依据和手段。
1 齿轮传动可靠性优化设计的数学模型
设计一对齿轮传动(目标函数为体积或质量最小),已知条件：传递功率N=20 KW,小齿轮转速n=1000rpm,传动比u=3,小齿轮材料为40Cr,齿面淬火，大齿轮材料为45钢,调质处理, 齿轮制造精度为8级,中等冲击,单向传动, 每年工作300天,工作十年,要求齿轮强度的可靠度为0.98以上。
1.1 可靠性优化设计模型的建立方法
根据已知条件和设计要求，齿轮传动的可靠性优化设计数学模型的建立可选用均值模型。
求 X=||T
min E{f(X,)}
s.t. p{gn(X,)0}an (n=1,2,3np) (1)
gu()0 (u=np+1,m)
其中：E——均值；
X，——分别为随机设计变量，随机参数；
P——概率；
gu()——随机约束函数（呈正态分布）；
an——可靠度；
——变量均值；
由参考文献[1]可知，当设计变量相互独立且服从简单正态分布时，对随机的约束和目标函数采用一次二阶处理，从而将上面的概率约束优化的数学模型转化为如下等价的确定型求解：
Min f(x)=E{f(X,)}==f(),
s.t. u()--1(Ru)gu0 (u=1,2,3np) (2)
gu(0) (u=np+1,,m)
其中: ——分别为随机变量X和随机参数的均值；
u,ga——分别为随机约束函数gu(X,)的均值和标准值；
-1（）——为标准正态分布函数的反函数，由（1）定；
这样将随机模型式转化为等价的确定型模型式，就完全可用传统的优化方法求解。
1.2 目标函数和设计变量的确定
以两个直齿轮体积之和最小作为目标函数.
F(X)=min{（d12+d22）b/4}=min{m2z12(1+u2)b/4} (3)
其中： m——齿轮的模数；
Z1——小齿轮的齿数；
u——齿数比, u=z2/z1;
b——齿轮宽度；
由于m,z1,b相互独立，故优化设计变量可取为：
X=[x1,x2,x3]T=[m,z1,b]T
1.3 约束条件的建立
1.3.1 齿面接触强度的可靠性约束
根据齿面接触强度条件，的齿面接触强度[5]的可靠性约束条件为：
P{g1(X,)0}=p{H-6700}R1 (4)
式中各符号的含义见参考文献[5]。
1.3.2 齿根弯曲强度的可靠性约束
P｛g2,3(X,)0｝=P{[F]i-0}R2,3 i=(1,2) (5)
式中符号的含义参考文献[5]。
1.3.3 模数的可靠性约束
设为开式齿轮传动，则通常去模数为0.01am0.02a,则模数的可靠性约束为：
P｛g4(X,)0｝=P{m-0}a1, (6)
P{g5(X,)0}=P{-m0}a2 , (7)
1.3.4 齿宽系数的可靠性约束
增加齿宽系数，可以使中心距减小，齿宽加大，会使载荷沿齿宽方向分布更趋于不均匀。对开式齿轮传动，齿宽系数通常取=0.1-0.3.则可靠性约束为：
P{g6(X,)0=P{-0.10}a3, (8)
P{g7(X,)0}=P{0.3-0}a4, (9)
1.3.5 小齿轮齿数的约束
常规设计，开式齿轮传动通常取z1=18-24,则对应的确定模型约束为：
G8=z1-180, (10)
G9=24-z10 (11)
综上所述，最后得到齿轮传动概率模型转化为确定模型的形式为：
min f(X)=E{f(X,)}=f()
s.t. ()-(Ru)0 (u=1,2,3),
()-()0 (u=4,5,6,7),
()0 (u=8,9).
以上各约束应满足的概率值为Ru或,由标准正态分布表[2]查得（Ru）或（），再求出各约束函数的均值（）和标准值，即可用一般优化方法求解。
2 齿轮传动的可靠性设计
下面以求小齿轮齿根的弯曲应力和强度的均值和标准值为例说明求其它约束函数的均值,标准差的过程。在常规设计齿根弯曲应力的计算公式[2]中，把z1和Ya1看成确定量，其它变量假设为服从正态分布，因此和[]F也服从正态分布。
弯曲应力：-N(,2),疲劳弯曲强度分布[]F-N(,2)=(460,6.3332) [2],应用泰勒阶数公式将齿根弯曲应力公式展开，近似得齿根弯曲应力的均值和标准差分别为：
=， （13）
=
=
各变量的均值和标准差由参考文献[1]确定。
根据应力-强度干涉理论，可靠度定义为强度大于应力的概率，即
R=P（[]->0）,
令 z=[]- ,
由于[],都服从正态分布，由加法定理得知，z也服从正态分布，z-N(,),z的均值和标准值分别为
， （15）
。 （16）
由于z=,则 。
由前面的例子参数，可通过（13），（14）分别计算弯曲应力均值和标准差，通过（15），（16）可以求出=,,然后把代入（12）式，这样就完成了把齿根弯曲强度的概率约束转化为确定型约束。仿此，可进行（1），（3）（9）等概率约束定型的转化。
6 可靠性优化结果分析
由以上建立的模型可知，它是一个具有3个设计变量，9个约束条件的可靠性优化问题，故采用内点惩罚函数法求解。优化后参数X=[21.563,18.734,261.382],圆整后得X=[22 19 262],F(X)=1 634 056 269 .原设计方案m=22mm , z1=21, b=270mm,u=6.667,F(X0)=2 057 125 880.
结果分析：由此可见，它比常规设计体积减少了20.57%，且保证了可靠度。由于可靠性优化设计考虑各变量的随机性，故更能体现齿轮传动的实际工况，使设计更为合理。