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第八章 机械能守恒定律
第一节 功与功率
[核心素养·明目标]
核心素养
学习目标
物理观念
(1)知道力做功的条件，掌握力做功的计算公式。
(2)理解正功、负功的含义，掌握求总功的方法。
科学思维
(1)了解做功是学习能量的切入点。
(2)学会用矢量分解方法推导得到做功计算的一般公式，体会把未知转化为已知的思想。
(3)学会从求和运算法则的角度理解做功是标量。
科学探究
通过课堂实验探究，观察实验现象，总结实验结论，体验实验探究的一般过程。
科学态度与责任
了解生活中不同种类的能量形式，体验科学知识对社会进步的巨大作用，激发学习兴趣，产生努力学习，服务社会的人生观。
知识点一 功
1.功的公式：W＝Flcosα。
2.公式描述：力对物体所做的功，等于力的大小、位移的大小、力与位移夹角的余弦这三者的乘积。
3.功是标量。
4.功的单位：在国际单位制中，功的单位是焦耳，简称焦符号是J。
5.功的正负判断
夹角α
cosα
功W
说明
α＝
cosα＝0
W＝0
力F对物体不做功
0≤α<
cosα>0
W>0
力F对物体做正功
<α≤π
cosα<0
W<0
力F对物体做负功
6.合力对物体所做的功：当一个物体在几个力共同作用下发生一段位移时，这几个力对物体所做的总功，是各个力分别对物体所做功的代数和。
7．公式F＝Flcosα的理解与应用
(1)在使用公式W＝Flcosα计算功时，公式中各量W、F、l都要取国际单位制单位。
(2)功是一个标量，只有大小没有方向，因此合外力做的功等于各个力做功的代数和，或者等于合力所做的功。
(3)公式W＝Flcosα只适用于计算大小和方向均不变的恒力做的功，不适用于计算变力做的功。式中的l是力的作用点的位移，α是力F的方向与位移l的方向的夹角。
(4)公式W＝Flcosα，可以理解为力乘以在力的方向上的位移，即W＝F(lcosα)；也可以理解为位移乘以在位移方向上的分力，即W＝(Fcosα)l。
(5)力F对物体所做的功W，只与F、l、α三者有关，与物体的质量、运动状态、运动形式及是否受其他力等因素均无关。
(6)因为功是过程量，反映力在空间位移上的累积效果，对应一段位移或一段过程，所以用公式W＝Flcosα求力做的功时，一定要明确是哪个力在哪一段位移上(或在哪一个过程中)所做的功。
8．正功与负功的界定和意义
条件
从动力学角度看
从能量角度看
正功
当0≤α＜时，
cosα＞0，
W＞0
力对物体做正功，力是物体运动的动力
使物体的能量增加
不
做
功
当α＝时，
cosα＝0，W＝0
力对物体不做功，力对物体既不起动力作用，也不起阻力作用
力没有使物体的能量发生变化
负功
当＜α≤π时，
cosα＜0，
W＜0
力对物体做负功(或者说物体克服该力做功)，是物体运动的阻力
使物体的能量减少
10．总功的计算
当一个物体在几个力的共同作用下发生一段位移时，计算这几个力对物体所做的总功，通常有以下两种方法。
(1)这几个力对物体所做的总功等于各个力分别对物体所做功的代数和。若以W1、W2、W3…分别表示力F1、F2、F3…所做的功，则这些力所做的总功为W总＝W1＋W2＋W3…(负功连同负号一起代入计算)。
(2)这几个力对物体所做的总功等于这几个力的合力对物体所做的功。若以F合表示这几个力的合力，则这些力所做的总功为W总＝F合lcosα。
特别提醒：
(1)某个力对物体做负功，往往说成物体克服这个力做了功(正值)。例如，滑动摩擦力对物体做功－5J，也可以说成物体克服摩擦力做的功为5J。
(2)功是标量，功的正负号不表示方向，也不表示功的多少，在比较功的多少时，只比较功的绝对值，不看功的正负号。例如－8J的功要比7J的功多。
知识点二 功率
1.物理意义：表示力对物体做功的快慢。
2.定义：功与完成这些功所用时间之比。
3.定义式：P＝。
4.单位：在国际单位制中，功率的单位是瓦特，简称瓦，符号是W。
5.功率与速度的关系
P＝Fv，其中F沿物体的速度方向
①当v为平均速度时，P为平均功率。
②当v为瞬时速度时，P为瞬时功率。
③应用：由功率速度关系式知，汽车、火车等交通工具和各种起重机械，当发动机的功率P一定时，牵引力F与速度v成反比。
6.平均功率的计算
(1)利用＝；
(2)利用＝Fcosα，其中F为恒力，为物体运动的平均速度。
7.瞬时功率的计算
(1)利用公式P＝Fvcosα，其中v为瞬时速度；
(2)利用公式P＝FvF，其中vF为物体的速度在力F方向上的分速度；
(3)利用公式P＝Fvv，其中Fv为物体受的外力在速度v方向上的分力。
8.公式P＝ 和P＝Fv的比较
P＝
P＝Fv
适用条件
(1)功率的定义式，适用于任何情况下功率的计算，一般用来求平均功率
(2)当时间t→0时，可由定义式确定瞬时功率
(1)功率的计算式，仅适用于F与v同向的情况，若不同向，P＝＝＝Fvcosα
(2)v为平均速度时功率为平均功率，v为瞬时速度时功率为瞬时功率
联系
(1)公式P＝Fv是P＝的推论
(2)功率P的大小与W、t无关
特别提醒：
求功率时要先分清是平均功率还是瞬时功率，然后选用合适公式。
易错易混点1.对机械功的理解
易错易混点辨析：1.功的理解(1)两个必要因素：①力；②力的方向上的位移。(2)两个相互对应：①对应一个具体的过程；②对应具体的某个力。(3)标量：功的运算符合代数运算法则。
2.功的公式的理解
(1)功的公式W＝Fscosα只适用于恒力做功。(2)根据不同情形可从三个方面理解公式：①功等于力的大小、位移大小及二者夹角余弦的乘积。②功等于沿力方向的位移与力的乘积。③功等于位移与沿位移方向的力的乘积。
例1.如图所示，坐在雪橇上的人与雪橇的总质量为m，在与水平面成θ角的恒定拉力F作用下，沿水平地面向右移动了一段距离s。已知雪橇与地面间的动摩擦因数为μ，重力加速度为g，则雪橇受到的( )
A.支持力做功为mgs
B.重力做功为mgs
C.拉力做功为Fscosθ
D.滑动摩擦力做功为－μmgs
解析：选C。支持力和重力与位移方向垂直，不做功，A、B错误；拉力和滑动摩擦力做功分别为W1＝Fscosθ，W2＝－μ(mg－Fsinθ)s，C正确，D错误。
例2.(2022·北京丰台区期末)如图所示，三个粗糙斜面固定在水平地面上，它们的高度均为h，倾角分别为θ1、θ2、θ3。让质量均为m的物体沿斜面从顶端滑到底端，物体与斜面间的动摩擦因数均为μ。物体从斜面顶端滑到底端的过程中，关于重力做的功，下列说法正确的是( )
A.从倾角为θ1的斜面上滑下，重力做功最大
B.从倾角为θ2的斜面上滑下，重力做功最大
C.从倾角为θ3的斜面上滑下，重力做功最大
D.从三个斜面上分别滑下，重力做功相等
解析：选D。设斜面的长度为L，斜面倾角为θ，物体从斜面顶端滑到底端的过程中，重力做的功：W＝mgLsinθ＝mgh，即重力做的功取决于重力以及沿重力方向上通过的距离，从三个斜面上分别滑下，竖直方向上的位移相等，则重力做功相等，故D正确，A、B、C错误。
易错易混点2.正、负功的理解及判断
易错易混点辨析：1.正、负功的理解(1)功的正负既不表示大小，也不表示方向。(2)如果力做正功，说明这个力是物体运动的动力；如果力做负功，说明这个力是物体运动的阻力。(3)功的大小比较仅看功的绝对值。(4)一个力做负功，也可以说物体克服这个力做功。
2.正、负功的判断(1)根据力F与物体位移s方向的夹角α判断——常用于恒力做功的情形。(2)根据力与物体瞬时速度方向的夹角θ判断——常用于曲线运动的情形。
如图所示：
①若夹角θ是锐角，力做正功。②若夹角θ是钝角，力做负功。③若夹角θ是直角，力不做功。
3.静摩擦力做功特点(1)静摩擦力可以对物体做功，也可以对物体不做功；可以做正功，也可以做负功。(2)一对静摩擦力对系统做功一定为0。
4.滑动摩擦力做功(1)滑动摩擦力做功与物体的运动路程有关，可以对物体做功，也可以对物体不做功；可以做正功，也可以做负功。(2)一对滑动摩擦力对系统所做的总功一定是负功，其绝对值等于滑动摩擦力与系统内物体之间相对路程的乘积。
例3.(2022·江苏淮安调研)滑板运动是青少年喜爱的一项运动，一块滑板由板面、滑板支架和四个轮子等部分组成。一位练习者踩着滑板在水平地面上向右减速滑行，若练习者的脚受到的摩擦力为f1，脚对滑板的摩擦力为f2，下列说法正确的是( )
A.f1做正功，f2做负功
B.f1做负功，f2做正功
C.f1、f2均做正功
D.因为是静摩擦力，f1、f2都不做功
解析：选B。由题意可知练习者和滑板一起向右减速滑行，即加速度方向向左，由牛顿第二定律可知，练习者的脚受到的摩擦力f1方向向左，由牛顿第三定律可知，滑板受到脚的摩擦力f2方向向右，人和滑板一起向右运动，故练习者的脚受到的摩擦力f1做负功，脚对滑板的摩擦力f2做正功，A、C、D错误，B正确。
例4.如图所示，A、B叠放在一起，用绳将A与墙相连，用力F拉着B，使B向右移动，用F拉、fAB、fBA分别表示绳子的拉力、A对B的摩擦力和B对A的摩擦力，则下列说法正确的是( )
A.F和fBA做正功，F拉和fAB做负功
B.F做正功，fAB做负功，fBA和F拉不做功
C.F做正功，其他力不做功
D.F做正功，fAB做负功，fBA做正功，F拉不做功
解析：选B。力F的作用点位移不为零且与F方向相同，由W＝Fscosα知，F做正功；绳子拉力F拉的作用点位移为零，故F拉不做功；fBA的作用点位移为零，fBA不做功；fAB的作用点位移不为零且与fAB方向相反，故fAB做负功，选项B正确。
易错易混点3.总功的计算
易错易混点辨析：两种总功求法的选取原则1.如果物体处于平衡状态或某一方向受力平衡时(合力为零)，或者物体在某一方向上做匀变速直线运动时(合力等于ma)，用先求合力再求功的方法更简便。2.如果已知物体在运动过程中受力变化，所受的力中有的不做功，有的做功且方便求得该力的功(如重力的功)时，应选择W合＝W1＋W2＋W3＋…
例5.如图所示，升降机内斜面的倾角θ＝30°，质量为2 kg的物体置于斜面上始终不发生相对滑动，在升降机以5 m/s的速度匀速上升4 s的过程中。(g取10 m/s2)求：
(1)斜面对物体的支持力所做的功；
(2)斜面对物体的摩擦力所做的功；
(3)物体重力所做的功；
(4)合外力对物体所做的功。
解析：物体置于升降机内随升降机一起匀速运动过程中，处于受力平衡状态，受力分析如图所示
由平衡条件得fcosθ－Nsinθ＝0
fsinθ＋Ncosθ－mg＝0
代入数据得f＝10 N，N＝10 N。物体匀速上升4 s内s＝vt＝20 m
(1)斜面对物体的支持力所做的功
WN＝Nscosθ＝10×20×cos 30°J＝300 J。
(2)斜面对物体的摩擦力所做的功
Wf＝fscos(90°－θ)＝10×20×sin 30°J＝100 J。
(3)物体重力做的功
WG＝mgscos180°＝－2×10×20 J＝－400 J。
(4)合外力对物体做的功
方法一：W合＝WN＋Wf＋WG＝0
方法二：W合＝F合s＝0。
例6.如图所示，质量为m的物体静止于倾角为α的斜面体上，当斜面体受力后，物体随斜面体一起沿水平面匀速移动距离s。
(1)物体所受各力对物体做的功分别是多少？
(2)斜面体对物体做的功是多少？
(3)合力对物体做的功是多少？
解析：(1)物体做匀速直线运动，在重力G、支持力N和摩擦力f这三个力的作用下处于平衡状态，各力均为恒力，对物体进行受力分析如图所示，可得各力的大小分别为
G＝mg，N＝mgcosα，f＝mgsinα
物体的位移方向水平向右，与重力G的夹角为；与支持力N的夹角为＋α；与摩擦力f的夹角为α。
根据功的公式可得
WG＝Gscos ＝0
WN＝Nscos＝－
Wf＝fscosα＝mgsinα·scosα＝。
(2)斜面体对物体的作用力即N与f的合力，该合力与G等大反向，所以斜面体对物体做的功为0。
(3)因为物体受力平衡，F合＝0，故W总＝0，即合力对物体做的功为0。
易错易混点4.功率的计算
易错易混点辨析：计算功率的思路(1)首先明确是求哪个力的功率。(2)若求平均功率，还需明确是哪段时间内的平均功率，一般用P＝ 计算，若F为恒力也可用P ＝Fcosα计算。(3)若求瞬时功率，需明确是哪一时刻或哪一位置，再确定该时刻或该位置的速度，应用公式P＝Fv来计算，如果F与v不同向，则利用P＝Fvcosα来计算(α为力与速度方向的夹角)。
例7.如图所示，质量为m＝2 kg的木块在倾角θ＝37°的足够长的固定斜面上由静止开始下滑，木块与斜面间的动摩擦因数为μ＝0.5，已知：sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，g取10 m/s2，求：
(1)前2 s内重力做的功；
(2)前2 s内重力的平均功率；
(3)2 s末重力的瞬时功率。
解析：(1)木块下滑过程中，由牛顿第二定律得
mgsin θ－μmgcos θ＝ma
前2 s内木块的位移大小为s＝at2
联立解得s＝4 m，a＝2 m/s2
所以重力在前2 s内做的功为
W＝mgsin θ·s＝2×10×0.6×4 J＝48 J。
(2)重力在前2 s内的平均功率为
＝＝ W＝24 W。
(3)木块在2 s末的速度大小为v＝at＝2×2 m/s＝4 m/s
2 s末重力的瞬时功率为
P＝mgsin θ·v＝2×10×0.6×4 W＝48 W。
例8.(多选)(2022·安徽蚌埠期中)如图所示，一小孩从滑梯顶端由静止开始滑下，滑至斜面底端后又水平滑行一段距离停在滑道上。已知滑梯的斜面段长度L＝5.0 m，倾角θ＝37°，水平段与斜面段平滑连接。小孩质量为20 kg，与滑梯轨道间的动摩擦因数μ＝0.3，不计空气阻力。已知sin 37°＝0.60，cos 37°＝0.80(g取10 m/s2)。则该小孩沿斜面段下滑过程中( )
A.加速度的大小为3.6 m/s2
B.克服摩擦力所做的功为300 J
C.重力做功的平均功率为360 W
D.滑到斜面底端时重力的瞬时功率为1 200 W
解析：选AC。在小孩沿斜面下滑的过程中，根据牛顿第二定律得mgsin37°－μmgcos 37°＝ma，可得a＝3.6 m/s2，A正确；克服摩擦力所做的功W＝μmgLcos 37°＝240 J，B错误；根据L＝at2，可得小孩从斜面顶端滑到底端的时间t＝ s，重力做的功W＝mgh＝600 J，因此平均功率＝＝360 W，C正确；小孩滑到底端时的速度v＝at＝6 m/s，滑到斜面底端时重力的瞬时功率P瞬＝mgvsin 37°＝720 W，D错误。
易错易混点5.P＝Fv中的制约关系及其应用
易错易混点辨析：汽车、火车等交通工具和各种起重机械，当发动机的输出功率P一定时，牵引力F与速度v成反比，要增大牵引力，就要减小速度。
定值
各量间的关系
应用
P一定
F与v成反比
汽车上坡时，要增大牵引力，应换低速挡减小速度
v一定
F与P成正比
汽车上坡时，要使速度不变，应加大油门，增大输出功率，获得足够的牵引力
F一定
v与P成正比
汽车在高速路上，加大油门增大输出功率，可以提高速度
例9.(2022·广东广雅中学期末)汽车发动机通过变速箱将动力传输给运动系统，一般汽车的变速箱有1挡到5挡5个逐次增高的前进挡位，在发动机输出功率不变时，挡位越高车速越快，加大油门可以增大发动机的输出功率。为了能够顺利爬上陡坡，司机应该( )
A.拨1挡，减小油门
B.拨1挡，加大油门
C.拨5挡，减小油门
D.拨5挡，加大油门
解析：选B。车辆上坡时要克服重力做功，因此需要较大的牵引力，由功率P＝Fv得牵引力F＝，在保持发动机输出功率P不变的情况下，减小速度v，才能获得更大的牵引力F，因此爬陡坡时应当调至低速挡，并加大油门，故选项B正确，A、C、D错误。
例10. (2022·苏州市吴中区苏苑高级中学高一期中)质量为m的汽车启动后沿平直路面行驶，如果发动机的功率恒为P，且行驶过程中受到的阻力大小一定。当汽车速度为v时，汽车做匀速运动；当汽车速度为时，汽车的瞬时加速度大小为( )
A. B. C. D.
解析：选C。当汽车速度为v时，汽车做匀速运动，则F＝Ff，根据功率与速度的关系得P＝Fv，汽车受到的阻力大小为Ff＝F＝，当车速为时，根据功率与速度的关系得，P＝F1·，则F1＝，根据牛顿第二定律得F1－Ff＝ma，解得汽车的瞬时加速度的大小为a＝，故选C。
针对训练
1.(2022·广东深圳期末)2021年7月24日，中国选手侯志慧夺得东京奥运会女子举重49公斤级金牌，并打破奥运会纪录。在举重比赛中，运动员举起杠铃时必须使杠铃平衡一段时间才能被视为成功，如图所示。下列说法正确的是( )
A.向上举起杠铃的过程中，运动员对杠铃做负功
B.向上举起杠铃的过程中，运动员对杠铃不做功
C.举起杠铃后保持平衡的一段时间内，运动员对杠铃做功
D.举起杠铃后保持平衡的一段时间内，运动员对杠铃没有做功
2.(2022·江苏盐城月考)如图所示为无人机送货的情景。下列情况中无人机对吊着的货物不做功的是( )
A.悬停在空中 B.竖直加速上升
C.竖直匀速上升 D.竖直匀速下降
3.(2022·山东烟台期末)一个人乘电梯从1楼到30楼，在此过程中经历了先加速、再匀速、后减速的运动过程，则电梯对人的支持力对人做功的情况是( )
A.始终做正功
B.加速时做正功，匀速和减速时做负功
C.加速和匀速时做正功，减速时做负功
D.加速时做正功，匀速时不做功，减速时做负功
4.如图所示，小朋友在弹性较好的蹦床上跳跃翻腾，尽情玩耍。在小朋友接触床面向下运动的过程中，床面对小朋友的弹力做功情况是( )
A.先做负功，再做正功
B.先做正功，再做负功
C.一直做正功
D.一直做负功
5.如图所示，小物块随传送带一起匀速向上运动时，下列说法正确的是( )
A.物块受到的支持力做正功
B.物块受到的支持力做负功
C.物块受到的摩擦力做正功
D.物块受到的摩擦力做负功
6.(多选)如图所示，人站在自动扶梯上不动，随扶梯向上匀速运动，下列说法正确的是( )
A.重力对人做负功
B.摩擦力对人做正功
C.支持力对人做正功
D.合力对人做功为零
7.(2022·山东昌乐二中期中)质量m＝1 kg的物体在粗糙水平地面上做匀速直线运动，物体在水平方向受到F＝5.0 N的拉力，若物体运动的距离s＝5 m(g取10 m/s2)，则( )
A.物体与地面间的动摩擦因数为0.05 B.拉力做功为25 J
C.合力做功为25 J D.摩擦力做功为25 J
8.(2022·浙江杭州期末)图甲为一男士站立在履带式自动扶梯上匀速上楼，图乙为一女士站立在台阶式自动扶梯上匀速上楼。下列关于两人受到的力以及做功情况正确的是( )
A.甲图中支持力对人做正功
B.甲图中摩擦力对人做负功
C.乙图中人受到水平向前的摩擦力
D.两人受到电梯的作用力的方向相同
9.(2022·河北邯郸月考)如图所示，“歼－15”战机每次从“辽宁号”航母上起飞的过程中可视为匀加速直线运动，且滑行的距离和牵引力都相同，则( )
A.携带的弹药越多，加速度越大
B.携带的弹药越多，牵引力做功越多
C.携带的弹药越多，滑行的时间越长
D.携带的弹药越多，获得的起飞速度越大
10.如图所示，小球置于倾角为45°的斜面上被竖直挡板挡住，整个装置匀速竖直下降一段距离h。此过程中，小球重力大小为G，做功为WG；斜面对小球的弹力大小为F1，小球克服F1做功为W1；挡板对小球的弹力大小为F2，做功为W2。不计一切摩擦，则下列判断正确的是( )
A.F2＝G，W2＝0 B.F1＝G，W1＝WG
C.F1＞G，W1＞WG D.F2＞G，W2＞WG
11.(2021·浙江1月学考，22)传送带广泛应用在生产和生活中，如图所示，工作人员将质量m＝1 kg的邮件无初速度轻放在速度大小v＝0.4 m/s 匀速运动的水平传送带上，经20 s 邮件离开传送带。已知该邮件和传送带之间的动摩擦因数μ＝0.2，求：
(1)邮件刚放在传送带上时加速度a的大小；
(2)0～20 s内邮件位移s的大小；
(3)0～20 s内滑动摩擦力对邮件所做的功W。
12.如图(a)所示，一名质量为60 kg的消防员从一根固定的竖直金属杆上由静止滑下，经2.5 s落地。该消防员下滑过程中的速度随时间的变化图像如图(b)所示。取g＝10 m/s2，求：
(1)该消防员在加速下滑和减速下滑时受到的摩擦力f1和f2的大小；
(2)该消防员下滑的高度H；
(3)该消防员克服摩擦力做的总功W。
13.(平均功率的计算)如图所示，质量为50 kg的同学在做仰卧起坐运动。若该同学上半身的质量为全身质量的，她在1min内做了50个仰卧起坐，每次上半身重心上升的距离约为0.3 m，重力加速度g＝10 m/s2，则她克服重力做的功W和相应的功率P约为( )
A.W＝4 500 J P＝75 W B.W＝450 J P＝7.5 W
C.W＝3 600 J P＝60 W D.W＝360 J P＝6 W
14.(瞬时功率的计算)(2022·浙江湖州期末)如图所示为我国自行研制的新一代大型客机C919。假定其质量为m，起飞时在水平跑道上以加速度a做匀加速直线运动，受到的阻力大小为f，当飞机速度为v时，则发动机输出的实际功率为( )
A.fv B.(f＋ma)v
C.(f－ma)v D.mav
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