专题14-3-幂的乘方(知识讲解)-八年级数学上册(人教版).docx

专题14.3 幂的乘方（知识讲解）
【学习目标】
1. 掌握幂的乘方运算法则；
2. 能用代数式和文字语言正确地表述幂的乘方运算法则，并能运用它们熟练地进行运算；
3. 能用幂的乘方运算法则进行逆运算，并能运用它们熟练地进行运算；
4. 能用同底数幂相乘和幂的乘方法则熟练地进行混合运算。
【要点梳理】
知识要点一、幂的乘方法则
(其中都是正整数).即幂的乘方，底数不变，指数相乘.
公式的推广： (，均为正整数)
知识要点二、同底数幂的逆运算法则
逆用公式： ，根据题目的需要常常逆用幂的乘方运算能将某些幂变形，从而解决问题.
【典型例题】
类型一、幂的乘方运算
1．计算题（结果用幂的形式表示）：
（1）
（2）
（3）
【答案】（1）；（2）；（3）
【分析】
（1）（2）（3）根据同底数幂的乘法法则以及幂的乘方法则计算即可．
解：（1）
=
=；
（2）
=
=；
（3）
=
=
=
=
【点拨】本题考查了同底数幂的乘法以及幂的乘方，解题的关键是掌握运算法则．
举一反三：
【变式1】计算：
（1）
（2）
【答案】（1）；（2）．
【分析】
（1）由幂的乘方：底数不变，指数相乘，从而可得答案；
（2）先计算 再利用同底数幂的乘法计算即可得到答案．
解：（1）；
（2）．
【点拨】本题考查的是幂的乘方运算，同底数幂的乘法运算，乘方符号的确定，掌握以上知识是解题的关键．
【变式2】已知为正整数，且．
（1）求的值；
（2）求的值．
【答案】（1） ；（2）368
【分析】
（1）根据同底数幂的乘法法则及幂的乘方法则将原式化简，再将代入进行计算即可；
（2）根据同底数幂的乘法法则及幂的乘方法则将原式化简，再将代入进行计算即可；
解：（1）∵
∴

；
（2）∵
∴

【点拨】本题考查幂的乘方与同底数幂的乘法法则，解题的关键是熟练掌握幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加．
【变式3】已知：an=2, am=3,ak=4,试求a2n+m-2k的值.
【答案】
【分析】
根据幂的乘方，同底数幂的除法、乘法运算的逆用，即可得到答案.
解：
=
=
=
=；
【点拨】本题考查了幂的乘方，同底数幂的除法、乘法，解题的关键是熟练掌握幂的乘方，同底数幂的除法、乘法的运算法则.
类型二、幂的乘方的逆运算
2．根据已知求值：
（1）已知，，求的值；
（2）已知，求的值.
【答案】（1）10；（2）
【分析】
（1）根据同底数幂的乘法公式的逆运算即可求解；（2）把等式左边全部化为以3为底的数即可求解.
解：（1）
（2）

【点拨】此题主要考查幂的运算，解题的关键是熟知幂的运算公式的逆用.
举一反三：
【变式1】已知：，，求值：
（1） （2）
【答案】（1）25；（2）50
【分析】
（1）根据幂的乘方法则求解即可；
（2）根据同底数幂的乘法法则求解即可．
解：（1）原式＝＝＝25；
（2）原式＝＝＝50．
【点拨】本题考查了同底数幂的乘法和幂的乘方法则的逆运用，解答本题的关键是掌握同底数幂的乘法法则以及幂的乘方法则．
【变式2】已知：3x=2，3y=5，求3x+y+32x+3y的值．
【答案】510
【解析】分析：逆用幂的乘方、同底数幂的乘法法则求解即可.
解：3x+y+32x+3y=3x·3y+32x·33y
=10+（3x）2·（3y）3
=10+4×125
=510．
点睛：本题考查了幂的乘方和同底数幂的乘法的乘方,解答本题的关键是掌握幂的乘方运算法则以及同底数幂的乘法法则.
【变式3】若， 求的值．
【答案】162
【分析】根据同底数幂的乘法的逆用和幂的乘方的逆用计算即可．
解：∵
∴
=
=
=
=162
【点拨】此题考查的是幂的运算性质，掌握同底数幂的乘法的逆用和幂的乘方的逆用是解题关键．
类型二、幂的混合运算
2．计算：
（1）； （2）．
【答案】（1）；（2）
【分析】
（1）先进行幂的运算再合并同类项；
（2）先进行幂的乘方运算，再进行同底数幂的乘除运算．
解：（1）原式；
（2）原式．
【点拨】本题考查整式的运算和幂的运算，解题的关键是掌握这两个运算方法．
举一反三：
【变式1】计算题．
（1）． （2）．
【答案】（1）；（2）．
【分析】
（1）先计算积得乘方，再按单项式的乘法法则运算即可；
（2）先计算积得乘方，再按单项式的乘除法则运算即可．
解：（1）原式
．
（2）原式

．
【点拨】本题考查了整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
【变式2】计算：
（1） （2）(－x2y3)4
（3）(－8)2017×(－0.125)2017 （4）(－xy2)3
【答案】(1)y10 ；(2) x8y12； (3) 1； (4) -x3y6.
【分析】
根据同底数幂的乘法、积的乘方公式及幂的乘方公式进行计算即可.
解：（1）==y10
（2）(－x2y3)4= x2×4y3×4= x8y12
（3）(－8)2017×(－0.125)2017 =[(－8)×(－0.125)] 2017=12017=1,
（4）(－xy2)3= -x3y2×3= -x3y6.
【点拨】此题主要考查幂的计算，解题的关键是熟知同底数幂的乘法公式、积的乘方公式及幂的乘方公式.
【变式3】（1）若的值；（2）若求的值；
【答案】（1）144；（2）27；
【解析】
分析：（1）根据积的乘方和幂的乘方法则的逆运算，即可解答；
（2）根据同底数幂乘法、除法公式的逆运用，即可解答．
详解：（1）（x2y）2n
=x4ny2n
=（xn）4（yn）2
=24×32
=16×9
=144；
（2）32a﹣4b+1
=（3a）2÷（32b）2×3
=36÷4×3
=27．
点睛：本题考查的是幂的乘方和积的乘方、同底数幂的乘除法，掌握它们的运算法则及其逆运算是解题的关键．