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导数核心知识总结
核心知识一、平均变化率与导数的概念
(1) 平均变换率
设函数，我们把式子称为函数从到的平均变化率．习惯上用表示，即．函数的变化量是，于是，平均变化率可以表示为．其几何意义是函数图象上的两点所在直线的斜率．
注：是一个整体符号，而不是与相乘．
(2)在x＝x0处可导
如果当Δx→0时，平均变化率无限趋近于一个确定的值，即有极限，则称y＝f(x)在x＝x0处可导，并把这个确定的值叫做y＝f(x)在x＝x0处的导数(也称瞬时变化率)，记作f′(x0)或y′|x＝x0，即f′(x0)＝ ＝.
(3)导函数
当x＝x0时，f′(x0)是一个唯一确定的数，当x变化时，y＝f′(x)就是x的函数，我们称它为y＝f(x)的导函数(简称导数)，记为f′(x)(或y′)，即
f′(x)＝y′＝.
注：① f′(x0)代表函数f(x)在x＝x0处的导数值；
(f(x0))′是函数值f(x0)的导数，则(f(x0))′＝0.
② 函数y＝f(x)的导数f′(x)反映了函数f(x)的瞬时变化趋势，其正负号反映了变化的方向，其大小|f′(x)|反映了变化的快慢，|f′(x)|越大，曲线在这点处的切线越“陡”.
核心考点二、导数的几何意义
函数y＝f(x)在x＝x0处的导数的几何意义就是曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率，相应的切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0).
① 求曲线的切线方程要分清“在点处”与“过点处”的切线方程的不同.
求曲线在点P(x0，y0)处的切线，则表明P点是切点，可直接求出函数在P处的导数，然后利用点斜式写出切线方程，若在该点P处的导数不存在，则切线垂直于x轴，切线方程为x＝x0.
求过点P(x0，y0)的切线，P点不一定是切点，要设出切点坐标，根据斜率相等建立方程(组)求解，求出切点坐标是解题的关键.
② 处理与切线有关的参数问题，通常利用曲线、切线、切点的三个关系列出参数的方程(组)并解出参数：
(1)切点处的导数是切线的斜率；
(2)切点在切线上，故满足切线方程；
(3)切点在曲线上，故满足曲线方程.
③ 公切线问题
两条曲线的公切线，一般是把两条曲线分开考虑：分别求两条曲线的切线，化为斜截式方程，利用方程相等，列式求参数.若其中一条曲线涉及到二次曲线，可先求另一条曲线的切线，与二次曲线联立，消元，用判别式法.
④利用导数的几何意义求参数问题时，注意利用数形结合，化归与转化的思想方法.
核心考点三、导数的运算
（1）基本初等函数的导数公式
基本初等函数
导函数
f(x)＝c(c为常数)
f′(x)＝0
f(x)＝xα(α∈Q，α≠0)
f′(x)＝αxα－1
f(x)＝sin x
f′(x)＝cosx
f(x)＝cos x
f′(x)＝－sinx
f(x)＝ax(a＞0且a≠1)
f′(x)＝axlna
f(x)＝ex
f′(x)＝ex
f(x)＝logax(a＞0且a≠1)
f′(x)＝
f(x)＝ln x
f′(x)＝
（2）导数的运算法则
若f′(x)，g′(x)存在，则有：
①[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)；
②[f(x)g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)；特别的，[cf(x)]′＝cf′(x).
② ′＝(g(x)≠0)；
（3）复合函数的定义及其导数
复合函数的定义
一般地，对于两个函数y＝f(u)和u＝g(x)，如果通过中间变量u，y可以表示成x的函数，那么称这个函数为函数y＝f(u)与u＝g(x)的复合函数，记作y＝f(g(x)).
复合函数的求导法则
复合函数y＝f(g(x))的导数和函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为yx′＝yu′·ux′，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积.
注：①求函数的导数要准确地把函数拆分成基本初等函数的和、差、积、商，再利用运算法则求导.
②抽象函数求导，恰当赋值是关键，然后活用方程思想求解.
③复合函数求导，应由外到内逐层求导，必要时要进行换元.
核心考点四 函数的单调性与导数
（1）函数的单调性与导数的关系
条件
恒有
结论
函数y＝f(x)在区间(a，b)上可导
f′(x)＞0
f(x)在(a，b)上单调递增
f′(x)＜0
f(x)在(a，b)上单调递减
f′(x)＝0
f(x)在(a，b)上是常数函数
（2）利用导数判断函数单调性的步骤
第1步，确定函数的定义域；
第2步，求出导函数f′(x)的零点；
第3步，用f′(x)的零点将f(x)的定义域划分为若干个区间，列表给出f′(x)在各区间上的正负，由此得出函数y＝f(x)在定义域内的单调性.
①若函数f(x)在区间(a，b)上递增，则f′(x)≥0，所以“f′(x)>0在(a，b)上成立”是“f(x)在(a，b)上单调递增”的充分不必要条件.
②研究含参数的函数的单调性，要依据参数对不等式解集的影响进行分类讨论.
若导函数为二次函数式，首先看能否因式分解，再讨论二次项系数的正负及两根的大小；若不能因式分解，则需讨论判别式Δ的正负，二次项系数的正负，两根的大小及根是否在定义域内.
③个别导数为0的点不影响所在区间的单调性，如f(x)＝x3，f′(x)＝3x2≥0(f′(x)＝0在x＝0时取到)，f(x)在R上是增函数.
(3)根据函数单调性求参数的一般思路：
①利用集合间的包含关系处理：
y＝f(x)在(a，b)上单调，则区间(a，b)是相应单调区间的子集.
②f(x)为增(减)函数的充要条件是对任意的x∈(a，b)都有f′(x)≥0(f′(x)≤0)，且在(a，b)内的任一非空子区间上，f′(x)不恒为零，应注意此时式子中的等号不能省略，否则会漏解.
③ 函数在某个区间上存在单调区间可转化为不等式有解问题.
（4）导数关系构造函数的一些常见结构
1.对于不等式f′(x)＋g′(x)>0，构造函数F(x)＝f(x)＋g(x).
2.对于不等式f′(x)－g′(x)>0，构造函数F(x)＝f(x)－g(x).
特别地，对于不等式f′(x)>k，构造函数F(x)＝f(x)－kx.
3.对于不等式f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)>0，构造函数F(x)＝f(x)·g(x).
4.对于不等式f′(x)g(x)－f(x)g′(x)>0，构造函数F(x)＝.
5.对于不等式xf′(x)＋nf(x)>0，构造函数F(x)＝xn·f(x).
6.对于不等式f′(x)＋f(x)>0，构造函数F(x)＝ex·f(x).
7.对于不等式f′(x)＋kf(x)>0，构造函数F(x)＝ekx·f(x).
核心考点五、函数的极值与最值
（1）函数的极值
①函数的极小值：
函数y＝f(x)在点x＝a的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点的函数值都小，f′(a)＝0；而且在点x＝a附近的左侧f′(x)＜0，右侧f′(x)＞0.则a叫做函数y＝f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y＝f(x)的极小值.
②函数的极大值：
函数y＝f(x)在点x＝b的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点的函数值都大，f′(b)＝0；而且在点x＝b附近的左侧f′(x)＞0，右侧f′(x)＜0.则b叫做函数y＝f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y＝f(x)的极大值.
③极小值点、极大值点统称为极值点，极小值和极大值统称为极值.
（2）运用导数求函数f(x)极值的一般步骤：
(1)确定函数f(x)的定义域；
(2)求导数f′(x)；
(3)解方程f′(x)＝0，求出函数定义域内的所有根；
(4)列表检验f′(x)在f′(x)＝0的根x0左右两侧值的符号；
(5)求出极值.
注：
①已知函数极值，确定函数解析式中的参数时，要注意：根据极值点的导数为0和极值这两个条件列方程组，利用待定系数法求解.
②导数值为0不是此点为极值点的充要条件，所以用待定系数法求解后必须检验.
（3）函数的最大(小)值
函数f(x)在区间[a，b]上有最值的条件：
如果在区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值.
（4）利用导数求函数f(x)在[a，b]上的最值的一般步骤：
①求函数在(a，b)内的极值.
②求函数在区间端点处的函数值f(a)，f(b).
③将函数f(x)的各极值与f(a)，f(b)比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值.
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