高等数学下册全微分.pptx

单击以编辑,母版标题样式,单击以编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,#,第八章,*,二、全微分在数值计算中的应用,应用,第三节,一元函数,y=f,(,x,),的微分,近似计算,估计误差,机动 目录 上页 下页 返回 结束,本节内容,:,一,、全微分的定义,全微分,一,、全微分的定义,定义,:,如果函数,z=f,(,x,y,),在定义域,D,的内点,(,x,y,),可表示成,其中,A,B,不依赖于,x,y,仅与,x,y,有关，,称为函数,在点,(,x,y,),的,全微分,记作,若函数在域,D,内各点都可微,则称函数,f,(,x,y,),在点,(,x,y,),可微,，,机动 目录 上页 下页 返回 结束,处全增量,则称此函数,在,D,内可微,.,(2),偏导数连续,下面两个定理给出了可微与偏导数的关系,:,(1),函数可微,函数,z=f,(,x,y,),在点,(,x,y,),可微,由微分定义,:,得,函数在该点连续,机动 目录 上页 下页 返回 结束,偏导数存在,函数可微,即,定理,1,(,必要条件,),若函数,z=f,(,x,y,),在点,(,x,y,),可微,则该函数在该点偏导数,同样可证,证,:,由全增量公式,必存在,且有,得到对,x,的偏增量,因此有,机动 目录 上页 下页 返回 结束,反例,:,函数,易知,但,因此,函数在点,(0,0),不可微,.,注意,:,定理,1,的逆定理不成立,.,偏导数存在函数 不一定可微,!,即,:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,定理,2,(,充分条件,),证,：,若函数,的偏导数,则函数在该点,可微分,.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,所以函数,在点,可微,.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,注意到,故有,推广,:,类似可讨论三元及三元以上函数的可微性问题,.,例如,三元函数,习惯上把自变量的增量用微分表示,记作,故有下述叠加原理,称为,偏微分,.,的全微分为,于是,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例,1.,计算函数,在点,(2,1),处的全微分,.,解,:,例,2.,计算函数,的全微分,.,解,:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,可知当,*,二、全微分在数值计算中的应用,1.,近似计算,由全微分定义,较小时,及,有近似等式,:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,(,可用于近似计算,;,误差分析,),(,可用于近似计算,),半径由,20cm,增大,解,:,已知,即受压后圆柱体体积减少了,例,3.,有一圆柱体受压后发生形变,到,20.05cm,则,高度由,100cm,减少到,99cm,体积的近似改变量,.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,求此圆柱体,例,4.,计算,的近似值,.,解,:,设,则,取,则,机动 目录 上页 下页 返回 结束,分别表示,x,y,z,的绝对误差界,2.,误差估计,利用,令,z,的绝对误差界约为,z,的相对误差界约为,机动 目录 上页 下页 返回 结束,则,特别注意,类似可以推广到三元及三元以上的情形,.,乘除后的结果相对误差变大,很小的数不能做除数,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例,5.,利用公式,求计算面积时的绝对误差与相对误差,.,解：,故绝对误差约为,又,所以,S,的相对误差约为,计算三角形面积,.,现测得,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例,6,.,在直流电路中,测得电压,U,=24,伏,解,:,由欧姆定律可知,(,欧,),所以,R,的相对误差约为,0.3,+,0.5,R,的绝对误差约为,0.8,0.3,;,定律计算电阻,R,时产生的相对误差和绝对误差,.,相对误差为,测得电流,I,=6,安,相对误差为 0.5,=0.032(,欧,),=0.8,机动 目录 上页 下页 返回 结束,求用欧姆,内容小结,1.,微分定义,:,2.,重要关系,:,函数可导,函数可微,偏导数连续,函数连续,机动 目录 上页 下页 返回 结束,3.,微分应用,近似计算,估计误差,绝对误差,相对误差,机动 目录 上页 下页 返回 结束,思考与练习,1.P72,题,1,(,总习题八,),函数,在,可微的充分条件是,(),的某邻域内存在,;,时是无穷小量,;,时是无穷小量,.,2.,选择题,机动 目录 上页 下页 返回 结束,答案,:,也可写作,:,当,x=,2,y=,1,x=,0.01,y=,0.03,时,z=,0.02,d,z=,0.03,3.P73,题,7,机动 目录 上页 下页 返回 结束,4.,设,解,:,利用轮换对称性,可得,机动 目录 上页 下页 返回 结束,(L.P245,例,2),注意,:,x,y,z,具有,轮换对称性,答案,:,作业,P24 1,(3),(4);,3;5;,8;10,5.,已知,第四节 目录 上页 下页 返回 结束,在点,(0,0),可微,.,备用题,在点,(0,0),连续且偏导数存在,续,证,:,1),因,故函数在点,(0,0),连续,;,但偏导数在点,(0,0),不连,机动 目录 上页 下页 返回 结束,证明函数,所以,同理,极限不存在,在点,(0,0),不连续,;,同理,在点,(0,0),也不连续,.,2),3),题目 目录 上页 下页 返回 结束,4),下面证明,可微,:,说明,:,此题表明,偏导数连续只是可微的充分条件,.,令,则,题目 目录 上页 下页 返回 结束,