高等数学之数列极限PPT.pptx

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,2020/2/19,#,二、数列的概念,三、数列极限的定义,四、数列极限的性质,2,数列的极限,1,一、概念的引入,“,割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”,1,、割圆术：,刘徽,一、概念的引入,2,正六边形的面积,正十二边形的面积,正 形的面积,3,2,、截丈问题：,4,我们把每天截下部分,(,或剩下部分,),的长度列出：,古代哲学家庄周所著的,庄子,天下篇,引用了,一句话,:“,一尺之棰,日取其半,万世不竭”,.,第一天截下,第二天截下,第,n,天截下,这样就得到,:,随着,n,的无,限增,大而无限趋于,0,.,二、数列的概念,例如,5,注意：,1.,数列对应着数轴上一个点列,.,可看作一动点在数轴上依次取,2.,数列是整标函数,6,数列极限的定义未给出求极限的方法,.,例,2,注意：,9,小结,:,用定义证数列极限存在时,关键是任意给定 寻找,N,但不必要求最小的,N,.,例,3,10,练习,11,1,、唯一性,定理,1,若数列收敛，则极限必定唯一,.,证,四、数列极限的性质,12,定理,2,若数列收敛，则必定有界,.,证,由定义,推论,无界数列必定发散,.,2,、,有界性,13,例,注意：,有界性是数列收敛的必要条件,.,14,定理,3,若 且,a,0(,或,a,0,，当,n,N,时，有,证：,3,、保号性,15,推论,:,若数列从某项起,(,用反证法证明,),单调有界数列必有极限,.,(,证明略,),4,、单调有界定理,16,例,4,设,证明该数列有极限,.,17,例,5.,设,证明数列,极限存在,.,证,:,利用单调有界定理,.,记此极限为,e,e,为无理数,其值为,即,注,:,18,5,、两边夹原理,若,19,本定理给出了判别数列收敛的方法；又,提供了一个,计算数列极限的方法。,例,6,求,练习 求,6,、子数列的收敛性,注意：,例如，,20,定理,6,收敛数列的任一子数列也收敛，,且与原数列的极限相同,证,证毕,21,由此性质可知,若数列有两个子数列收敛于不同的极,限,例如，,发散,!,注：发散的数列也可能有收敛的子列,.,则原数列一定发散,.,说明,:,22,补充,:,四则运算法则,定理,则,(1),(2),当,为常数,c,时,(3),也都是收敛数列,且有,23,