高等数学二高阶偏导数及泰勒公式.pptx

由于它们还是,x,y,的函数.因此,可继续讨论,一、高阶偏导数,称为,z,=,f,(,x,y,),的二阶偏导数.,类似,可得三阶,四阶,n,阶偏导数.,例,1.,解,:,若不是,那么满足什么条件时,二阶混合偏导数才相等呢,?,问题,:,是否任何函数的二阶混合偏导数都相等,?,若,z,=,f,(,X,)=,f,(,x,y,),的两个混合偏导数,则,定理,1,分析,.,按定义,f,(,x,0,y,0,+,y,),f,(,x,0,+,x,y,0,),+,f,(,x,0,y,0,),同理,f,(,x,0,+,x,y,0,),f,(,x,0,y,0,+,y,),+,f,(,x,0,y,0,),证,:,分别给,x,y,以改变量,x,y,使(,x,0,+,x,y,0,+,y,),(,x,0,+,x,y,0,),及(,x,0,y,0,+,y,),均在,U(,X,0,),内.,记,A,=,f,(,x,0,+,x,y,0,+,y,),f,(,x,0,+,x,y,0,),f,(,x,0,y,0,+,y,),f,(,x,0,y,0,),(,x,)=,f,(,x,y,0,+,y,),f,(,x,y,0,),有,A,=,(,x,0,+,x,),(,x,0,),即,(,x,),在,x,0,的某邻域内可导,故满足拉格郎日中值定理条件.,因,A,=,(,x,0,+,x,),(,x,0,),(,x,)=,f,(,x,y,0,+,y,),f,(,x,y,0,),A,=,(,x,0,+,1,x,),x,再对变量,y,用拉格朗日中值定理.,得,另外,A,=,f,(,x,0,+,x,y,0,+,y,),f,(,x,0,y,0,+,y,),f,(,x,0,+,x,y,0,),f,(,x,0,y,0,),记,(,y,)=,f,(,x,0,+,x,y,),f,(,x,0,y,),从而,A,=,(,y,0,+,y,),(,y,0,),(,由拉格朗日中值定理),故,1.,定理,1,的结果可推广到更高阶的混合偏导的情形,.,同时可推广到二元以上的函数情形,.,即,若混合偏导数连续,则混合偏导相等,(,即求混合偏导与求导顺序无关,).,注,2.,若多元函数,f,(,X,),在区域,D,内有(直到),k,阶连续偏导.则记为,f,(,X,),C,k,(,D,).,k,为非负整数.,若,f,(,x,y,),C,k,(,D,),则不论求导顺序如何,只要是对,x,求导,m,次,对,y,求导,k m,次,都可写成,例,2.,解,:,比较知,a,=1,b,=0.,例,3.,解,:,设,u=x+y+z,v=xyz,从而,w,=,f,(,u,v,),是,x,y,z,的复合函数.,由链式法则.,注意,：,还要用链式法则来求,.,例,4.,解,:,例,5.,解,:,(1),由隐函数求导公式,从而,(2),上式两端对,x,求偏导.此时右边的,z,看作,x,的的函数.,y,要看作常数.,有,例,6.,设方程组,解,:,(1),先求一阶偏导,.,注意,u,v,看作,x,y,的函数.,得,方程两边对,x,求偏导.,从而,(2),从而,例,7.,设,u,=,f,(,x,y,z,),y=x,3,(,x,2,ln,y,z,)=0.,解,:,u,=,f,(,x,x,3,z,),(,x,2,3ln,x,z,),=0,易见,z,u,均,x,的函数,方程两边对,x,求导数.,得,从而,和一元函数一样,多元函数也有高阶微分的概念,.,我们只介绍二元函数的高阶微分,.,若,d,z,还可微,则记,d,2,z,=d(d,z,),称为,z,的二阶微分.,二、高阶微分,下边推导,z,的,k,阶微分的计算公式.,设以,x,y,为自变量,的函数,z,=,f,(,x,y,),C,k,.,由于,x,y,为自变量,故,d,x,=,x,d,y,=,y,与,x,y,的取值无关.,固定,x,y,(,即将它们看作常数,),求,dz,的微分.,且,d,2,z,=d(d,z,),记,引进记号,.,这相当于规定了,将字母,z,移到括号外 的方法。,实际上，,它把,C,1,中的每一个,z,通过上述运算,映成了,dz.,若记这个映射为,g,则,比较两端式子,可看出,不过是用一个我们陌生的式子,来代替字母,g,而已.,即,我们把这个映射称为一阶微分算子,.,类似,记,并规定,:,故,二阶微分算子实际上就是一阶微分算子,g,复合二次.,只不过这种复合运算在上述规定下,可以看作是一阶微分算子,一般,若形式上规定,.,(1),当,z,=,f,(,x,y,),C,k,时,z,有,k,阶微分.,(2),只有把它按上述规定,展开后,再将各项,乘,以,z,(,即,将,z,补写在,k,后面,),一切记号才回复到导数和微分的意义.,注,(3),它本质上是一个映射,.,它将,C,k,中的元素,z,映成,d,k,z,.,(4),若,x,y,不是自变量,d,k,z,一般不具有上述形式.,1,8,方向导数,函数的导数就是函数的变化率,.,比如,y,=,f,(,x,),如图,x,o,y,x,0,x,0,+,x,x,0,+,x,y,x,0,y,=,f,(,x,),一、方向导数的概念,x,o,y,x,0,x,0,+,x,x,0,+,x,y,x,0,y,=,f,(,x,),表示在,x,0,处,沿,x,轴正方向的变化率.,表示在,x,0,处,沿,x,轴负方向的变化率.,又比如,z,=,f,(,x,y,),偏导数,分别表示函数在点,(,x,0,y,0,),沿,x,轴方向,沿,y,轴方向的变化率.,如图,x,o,y,z,x,0,(,x,0,y,0,),y,表示在,(,x,0,y,0,),处,沿,y,轴正方向的变化率.,表示在,(,x,0,y,0,),处,沿,y,轴负方向的变化率.,但在许多实际问题中,常需知道,f,(,X,),在,X,0,沿任何方向的变化率.,比如,设,f,(,X,),表示某物体内部点,X,处的温度.那么,这个物体的热传导就依赖于温度沿各方向下降的速度.,因此有必要引进,f,(,X,),在,X,0,沿一给定方向的方向导数.,把偏导数概念略加推广即可得到方向导数的概念,.,y,x,z,o,z,=,f,(,x,y,),X,0,M,0,即,f,x,(,x,0,y,0,),表示,y,=,y,0,与,z,=,f,(,x,y,),的交线,在,M,0,处的切线对,x,的斜率.,T,1,1,:,z,=,f,(,x,y,0,),1,y,0,y,x,z,o,z,=,f,(,x,y,),M,0,X,0,2,2,:,z,=,f,(,x,0,y,),即,f,y,(,x,0,y,0,),表示,x,=,x,0,与,z,=,f,(,x,y,),的交线,在,M,0,处的切线对,y,的斜率.,x,0,T,2,如图,x,o,y,z,M,0,l,X,0,=(,x,0,y,0,),X,=(,x,0,+,x,y,0,+,y,),M,N,设,z,=,f,(,X,)=,f,(,x,y,),在点,X,0,=(,x,0,y,0,),的某邻域,U(,x,0,),内有定义.,以,X,0,为端点引射线,l,其单位方向向量为,e,=(cos,cos,),设,X,=(,x,0,+,x,y,0,+,y,),是,l,上另一点.,x,o,y,z,M,0,l,X,0,=(,x,0,y,0,),X,=(,x,0,+,x,y,0,+,y,),M,N,定,义,若当,X,沿,l,趋于,X,0,时,对应的函数改变量与线段,X,0,X,的长|,X,0,X,|,的比值,X,=(,x,0,+,x,y,0,+,y,),x,o,y,z,M,0,l,X,0,=(,x,0,y,0,),M,N,则称它为,z,=,f,(,X,)=,f,(,x,y,),在点,X,0,=(,x,0,y,0,),沿,l,的方向导数.,x,o,y,z,M,0,l,X,0,=(,x,0,y,0,),M,N,X,=(,x,0,+,x,y,0,+,y,),沿,l,沿,l,1.,定义中要求点,X,只取在,l,的正向上,且,X,沿,l,趋向于,X,0,.,的分母大于,0.,如图,另外比值,x,o,y,X,0,=(,x,0,y,0,),l,X,=(,x,0,+,x,y,0,+,y,),y,x,注,2.,若,z,=,f,(,X,)=,f,(,x,y,),在,X,0,=(,x,0,y,0,),处偏导存在.,则,在,X,0,处沿,x,轴正向的方向导数,在,X,0,处沿,x,轴负方向的方向导数,同样可得沿,y,轴正向的方向导数为,f,y,(,x,0,y,0,),而,沿,y,轴负方向的方向导数为,f,y,(,x,0,y,0,).,3.,定义中的极限表示式可用另一形式给出,.,由于,l,的单位方向向量为,e,=(cos,cos,),从而,l,的参数式方程为,x=x,0,+,t,cos,y=y,0,+,t,cos,t,0,或,(,x,y,)=(,x,0,y,0,)+,t,(cos,cos,),而,X,X,0,就是,t,0,+,.,即,X,=,X,0,+,te,从而,这正是教材中给出的定义式,.,沿,l,若,z,=,f,(,X,)=,f,(,x,y,),在点,X,0,=(,x,0,y,0,),可微,则,z,=,f,(,X,),在,X,0,沿任一方向,e,=(cos,cos,),的方向导数存在.,e,为单位向量.,且,=,J,f,(,X,0,),e,.(,最后两式为数量积,),二、方向导数的计算,定理,4,证,:,如图,x,o,y,X,0,=(,x,0,y,0,),e,y,x,l,X,0,=(,x,0,+,x,y,0,+,y,),在射线,l,上取点,X,=(,x,0,+,x,y,0,+,y,),其中,X=,(,x,y,),因向量,X=,X,X,0,=,X,0,X/e,故,X,=,te,(,t,0),X,=,X,0,+,te,|,X,0,X|,=|,X,|,=t,=,X,0,+,X,由方向导数定义,看,f,(,X,0,+,te,),f,(,X,0,).,沿,l,因,f,(,X,),在,X,0,可微,知,z=,f,(,X,0,+,X,),f,(,X,0,),=,f,(,x,0,+,x,y,0,+,y,),f,(,x,0,y,0,),由定理,1,=,J,f,(,X,0,),X,+,0(|,X,|),上式对任何,x,y,都成立.,特别,当,X,=,X,0,+,X,在射线,l,上时,当然成立.,即,当,X,0,+,X,=,X,0,+,te,时,有,f,(,X,0,+,te,),f,(,X,0,),=,J,f,(,X,0,)(,te,)+0(|,te,|),=,t,(,J,f,(,X,0,),e,+0(,t,),除以,t,0,并令,t,0,+,有,即,z=,f,(,X,0,+,X,),f,(,X,0,)=,J,f,(,X,0,),X,+,0(|,X,|),=,J,f,(,X,0,),e,即,若,u,=,f,(,x,y,z,),在点,X,0,=(,x,0,y,0,z,0,),可微,则,u,在该点处沿任何方向,e,=(cos,cos,cos,),的方向导数存在,=,J,f,(,X,0,),e,且,公式可推广到三元函数中去,.,例,5.,求,u=xyz,在点,X,0,=(1,1,1),处沿从该点到点,X,1,=(1,2,2),方向的方向导数.,解,:,(1),先求出这个方向上的单位向量,e,.,向量,X,0,X,1,=(0,1,1),从而与,X,0,X,1,同向单位向量,(2)求,u,在,X,0,=(1,1,1),处偏导数.,(3)由公式得方向导数,1.,若,z,=,f,(,X,)=,f,(,x,y,),在区域,D,内存在一阶连续偏导,.,X,0,=(,x,0,y,0,),是,D,内一点.知,z,在,X,0,沿任何方向,e,=(cos,cos,),的方向导数,其中,|,e,|=1.,问,注,故,最大值为,|,J,f,(,X,0,)|.,函数沿,J,f,(,X,0,),的方向增长最快,.,(2),即,(3),记,grad,f,(,X,)=,J,f,(,X,)=(,f,x,(,x,y,),f,y,(,x,y,),称为,f,(,X,),在点,X,处的梯度.,2.,设,z,=,f,(,X,)=,f,(,x,y,),考察,z,在点,X,0,=(,x,0,y,0,),处连续,;,存在两偏导,;,沿任何方向的方向导数存在以及可微这些概念的联系和区别,.,(1),(,反之如何,?),可微,连续,可微 存在两偏导,(,反之不对,),可微,沿任何方向的方向导数存在,.,(2),若,z,=,f,(,X,)=,f,(,x,y,),在区域,D,内的两偏导不仅存在,而且连续,则,z,在,D,内可微,进而,在,D,内连续,在,D,内每点处沿任何方向,的方向导数存在,.,3.,当,z,=,f,(,X,)=,f,(,x,y,),在,X,0,=(,x,0,y,0,),可微时,沿,e,=(cos,cos,),的方向导数,该公式有另外的形式,.,记,为从,x,轴到,e,的转角(,不一定在0,之间),则,