高等数学同济六版教学不定积分.pptx

单击以编辑,母版标题样式,单击以编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,#,目录 上页 下页 返回 结束,二、基本积分表,三、不定积分的性质,一、原函数与不定积分的概念,第一节,不定积分的概念与性质,第,四,章,一、原函数与不定积分的概念,引例,:,一个质量为,m,的质点,下沿直线运动,因此问题转化为,:,已知,求,在变力,试求质点的运动速度,根据牛顿第二定律,加速度,定义,1.,若在区间,I,上定义的两个函数,F,(,x,),及,f,(,x,),满足,在区间,I,上的一个原函数,.,则称,F,(,x,),为,f,(,x,),如引例中,的原函数有,问题,:,1.,在什么条件下,一个函数的原函数存在,?,2.,若原函数存在,它如何表示,?,定理,1.,存在原函数,.,(,下章证明,),初等函数在定义区间上连续,初等函数在定义区间上有原函数,定理,2.,原函数都在函数族,(,C,为任意常数,),内,.,证,:,1),又知,故,它属于函数族,即,定义,2.,在区间,I,上的原函数全体称为,上的不定积分,其中,积分号,;,被积函数,;,被积表达式,.,积分变量,;,(P185),若,则,(,C,为任意常数,),C,称,为,积分常数,不可丢,!,例如,记作,不定积分的几何意义,:,的原函数的图形称为,的图形,的所有积分曲线组成,的平行曲线族,.,的,积分曲线,.,例,1.,设曲线通过点,(1,2),且其上任一点处的切线,斜率等于该点横坐标的两倍,求此曲线的方程,.,解,:,所求曲线过点,(1,2),故有,因此所求曲线为,例,2.,质点在距地面,处以初速,力,求它的运动规律,.,解,:,取质点运动轨迹为坐标轴,原点在地面,指向朝上,质点抛出时刻为,此时质点位置为,初速为,设时刻,t,质点所在位置为,则,(,运动速度,),(,加速度,),垂直上抛,不计阻,先由此求,再由此求,先求,由,知,再求,于是所求运动规律为,由,知,故,二、基本积分表,(P188),从不定积分定义可知,:,或,或,利用逆向思维,(,k,为常数,),或,或,例,3.,求,解,:,原式,=,例,4.,求,解,:,原式,=,三、不定积分的性质,推论,:,若,则,例,5.,求,解,:,原式,例,6.,求,解,:,原式,=,例,7.,求,解,:,原式,=,例,8.,求,解,:,原式,=,内容小结,1.,不定积分的概念,原函数与不定积分的定义,不定积分的性质,基本积分表,(,见,P188),2.,直接积分法,:,利用,恒等变形,及,基本积分公式,进行积分,.,常用恒等变形方法,分项积分,加项减项,利用三角公式,代数公式,积分性质,思考与练习,1.,证明,2.,若,(P193,题,7),提示,:,3.,若,是,的原函数,则,提示,:,已知,4.,若,的导函数为,则,的一个原函数,是,().,提示,:,已知,求,即,B,?,?,或由题意,其原函数为,5.,求下列积分,:,提示,:,6.,求不定积分,解：,7.,已知,求,A,B,.,解,:,等式两边对,x,求导,得,作业,P192,2,(5),(12),(14),(20),(23),(25),(26);,5;6,第二节,第四章,微分法,:,积分法,:,互逆运算,不定积分,二、第二类换元法,第二节,一、第一类换元法,换元积分法,第,四,章,第二类换元法,第一类换元法,基本思路,设,可导,则有,一、第一类换元法,定理,1.,则有换元,公式,(,也称,配元法,即,凑微分法,),例,1.,求,解,:,令,则,故,原式,=,注,:,当,时,注意换回原变量,例,2.,求,解,:,令,则,想到公式,例,3.,求,想到,解,:,(,直接配元,),例,4.,求,解,:,类似,例,5.,求,解,:,原式,=,常用的几种配元形式,:,万能凑幂法,例,6.,求,解,:,原式,=,例,7.,求,解,:,原式,=,例,8.,求,解,:,原式,=,例,9.,求,解法,1,解法,2,两法结果一样,例,10.,求,解法,1,解法,2,同样可证,或,(P199,例,18,),例,11.,求,解,:,原式,=,例,12.,求,解,:,例,13.,求,解,:,原式,=,例,14.,求,解,:,原式,=,分析,:,例,15.,求,解,:,原式,小结,常用简化技巧,:,(1),分项积分,:,(2),降低幂次,:,(3),统一函数,:,利用三角公式,;,配元方法,(4),巧妙换元或配元,万能凑幂法,利用积化和差,;,分式分项,;,利用倍角公式,如,思考与练习,1.,下列各题求积方法有何不同,?,2.,求,提示,:,法,1,法,2,法,3,作业,二、第二类换元法,第一类换元法解决的问题,难求,易求,若所求积分,易求,则得第二类换元积分法,.,难求，,定理,2.,设,是单调可导函数,且,具有原函数,证,:,令,则,则有换元公式,例,16.,求,解,:,令,则,原式,例,17.,求,解,:,令,则,原式,例,18.,求,解,:,令,则,原式,令,于是,说明,:,1.,被积函数含有,除采用三角,采用双曲代换,消去根式,所得结果一致,.,(,参考,P204,P205),或,代换外,还可利用公式,2.,再补充两个常用双曲函数积分公式,原式,例,19.,求,解,:,令,则,原式,当,x,0,时,类似可得同样结果.,小结,:,1.,第二类换元法常见类型,:,令,令,令,或,令,或,令,或,第四节讲,2.,常用基本积分公式的补充,(P205,P206,),7),分母中因子次数较高时,可试用,倒代换,令,解,:,原式,(P206,公式,(20),例,20.,求,例,21.,求,解,:,(P206,公式,(23),例,22.,求,解,:,原式,=,(P206,公式,(22),例,23.,求,解,:,原式,(P206,公式,(22),例,24.,求,解,:,令,得,原式,例,25.,求,解,:,原式,令,例,16,例,16,思考与练习,1.,下列积分应如何换元才使积分简便,?,令,令,令,2.,已知,求,解,:,两边求导,得,则,(,代回原变量,),P207,2,(4),(5),(9),(11),(12),(16),(20),(21),(23),(28),(29),(30),(32),(33),(35),(36),(38),(40),(42),(44),作业,第三节,备用题,1.,求下列积分,:,2.,求不定积分,解：,利用,凑微分法,原式,=,令,得,分子分母同除以,3.,求不定积分,解,:,令,原式,第三节,由导数公式,积分得,:,分部积分公式,或,1),v,容易求得,;,容易计算,.,分部积分法,第,四,章,例,1.,求,解,:,令,则,原式,思考,:,如何求,提示,:,令,则,原式,例,2.,求,解,:,令,则,原式,=,例,3.,求,解,:,令,则,原式,例,4.,求,解,:,令,则,原式,再令,则,故 原式,=,说明,:,也可设,为三角函数,但两次所设类型,必须一致,.,解题技巧,:,把被积函数视为两个函数之积,按,“反对幂指三”,的,顺序,前者为 后者为,例,5.,求,解,:,令,则,原式,=,反,:,反三角函数,对,:,对数函数,幂,:,幂函数,指,:,指数函数,三,:,三角函数,例,6.,求,解,:,令,则,原式,=,例,7.,求,解,:,令,则,原式,令,例,8.,求,解,:,令,则,原式,=,例,9.,求,解,:,令,则,得递推公式,说明,:,递推公式,已知,利用递推公式可求得,例如,例,10.,设,证,:,证明递推公式,:,说明,:,分部积分题目的类型,:,1),直接分部化简积分,;,2),分部产生循环式,由此解出积分式,;,(,注意,:,两次分部选择的,u,v,函数类型不变,解出积分后加,C,),例,4,3),对含自然数,n,的积分,通过分部积分建立递,推公式,.,例,4,例,11.,已知,的一个原函数是,求,解,:,说明,:,此题若先求出,再求积分反而复杂,.,例,12.,求,解法,1,先换元后分部,令,即,则,故,解法,2,直接用分部积分法,内容小结,分部积分公式,1.,使用原则,:,易求出,易积分,2.,使用经验,:,“,反对幂指三,”,前,u,后,3.,题目类型,:,分部化简,;,循环解出,;,递推公式,4.,计算格式,:,例,13.,求,解,:,令,则,可用表格法求,多次分部积分,例,14.,求,解,:,令,则,原式,原式,=,思考与练习,1.,下述运算错在哪里,?,应如何改正,?,得,0=1,答,:,不定积分是原函数族,相减不应为,0.,求此积分的正确作法是用换元法,.,2.,求,提示,:,得,3.,设,证,:,目录 上页 下页 返回 结束,可微且其反函,数,存在,证明,作业,P213,4,5,9,14,18,20,21,22 ,24,第四节,备用题,.,求不定积分,解,：,方法,1,(,先分部,再换元,),令,则,方法,2,(,先换元,再分部,),令,则,故,第四节,基本积分法,:,换元积分法,;,分部积分法,初等函数,求导,初等函数,积分,一、有理函数的积分,二、可化为有理函数的积分举例,有理函数的积分,本节内容,:,第,四,章,直接积分法,;,一、有理函数的积分,有理函数,:,时,为假分式,;,时,为真分式,有理函数,相除,多项式,+,真分 式,分解,其中部分分式的形式为,若干部分分式之和,例,1.,将下列真分式分解为部分分式,:,解,:,(1),用拼凑法,(2),用赋值法,故,(3),混合法,原式,=,四种典型部分分式的积分,:,变分子为,再分项积分,例,2.,求,解,:,已知,例,1(3),例,1(3),例,3.,求,解,:,原式,思考,:,如何求,提示,:,变形方法同例,3,并利用书,P363,公式,20.,例,4.,求,解,:,说明,:,将有理函数分解为部分分式进行积分虽可行,但不一定简便,因此要注意根据被积函数的结构寻求,简便的方法,.,例,5.,求,解,:,原式,常规法,例,6.,求,解,:,原式,(,见,P363,公式,21),注意本题技巧,本题用常规方法解很繁,按常规方法解,第一步 令,比较系数定,a,b,c,d.,得,第二步 化为部分分式,.,即令,比较系数定,A,B,C,D,.,第三步 分项积分,.,此解法较繁,!,二、可化为有理函数的积分举例,设,表示三角函数有理式,令,万能代换,(,参考下页例,7),t,的有理函数的积分,1.,三角函数有理式的积分,则,例,7.,求,解,:,令,则,例,8.,求,解,:,说明,:,通常求含,的积分时,往往更方便,.,的有理式,用代换,例,9.,求,解法,1,令,原式,例,9.,求,解法,2,令,原式,例,10.,求,解,:,因被积函数关于,cos,x,为奇函数,可令,原式,2.,简单无理函数的积分,令,令,被积函数为简单根式的有理式,可通过根式代换,化为有理函数的积分,.,例如,:,令,例,11.,求,解,:,令,则,原式,例,12.,求,解,:,为去掉被积函数分母中的根式,取根指数,2,3,的,最小公倍数,6,则有,原式,令,例,13.,求,解,:,令,则,原式,内容小结,1.,可积函数的特殊类型,有理函数,分解,多项式及部分分式之和,三角函数有理式,万能代换,简单无理函数,三角代换,根式代换,2.,特殊类型的积分按上述方法虽然可以积出,但不一定,要注意综合使用基本积分法,简便计算,.,简便,思考与练习,如何求下列积分更简便,?,解,:,1.,2.,原式,作业,P218 3,6,8,9,13,15,17,18,20,24,第五节,备用题,1.,求不定积分,解：,令,则,故,分母次数较高,宜使用,倒代换,.,2.,求不定积分,解：,原式,=,前式令,;,后式配元,第四节,基本积分法,:,换元积分法,;,分部积分法,初等函数,求导,初等函数,积分,一、有理函数的积分,二、可化为有理函数的积分举例,有理函数的积分,本节内容,:,第,四,章,直接积分法,;,一、有理函数的积分,有理函数,:,时,为假分式,;,时,为真分式,有理函数,相除,多项式,+,真分 式,分解,其中部分分式的形式为,若干部分分式之和,例,1.,将下列真分式分解为部分分式,:,解,:,(1),用拼凑法,(2),用赋值法,故,(3),混合法,原式,=,四种典型部分分式的积分,:,变分子为,再分项积分,例,2.,求,解,:,已知,例,1(3),例,1(3),例,3.,求,解,:,原式,思考,:,如何求,提示,:,变形方法同例,3,并利用书,P363,公式,20.,例,4.,求,解,:,说明,:,将有理函数分解为部分分式进行积分虽可行,但不一定简便,因此要注意根据被积函数的结构寻求,简便的方法,.,例,5.,求,解,:,原式,常规法,例,6.,求,解,:,原式,(,见,P363,公式,21),注意本题技巧,本题用常规方法解很繁,按常规方法解,第一步 令,比较系数定,a,b,c,d.,得,第二步 化为部分分式,.,即令,比较系数定,A,B,C,D,.,第三步 分项积分,.,此解法较繁,!,二、可化为有理函数的积分举例,设,表示三角函数有理式,令,万能代换,(,参考下页例,7),t,的有理函数的积分,1.,三角函数有理式的积分,则,例,7.,求,解,:,令,则,例,8.,求,解,:,说明,:,通常求含,的积分时,往往更方便,.,的有理式,用代换,例,9.,求,解法,1,令,原式,例,9.,求,解法,2,令,原式,例,10.,求,解,:,因被积函数关于,cos,x,为奇函数,可令,原式,2.,简单无理函数的积分,令,令,被积函数为简单根式的有理式,可通过根式代换,化为有理函数的积分,.,例如,:,令,例,11.,求,解,:,令,则,原式,例,12.,求,解,:,为去掉被积函数分母中的根式,取根指数,2,3,的,最小公倍数,6,则有,原式,令,例,13.,求,解,:,令,则,原式,内容小结,1.,可积函数的特殊类型,有理函数,分解,多项式及部分分式之和,三角函数有理式,万能代换,简单无理函数,三角代换,根式代换,2.,特殊类型的积分按上述方法虽然可以积出,但不一定,要注意综合使用基本积分法,简便计算,.,简便,思考与练习,如何求下列积分更简便,?,解,:,1.,2.,原式,作业,P218 3,6,8,9,13,15,17,18,20,24,第五节,备用题,1.,求不定积分,解：,令,则,故,分母次数较高,宜使用,倒代换,.,2.,求不定积分,解：,原式,=,前式令,;,后式配元,第五节,积分计算比导数计算灵活复杂,为提高求积分,已把常用积分公式汇集成表,以备查用,.,如,P347,附录,.,积分表的结构,:,按被积函数类型排列,积分表的使用,:,1),注意公式的条件,2),注意简单变形的技巧,注,:,很多不定积分也可通过,Mathematica,Maple,等数学软件的符号演算功能求得,.,的效率,积分表的使用,第,四,章,例,1.,求,解,:,应使用,P368,公式,105,.,例,2.,求,解法,1,令,则,原式,(P364,公式,37),例,2.,求,解法,2,令,则,原式,(P363,公式,21),例,3.,求,解,:,令,则,原式,(P363,公式,21,),(P363,公式,19),习题课,作业,P221 3;8;19;24;25,习题课,一、求不定积分的基本方法,二、几种特殊类型的积分,不定积分的计算方法,第,四,章,一、求不定积分的基本方法,1.,直接积分法,通过简单变形,利用基本积分公式和运算法则,求不定积分的方法,.,2.,换元积分法,第一类换元法,第二类换元法,注意常见的换元积分类型,如掌握,P205,P206,公式,(16)(24),的推导方法,(,代换,:),3.,分部积分法,使用原则,:,1),由,易求出,v,;,2),比,好求,.,一般经验,:,按“,反,对,幂,指,三,”的顺序,排前者取为,u,排后者取为,计算格式,:,列表计算,多次分部积分的 规 律,快速计算表格,:,特别,:,当,u,为,n,次多项式时,计算大为简便,.,例,1.,求,解,:,原式,例,2.,求,解,:,原式,分析,:,例,3.,求,解,:,原式,分部积分,例,4.,设,解,:,令,求积分,即,而,例,5.,求,解,:,例,6.,求,解,:,取,说明,:,此法特别适用于,如下类型的积分,:,例,7.,证明递推公式,证,:,注,:,或,例,8.,求,解,:,设,则,因,连续,得,记作,得,利用,例,9.,设,解,:,为,的原函数,且,求,由题设,则,故,即,因此,故,又,二、几种特殊类型的积分,1.,一般积分方法,有理函数,分解,多项式及,部分分式之和,指数函数有理式,指数代换,三角函数有理式,万能代换,简单无理函数,三角代换,根式代换,2.,需要注意的问题,(1),一般方法不一定是最简便的方法,(2),初等函数的原函数不一定是初等函数,要注意综合,使用各种基本积分法,简便计算,.,因此不一,定都能积出,.,例如,例,10.,求,解,:,令,则,原式,例,11.,求,解,:,令,比较同类项系数,故,原式,说明,:,此技巧适用于形为,的积分,.,例,12,.,解,：,因为,及,例,13.,求不定积分,解,:,原式,例,14,.,解,:,I,=,例,15.,求,解,:,(,n,为自然数),令,则,作业,P222,6,9,18,19,28,31,38,39,