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用量子理论分析均匀磁场中带电粒子的运动

李东康;李佳

【摘 要】 该文采用量子理论分析均匀的外磁场中带电粒子的运动情况,及相应概率 流密度的计算.对于存在于原子系统的电子, 由于磁矩的存在与磁场相互作用,能级发 生分裂. 自由运动的带电粒子,当处于均匀磁场中时,通过多种情况分析发现在垂直磁 场矢势的平面内粒子做自由运动,在一固定点出现了粒子流恒定的现象,而平行矢势 方向做简谐振动,粒子流恒为零.
【期刊名称】 《通化师范学院学报》

【年(卷),期】 2013(034)008
【总页数】 3 页(P19-20,38)

【关键词】 量子理论;哈密顿量;均匀磁场;带电粒子
【作 者】 李东康;李佳

【作者单位】 通化师范学院物理学院,吉林通化 134002;通化师范学院物理学院,吉 林通化 134002
【正文语种】 中 文
【中图分类】 O41

1 引言
在经典力学中，电荷量为 q ，质量为 m 的粒子，以初速度 v0 进入均匀磁场 B 中， 如果 v0 与磁感应强度 B 相互平行，洛伦兹力等于零，带电粒子做匀速直线运动；

如果 v0 与 B 相互垂直，带电粒子受到与运动方向垂直的洛伦兹力 F=qv×B，方向 垂直与 v0 及 B ，所以带电粒子速度大小不变，方向改变，切割磁感线做匀速圆周 运动；如果 v0 与 B 斜交成 θ 角， v0 分解成平行于 B 的分矢量和垂直于 B 的分矢 量，两种运动合成为等距螺旋运动.基于带电粒子在均匀磁场中运动的规律，人们 总结出在某些特定情况下带电粒子的运动规律，并广泛的应用于电真空器件 .比如， 磁聚焦应用于显像管中电子束的聚焦装置；利用电场和磁场分布的某种对称性，通 过电磁力来控制带电粒子的运动而制成的速度选择器和用磁场和电场的各种组合来 达到把电荷量相等但质量不同的粒子分离开来，研究同位素、测定荷质比的质谱仪， 以及回旋加速器等.描述粒子在磁场中运动的理论，一个是上述的宏观经典力学， 一个是微观的量子力学，本文中采用量子理论分析均匀磁场中带电粒子的运动，并 讨论带电粒子在外磁场中的运动规律[1，2]．
2 带电粒子在电磁场中的薛定谔方程
一个质量为 u ，荷电 q 的粒子在电磁场中运动，则电磁场中荷电 q 的粒子的 Hamilton 量表为：

因而带电粒子在电磁场中的薛定谔方程[2]为：
iħ，
其中分别是电磁场的矢势和标势，ψ 为带电粒子的波函数．
2.1 均匀外磁场中原子的塞曼效应
把类氢离子放在均匀的外磁场中，取外磁场方向为 z 轴，则磁感应强度可以写成磁 场的矢势为：其相应哈密顿量为：

能量本征函数选守恒量完全集的共同本征函数，相应的能量本征值为： ħħωL，

其中称为 Larmor 频率．
由上式可看到，外磁场的存在使能量本征值由 En 变为 En+mħωL．没有外磁场时 的能量本征值只取决于主量子数 n ，能级具有 n2 重简并．但当外磁场存在时，体 系的能量不仅与 n 有关，而且还与磁量子数 m 有关．因此，原来对应于 En 的 n 个不同 l，l=(0，1，2，…， n-1)的简并态能量不再是 En ，而是 En+Em ，其中 m 取 2l+1 个不同值，从而对给定的n，l 能级分裂成 2l+1 条，简并被消除．每条能 级间的能量间隔为：
ħωL.
在外磁场的作用下，原子能级的分裂现象叫做正常塞曼效应[3] ，而由于能级的分 裂，原子的光谱线也发生分裂；当考虑电子的自旋时，在外磁场作用下能级分裂还 与自旋有关，这时的能级分裂现象叫反常塞曼效应．
2.2 均匀的外磁场中的自由电子
一个质量为 μ 的自由电子，在均匀磁场中运动，选取如下规范：
矢势
f(x，y)，
其中函数 f(x，y)为则有
体系相应的 Hamilton 量可以写为：

(1)
根据对易关系我们可以取为力学量完全集，设其共同本征函数为：

将上式代入薛定谔方程：
=EΨ(x， y，z)
(2)

分离变量后，在 y 方向引入一常量 y0 ，本征方程为：

(3)
由(3)我们可以看出，该方程为在平衡位置 y=y0 处的一维谐振子的能量本征方 程．因此它的能量本征值为：
ħ2ωL=(Ny+1)ħωL， Ny=2ny=0，2 ，4…
其中 ω=2ωL，相应的能量本征值 Eny 的本征函数可写为:

其中，

由此得到的共同本征函数：

由前面的分析可以看出，自由电子在 xz 平面上做自由运动，在 y 方向上是以为平 衡位置的谐振动． px 和 pz 分别为x、z 方向上的动量的本征值，可在-∞→ +∞之 间连续变化．只有 y 方向的能量是分立的，对于确定的 Eny 存在无穷多个 Ψn(x， y，z) ，能级是无穷简并的[4]．
2.3 均匀外磁场中粒子的概率流密度
由概率流密度公式
ψ*- ψ*ψ)，
得到该电子的概率流的密度为
ħħ
由于 ψn(y)为实函数，所以
Jy=0.
由上可知，三维自由运动的粒子其概率流只发生在 xz 平面内，与 y 方向无关，在

点上， Jx(y0)=Jz=0 的流为零，因此概率流密度是在 xz 平面内的稳恒流． 若磁场为矢势为：时，相应的能量本征值 Enx 的本征函数为：

得到(H，py，pz)的共同本征函数为：

由概率流密度公式：
ψ*- ψ*ψ)，
得到该粒子的概率流密度为：
ħħ
在 ħ 存在稳恒流.
3 结论
带电粒子处于均匀磁场中，粒子与磁场相互作用.若带电粒子处于原子系统，由于 磁矩与磁场相互作用导致原子系统能级发生塞曼分裂.对于自由运动的带电粒子， 如果磁场方向为 z 方向，在 x，z 平面内做自由运动，在 y 方向一定位置为谐振动； 同时，其概率流密度只发生在 x，z 平面内，在 y 方向上为零.若采用规范为 f(x ， y) ，讨论自由粒子的运动与矢势的方向有关，概率流只在垂直矢势平面内，与平行 磁场方向的函数有关，但是出现一概率流恒定的点；而平行矢势方向则以两倍拉莫 尔频率做简谐振动，概率流为零.
参考文献： [1]吴奇学．带电粒子在均匀磁场与三维各向同性谐振子场中运动的双波描述
[J] ．物理学报， 2000(7) ． [2]曾谨言．量子力学导论[M] ．北京：北京大学出版社， 1998：192-201． [3]宋鹤山．量子力学[M] ．大连：大连理工大学出版社， 2004：130-138． [4]Leslie Ballentine．Quantum Mechanics：Amodern

Development[M]． Beijing：The world Book of Technology Press， 1992： 314-316．